Прямой предел

В математике прямой предел — это способ построения (обычно большого) объекта из многих (обычно меньших) объектов, которые объединены определенным образом. Эти объекты могут быть группами , кольцами , векторными пространствами или, в общем случае, объектами из любой категории . Способ, которым они объединены, определяется системой гомоморфизмов ( гомоморфизм групп , гомоморфизм колец или, в общем случае, морфизмы в категории) между этими меньшими объектами. Прямой предел объектов , где пробегает некоторое направленное множество , обозначается как . Эта нотация подавляет систему гомоморфизмов; однако, предел зависит от системы гомоморфизмов.${\displaystyle A_{i}}$${\displaystyle i}$ ${\displaystyle I}$${\displaystyle \varinjlim A_{i}}$

Прямые пределы являются частным случаем понятия копредела в теории категорий . Прямые пределы являются двойственными по отношению к обратным пределам , которые являются частным случаем пределов в теории категорий.

Сначала мы дадим определение алгебраическим структурам, таким как группы и модули , а затем общее определение, которое можно использовать в любой категории .

В этом разделе объекты понимаются как состоящие из базовых множеств , снабженных заданной алгебраической структурой , таких как группы , кольца , модули (над фиксированным кольцом), алгебры (над фиксированным полем ) и т. д. Имея это в виду, гомоморфизмы понимаются в соответствующей постановке ( гомоморфизмы групп и т. д.).

Пусть будет направленным множеством . Пусть будет семейством объектов, индексированных и будет гомоморфизмом для всех со следующими свойствами:${\displaystyle \langle I,\leq \rangle }$${\displaystyle \{A_{i}:i\in I\}}$${\displaystyle I\,}$${\displaystyle f_{ij}\colon A_{i}\rightarrow A_{j}}$${\displaystyle i\leq j}$

1. ${\displaystyle f_{ii}\,}$является тождеством на , и${\displaystyle A_{i}\,}$
2. ${\displaystyle f_{ik}=f_{jk}\circ f_{ij}}$для всех .${\displaystyle i\leq j\leq k}$

Тогда пара называется прямой системой над .${\displaystyle \langle A_{i},f_{ij}\rangle }$${\displaystyle I}$

Прямой предел прямой системы обозначается и определяется следующим образом. Его базовое множество — это несвязное объединение ' по модулю некоторого отношения эквивалентности :${\displaystyle \langle A_{i},f_{ij}\rangle }$${\displaystyle \varinjlim A_{i}}$${\displaystyle A_{i}}$ ${\displaystyle \sim \,}$

${\displaystyle \varinjlim A_{i}=\bigsqcup _{i}A_{i}{\bigg /}\sim .}$

Здесь, если и , то тогда и только тогда, когда есть некоторый с и такой, что . Интуитивно, два элемента в несвязном объединении эквивалентны тогда и только тогда, когда они «в конечном итоге становятся равными» в прямой системе. Эквивалентная формулировка, которая подчеркивает двойственность обратного предела , заключается в том, что элемент эквивалентен всем своим образам под отображениями прямой системы, т.е. всякий раз, когда .${\displaystyle x_{i}\in A_{i}}$${\displaystyle x_{j}\in A_{j}}$${\displaystyle x_{i}\sim \,x_{j}}$${\displaystyle k\in I}$${\displaystyle i\leq k}$${\displaystyle j\leq k}$${\displaystyle f_{ik}(x_{i})=f_{jk}(x_{j})\,}$${\displaystyle x_{i}\sim \,f_{ij}(x_{i})}$${\displaystyle i\leq j}$

Из этого определения получаются канонические функции, отправляющие каждый элемент в его класс эквивалентности. Алгебраические операции на определяются таким образом, что эти отображения становятся гомоморфизмами. Формально прямой предел прямой системы состоит из объекта вместе с каноническими гомоморфизмами .${\displaystyle \phi _{j}\colon A_{j}\rightarrow \varinjlim A_{i}}$${\displaystyle \varinjlim A_{i}\,}$${\displaystyle \langle A_{i},f_{ij}\rangle }$${\displaystyle \varinjlim A_{i}}$${\displaystyle \phi _{j}\colon A_{j}\rightarrow \varinjlim A_{i}}$

