Кусочно-линейная функция
Тип математической функции

В математике кусочно-линейная или сегментированная функция — это действительная функция действительной переменной, график которой состоит из прямолинейных сегментов . [1]

Определение

Кусочно-линейная функция — это функция, определённая на (возможно, неограниченном) интервале действительных чисел , так что существует набор интервалов, на каждом из которых функция является аффинной функцией . (Таким образом, «кусочно-линейная» на самом деле определяется как «кусочно- аффинная ».) Если область определения функции компактна , то должен быть конечный набор таких интервалов; если область определения не компактна, то может потребоваться, чтобы она была конечной или локально конечной в действительных числах.

Примеры

Непрерывная кусочно-линейная функция

Функция определяется как

ф ( х ) = { − х − 3 если  х ≤ − 3 х + 3 если  − 3 < х < 0 − 2 х + 3 если  0 ≤ х < 3 0,5 х − 4.5 если  х ≥ 3 {\displaystyle f(x)={\begin{cases}-x-3&{\text{if}}x\leq -3\\x+3&{\text{if}}-3<x<0\\-2x+3&{\text{if}}0\leq x<3\\0.5x-4.5&{\text{if}}x\geq 3\end{cases}}}

является кусочно-линейной с четырьмя частями. График этой функции показан справа. Поскольку график аффинной(*) функции представляет собой линию , график кусочно-линейной функции состоит из отрезков и лучей . Значения x (в приведенном выше примере −3, 0 и 3), где происходит изменение наклона, обычно называются точками останова, точками изменения, пороговыми значениями или узлами. Как и во многих приложениях, эта функция также непрерывна. График непрерывной кусочно-линейной функции на компактном интервале представляет собой полигональную цепь .

(*) Линейная функция удовлетворяет по определению и, следовательно, в частности ; функции, график которых представляет собой прямую линию, являются аффинными , а не линейными . ф ( λ х ) = λ ф ( х ) {\displaystyle f(\лямбда x)=\лямбда f(x)} ф ( 0 ) = 0 {\displaystyle f(0)=0}

Есть и другие примеры кусочно-линейных функций:

Подгонка к кривой

Функция (синяя) и ее кусочно-линейная аппроксимация (красная)

Приближение к известной кривой можно найти путем выборки кривой и линейной интерполяции между точками. Опубликован алгоритм для вычисления наиболее значимых точек с учетом заданного допуска на ошибку. [3]

Соответствие данным

Если разделы, а затем и контрольные точки, уже известны, линейная регрессия может быть выполнена независимо на этих разделах. Однако в этом случае непрерывность не сохраняется, и также нет уникальной эталонной модели, лежащей в основе наблюдаемых данных. Был получен стабильный алгоритм для этого случая. [4]

Если разбиения неизвестны, остаточную сумму квадратов можно использовать для выбора оптимальных точек разделения. [5] Однако эффективное вычисление и совместная оценка всех параметров модели (включая точки останова) могут быть получены с помощью итеративной процедуры [6], в настоящее время реализованной в пакете segmented[7] для языка R.

Вариант обучения с помощью дерева решений , называемый модельными деревьями, изучает кусочно-линейные функции. [8]

Обобщения

Кусочно-линейная функция двух аргументов (вверху) и выпуклые многогранники, на которых она линейна (внизу)

Понятие кусочно-линейной функции имеет смысл в нескольких различных контекстах. Кусочно-линейные функции могут быть определены на n -мерном евклидовом пространстве или, в более общем смысле, на любом векторном пространстве или аффинном пространстве , а также на кусочно-линейных многообразиях и симплициальных комплексах (см. симплициальное отображение ). В каждом случае функция может быть вещественнозначной или может принимать значения из векторного пространства, аффинного пространства, кусочно-линейного многообразия или симплициального комплекса. (В этих контекстах термин «линейный» относится не только к линейным преобразованиям , но и к более общим аффинным линейным функциям.)

В размерностях выше единицы обычно требуется, чтобы область определения каждой части была многоугольником или многогранником . Это гарантирует, что график функции будет составлен из многоугольных или многогранных частей.

Сплайны обобщают кусочно-линейные функции до полиномов более высокого порядка, которые в свою очередь содержатся в категории кусочно-дифференцируемых функций, PDIFF .

