Степень алгебраического многообразия

This article needs additional citations for verification. Please help improve this article by adding citations to reliable sources. Unsourced material may be challenged and removed. Find sources: "Degree of an algebraic variety" – news · newspapers · books · scholar · JSTOR (October 2024) (Learn how and when to remove this message)

В математике степень аффинного или проективного многообразия размерности n — это число точек пересечения многообразия с n гиперплоскостями в общем положении . ^[1] Для алгебраического множества точки пересечения должны быть подсчитаны с их кратностью пересечения из-за возможности кратных компонент. Для (неприводимых) многообразий, если принять во внимание кратности и, в аффинном случае, точки на бесконечности, гипотеза общего положения может быть заменена гораздо более слабым условием, что пересечение многообразия имеет размерность ноль (то есть состоит из конечного числа точек). Это обобщение теоремы Безу . (Для доказательства см. ряды Гильберта и многочлен Гильберта § Степень проективного многообразия и теорему Безу .)

Степень не является внутренним свойством многообразия, поскольку она зависит от конкретного вложения многообразия в аффинное или проективное пространство.

Степень гиперповерхности равна полной степени ее определяющего уравнения. Обобщение теоремы Безу утверждает, что если пересечение n проективных гиперповерхностей имеет коразмерность n , то степень пересечения является произведением степеней гиперповерхностей.

Степень проективного многообразия — это оценка числителя ряда Гильберта его координатного кольца с оценкой 1. Отсюда следует, что, если заданы уравнения многообразия, степень может быть вычислена из базиса Грёбнера идеала этих уравнений.

Для V, вложенного в проективное пространство P ⁿ и определенного над некоторым алгебраически замкнутым полем K , степень d поля V — это число точек пересечения V , определенного над K , с линейным подпространством L в общем положении , таким, что

${\displaystyle \dim(V)+\dim(L)=n.}$

Здесь dim( V ) — размерность V , а коразмерность L будет равна этой размерности. Степень d — это внешняя величина, а не внутренняя как свойство V . Например, проективная прямая имеет (по сути, единственное) вложение степени n в P ⁿ .

Степень гиперповерхности F = 0 совпадает с полной степенью однородного многочлена F, определяющего ее (при условии, что в случае, если F имеет повторяющиеся множители, для подсчета пересечений с кратностью используется теория пересечений , как в теореме Безу ).

Если два многообразия Y и Z пересекаются трансверсально, то степень их пересечения равна произведению их степеней: deg Y ∩ Z = (deg Y)(deg Z) .

Для более сложного подхода линейная система делителей, определяющая вложение V , может быть связана с линейным расслоением или обратимым пучком, определяющим вложение его пространством сечений. Тавтологическое линейное расслоение на P ⁿ тянется обратно к V . Степень определяет первый класс Черна . Степень ^также может быть вычислена в кольце когомологий P n , или кольце Чжоу , с классом гиперплоскости , пересекающим класс V соответствующее число раз.

Степень может быть использована для обобщения теоремы Безу ожидаемым образом на пересечения n гиперповерхностей в P ⁿ .