Прямой предел может быть определен в произвольной категории с помощью универсального свойства . Пусть будет прямой системой объектов и морфизмов в (как определено выше). Цель — это пара , где — объект в и — морфизмы для каждого, такие, что всякий раз, когда . Прямой предел прямой системы — это универсально отталкивающая цель в том смысле, что — цель и для каждой цели существует уникальный морфизм такой, что для каждого i . Следующая диаграмма${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle \langle X_{i},f_{ij}\rangle }$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle \langle X,\phi _{i}\rangle }$${\displaystyle X\,}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle \phi _{i}\colon X_{i}\rightarrow X}$${\displaystyle i\in I}$${\displaystyle \phi _{i}=\phi _{j}\circ f_{ij}}$${\displaystyle i\leq j}$${\displaystyle \langle X_{i},f_{ij}\rangle }$ ${\displaystyle \langle X,\phi _{i}\rangle }$${\displaystyle \langle X,\phi _{i}\rangle }$${\displaystyle \langle Y,\psi _{i}\rangle }$${\displaystyle u\colon X\rightarrow Y}$${\displaystyle u\circ \phi _{i}=\psi _{i}}$

тогда будет коммутировать для всех i , j .

Прямой предел часто обозначается

${\displaystyle X=\varinjlim X_{i}}$

при этом понимается прямая система и канонические морфизмы (или, точнее, канонические инъекции ).${\displaystyle \langle X_{i},f_{ij}\rangle }$${\displaystyle \phi _{i}}$${\displaystyle \iota _{i}}$

В отличие от алгебраических объектов, не каждая прямая система в произвольной категории имеет прямой предел. Однако, если он есть, прямой предел уникален в сильном смысле: для заданного другого прямого предела X ′ существует единственный изоморфизм X ′ → X , который коммутирует с каноническими морфизмами.

• Набор подмножеств множества может быть частично упорядочен включением. Если набор направленный, его прямой предел — объединение . То же самое верно для направленного набора подгрупп данной группы или направленного набора подколец данного кольца и т. д.${\displaystyle M_{i}}$${\displaystyle M}$${\displaystyle \bigcup M_{i}}$
• Слабая топология комплекса CW определяется как прямой предел.
• Пусть — любое направленное множество с наибольшим элементом . Прямой предел любой соответствующей прямой системы изоморфен и канонический морфизм является изоморфизмом.${\displaystyle X}$ ${\displaystyle m}$${\displaystyle X_{m}}$${\displaystyle \phi _{m}:X_{m}\rightarrow X}$
• Пусть K — поле. Для положительного целого числа n рассмотрим общую линейную группу GL( n;K ), состоящую из обратимых n x n - матриц с элементами из K . У нас есть групповой гомоморфизм GL( n;K ) → GL( n +1; K ), который увеличивает матрицы, помещая 1 в нижний правый угол и нули в других местах последней строки и столбца. Прямым пределом этой системы является общая линейная группа K , записываемая как GL( K ). Элемент GL( K ) можно рассматривать как бесконечную обратимую матрицу, которая отличается от бесконечной единичной матрицы только конечным числом элементов. Группа GL( K ) имеет жизненно важное значение в алгебраической K-теории .
• Пусть p — простое число . Рассмотрим прямую систему, составленную из фактор-групп и гомоморфизмов, индуцированных умножением на . Прямой предел этой системы состоит из всех корней из единицы порядка некоторой степени и называется группой Прюфера .${\displaystyle \mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z} \rightarrow \mathbb {Z} /p^{n+1}\mathbb {Z} }$${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} (p^{\infty })}$
• Существует (неочевидный) инъективный кольцевой гомоморфизм из кольца симметрических многочленов от переменных в кольцо симметрических многочленов от переменных. Формирование прямого предела этой прямой системы дает кольцо симметрических функций .${\displaystyle n}$${\displaystyle n+1}$
• Пусть F — C -значный пучок на топологическом пространстве X. Зафиксируем точку x в X. Открытые окрестности x образуют направленное множество, упорядоченное по включению ( U ≤ V тогда и только тогда, когда U содержит V ). Соответствующая прямая система имеет вид ( F ( U ), r _{U , V} ), где r — отображение ограничения. Прямой предел этой системы называется стеблем F в точке x и обозначается F _x . Для каждой окрестности U точки x канонический морфизм F ( U ) → F _x сопоставляет сечению s стебля F над U элемент s _x стебля F _{x ,} называемый ростком s в точке x .
• Прямые пределы в категории топологических пространств задаются путем помещения окончательной топологии на базовый теоретико-множественный прямой предел.
• Инд -схема — это индуктивный предел схем.