Специализации

Важные подклассы кусочно-линейных функций включают непрерывные кусочно-линейные функции и выпуклые кусочно-линейные функции. В общем случае для каждой n -мерной непрерывной кусочно-линейной функции существует ф : Р н → Р {\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }

Π ∈ P ( P ( R n + 1 ) ) {\displaystyle \Pi \in {\mathcal {P}}({\mathcal {P}}(\mathbb {R} ^{n+1}))}

такой что

f ( x → ) = min Σ ∈ Π max ( a → , b ) ∈ Σ a → ⋅ x → + b . {\displaystyle f({\vec {x}})=\min _{\Sigma \in \Pi }\max _{({\vec {a}},b)\in \Sigma }{\vec {a}}\cdot {\vec {x}}+b.} [9]

Если выпукло и непрерывно, то существует f {\displaystyle f}

Σ ∈ P ( R n + 1 ) {\displaystyle \Sigma \in {\mathcal {P}}(\mathbb {R} ^{n+1})}

такой что

f ( x → ) = max ( a → , b ) ∈ Σ a → ⋅ x → + b . {\displaystyle f({\vec {x}})=\max _{({\vec {a}},b)\in \Sigma }{\vec {a}}\cdot {\vec {x}}+b.}

Приложения

Реакция урожая на глубину грунтовых вод [10]
Пример реакции сельскохозяйственных культур на засоление почвы [11]

В сельском хозяйстве кусочно -регрессионный анализ измеренных данных используется для определения диапазона, в котором факторы роста влияют на урожайность, и диапазона, в котором урожай не чувствителен к изменениям этих факторов.

Изображение слева показывает, что при неглубоких уровнях грунтовых вод урожайность снижается, тогда как при более глубоких (> 7 дм) уровнях грунтовых вод урожайность не изменяется. График построен с использованием метода наименьших квадратов для нахождения двух сегментов с наилучшим соответствием .

График справа показывает, что урожайность культур выдерживает засоление почвы до ECe = 8 дСм/м (ECe — электропроводность вытяжки из насыщенного образца почвы), а за пределами этого значения урожайность культур снижается. График построен методом частичной регрессии для нахождения самого длинного диапазона «отсутствия эффекта», т. е. где линия горизонтальна. Два сегмента не обязательно должны соединяться в одной точке. Только для второго сегмента используется метод наименьших квадратов.

Смотрите также

Дальнейшее чтение

  • Эппс, П., Лонг, Н. и Риз, Р. (2014). Оптимальное кусочно-линейное налогообложение доходов. Журнал общественной экономической теории , 16 (4), 523–545.

Ссылки

  1. ^ Стэнли, Уильям Д. (2004). Технический анализ и приложения с Matlab . Cengage Learning. стр. 143. ISBN 978-1401864811.
  2. ^ ab Weisstein, Eric W. "Piecewise Function". mathworld.wolfram.com . Получено 24.08.2020 .
  3. ^ Хаманн, Б.; Чен, Дж. Л. (1994). "Выбор точек данных для кусочно-линейной аппроксимации кривой" (PDF) . Computer Aided Geometric Design . 11 (3): 289. doi :10.1016/0167-8396(94)90004-3.
  4. ^ Головченко, Николай. "Подгонка непрерывной кусочно-линейной функции методом наименьших квадратов" . Получено 6 декабря 2012 г.
  5. ^ Vieth, E. (1989). «Подгонка кусочно-линейной регрессионной функции к биологическим реакциям». Журнал прикладной физиологии . 67 (1): 390–396 . doi :10.1152/jappl.1989.67.1.390. PMID  2759968.
  6. ^ Muggeo, VMR (2003). «Оценка моделей регрессии с неизвестными точками разрыва». Статистика в медицине . 22 (19): 3055– 3071. doi :10.1002/sim.1545. PMID  12973787. S2CID  36264047.
  7. ^ Muggeo, VMR (2008). «Сегментированный: пакет R для подгонки регрессионных моделей с ломаными связями» (PDF) . R News . 8 : 20–25 .
  8. ^ Ландвер, Н.; Холл, М.; Франк, Э. (2005). «Деревья логистических моделей» (PDF) . Машинное обучение . 59 ( 1–2 ): 161–205 . doi : 10.1007/s10994-005-0466-3 . S2CID  6306536.
  9. ^ Овчинников, Сергей (2002). «Макс-мин представление кусочно-линейных функций». Beiträge zur Algebra und Geometry . 43 (1): 297–302 . arXiv : math/0009026 . МР  1913786.
  10. ^ Калькулятор для кусочной регрессии.
  11. ^ Калькулятор частичной регрессии.
Retrieved from "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Piecewise_linear_function&oldid=1242101533"