Лемма Дена

В математике лемма Дена утверждает, что кусочно -линейное отображение диска в 3 -многообразие , причём особенность отображения задана внутри диска , влечет существование другого кусочно-линейного отображения диска, которое является вложением и идентично исходному на границе диска.

Считалось, что эта теорема была доказана Максом Деном  (1910), но Хельмут Кнезер  (1929, стр. 260) нашел пробел в доказательстве. Статус леммы Дена оставался под вопросом, пока Христос Папакирьякопулос  (1957, 1957b), используя работу Йоханссона (1938), не доказал ее с помощью своей «башенной конструкции». Он также обобщил теорему до теоремы о петле и теоремы о сфере .

Папакирьякопулос доказал лемму Дена, используя башню покрывающих пространств . Вскоре после этого Арнольд Шапиро и Дж. Х. К. Уайтхед  (1958) дали существенно более простое доказательство, доказав более мощный результат. Их доказательство использовало конструкцию башни Папакирьякопулоса, но с двойными покрытиями, как показано ниже:

• Шаг 1: Повторно берем связное двойное покрытие регулярной окрестности образа диска, чтобы получить башню пространств, каждое из которых является связным двойным покрытием того, что находится под ним. Отображение с диска можно поднять на все уровни этой башни. Каждое двойное покрытие упрощает особенности вложения диска, поэтому можно взять только конечное число таких двойных покрытий, и верхний уровень этой башни не имеет связных двойных покрытий.
• Шаг 2. Если 3-многообразие не имеет связных двойных покрытий, то все его граничные компоненты являются 2-сферами. В частности, верхний уровень башни обладает этим свойством, и в этом случае легко модифицировать карту из диска так, чтобы она стала вложением.
• Шаг 3. Теперь можно по одному шагу за раз вставлять диск в башню из двойных крышек, вырезая и вставляя 2-диск.

• Бинг, Р. Х. (1983), Геометрическая топология 3-многообразий , Американское математическое общество , стр. 183, ISBN 0-8218-1040-5
• Ден, Макс (1910), «Über die Topologie des drei Dimensionen Raumes», Mathematische Annalen , 69 : 137–168, doi : 10.1007/BF01455155, S2CID  121316558
• Жако, Уильям; Рубинштейн, Хайам (1989), «PL-эквивариантная хирургия и инвариантные разложения 3-многообразий», Успехи в математике , 73 (2): 149–191, doi : 10.1016/0001-8708(89)90067-4
• Йоханссон, Ингебригт (1935), «Über Singulare Elementarflächen und das Dehnsche Lemma», Mathematische Annalen , 110 : 312–330, doi : 10.1007/BF01448029, S2CID  123540473
• Йоханссон, Ингебригт (1938), «Teil 2, Thematische Annalen», Mathematische Annalen , 115 : 658–669, doi : 10.1007/BF01448964, S2CID  121541094
• Кнезер, Хельмут (1929), «Geschlossene Flächen in drei Dimensionen Mannigfaltigkeiten», Jber. немецкий. Математика. Верейн. , 38 : 248–260
• Papakyriakopoulos, CD (1957), «О лемме Дена и асферичности узлов», Proc. Natl. Acad. Sci. USA , 43 (1): 169–172, Bibcode : 1957PNAS...43..169P, doi : 10.1073/pnas.43.1.169 , MR  0082671, PMC  528404 , PMID  16589993
• Папакирьякопулос, CD (1957b), «О лемме Дена и асферичности узлов», Annals of Mathematics , 66 (1): 1–26, doi :10.2307/1970113, JSTOR  1970113, MR  0090053, PMC  528404 , PMID  16589993
• Рубинштейн, Дж. Х. (2003), Лемма Дена и теорема о петле , Низкомерная топология, новые исследования в области высшей математики, том 3, International Press, стр. 61–68
• Столлингс, Дж. Р. (1971), Теория групп и трехмерные многообразия , Издательство Йельского университета , ISBN 0-300-01397-3
• Шапиро, Арнольд ; Уайтхед, Дж. Х. К. (1958), «Доказательство и расширение леммы Дена», Бюллетень Американского математического общества , 64 (4), AMS: 174–178, doi : 10.1090/S0002-9904-1958-10198-6

• доказательство Папакириакопулоса от 1957 года