Прямые пределы связаны с обратными пределами через

${\displaystyle \mathrm {Hom} (\varinjlim X_{i},Y)=\varprojlim \mathrm {Hom} (X_{i},Y).}$

Важным свойством является то, что взятие прямых пределов в категории модулей является точным функтором . Это означает, что если вы начинаете с направленной системы коротких точных последовательностей и формируете прямые пределы, вы получаете короткую точную последовательность .${\displaystyle 0\to A_{i}\to B_{i}\to C_{i}\to 0}$${\displaystyle 0\to \varinjlim A_{i}\to \varinjlim B_{i}\to \varinjlim C_{i}\to 0}$

Отметим, что прямая система в категории допускает альтернативное описание в терминах функторов . Любое направленное множество можно рассматривать как малую категорию , объектами которой являются элементы , и существует морфизм тогда и только тогда, когда . Прямая система над тогда совпадает с ковариантным функтором . Копредел этого функтора совпадает с прямым пределом исходной прямой системы.${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle \langle I,\leq \rangle }$ ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$${\displaystyle I}$${\displaystyle i\rightarrow j}$ ${\displaystyle i\leq j}$${\displaystyle I}$ ${\displaystyle {\mathcal {I}}\rightarrow {\mathcal {C}}}$

Понятие, тесно связанное с прямыми пределами, — это фильтрованные копределы . Здесь мы начинаем с ковариантного функтора из фильтрованной категории в некоторую категорию и формируем копредел этого функтора. Можно показать, что категория имеет все направленные пределы тогда и только тогда, когда она имеет все фильтрованные копределы, и функтор, определенный на такой категории, коммутирует со всеми прямыми пределами тогда и только тогда, когда он коммутирует со всеми фильтрованными копределами. ^[1]${\displaystyle {\mathcal {J}}\to {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {J}}}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

Если задана произвольная категория , то могут существовать прямые системы в , которые не имеют прямого предела в (рассмотрим, например, категорию конечных множеств или категорию конечно порожденных абелевых групп ). В этом случае мы всегда можем вложиться в категорию , в которой существуют все прямые пределы; объекты из называются инд-объектами из . ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle {\text{Ind}}({\mathcal {C}})}$${\displaystyle {\text{Ind}}({\mathcal {C}})}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

Категориальный двойственный прямой предел называется обратным пределом . Как и выше, обратные пределы можно рассматривать как пределы определенных функторов, и они тесно связаны с пределами по кофильтрованным категориям.

В литературе можно найти термины «направленный предел», «прямой индуктивный предел», «направленный копредел», «прямой копредел» и «индуктивный предел» для концепции прямого предела, определенной выше. Термин «индуктивный предел», однако, неоднозначен, поскольку некоторые авторы используют его для общей концепции копредела.

• Прямые ограничения групп

• Бурбаки, Николя (1968), Элементы математики. Теория множеств , Перевод с французского, Париж: Hermann, MR  0237342
• Mac Lane, Saunders (1998), Категории для работающих математиков , Graduate Texts in Mathematics , т. 5 (2-е изд.), Springer-Verlag