Линейная система делителей

В алгебраической геометрии линейная система делителей является алгебраическим обобщением геометрического понятия семейства кривых ; размерность линейной системы соответствует числу параметров семейства.

Они возникли сначала в виде линейной системы алгебраических кривых в проективной плоскости . Она приняла более общую форму посредством постепенного обобщения, так что можно было говорить о линейной эквивалентности дивизоров D на общей схеме или даже окольцованном пространстве . ^[1] ${\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})}$

Линейные системы размерности 1, 2 или 3 называются соответственно пучком , сеткой или паутиной .

Карту, определяемую линейной системой, иногда называют картой Кодаиры .

Для общего многообразия два делителя линейно эквивалентны , если${\displaystyle X}$${\displaystyle D,E\in {\text{Div}}(X)}$

${\displaystyle E=D+(f)\ }$

для некоторой ненулевой рациональной функции на , или, другими словами, ненулевого элемента поля функций . Здесь обозначает делитель нулей и полюсов функции .${\displaystyle f}$${\displaystyle X}$${\displaystyle f}$ ${\displaystyle k(X)}$${\displaystyle (ж)}$${\displaystyle f}$

Обратите внимание, что если имеет особые точки , то понятие «дивизор» по своей сути неоднозначно ( дивизор Картье , дивизор Вейля : см. дивизор (алгебраическая геометрия) ). Определение в этом случае обычно дается с большей осторожностью (используя обратимые пучки или голоморфные линейные расслоения ); см. ниже.${\displaystyle X}$

Полная линейная система на определяется как множество всех эффективных делителей, линейно эквивалентных некоторому заданному дивизору . Оно обозначается . Пусть будет линейным расслоением, связанным с . В случае, если является неособым проективным многообразием, множество находится в естественной биекции с [ ^2] путем сопоставления элемента с множеством ненулевых кратных (это хорошо определено, поскольку две ненулевые рациональные функции имеют один и тот же делитель тогда и только тогда, когда они являются ненулевыми кратными друг другу). Таким образом, полная линейная система является проективным пространством.${\displaystyle X}$${\displaystyle D\in {\text{Div}}(X)}$${\displaystyle |D|}$${\displaystyle {\mathcal {L}}}$${\displaystyle D}$${\displaystyle X}$${\displaystyle |D|}$${\displaystyle (\Gamma (X,{\mathcal {L}})\smallsetminus \{0\})/k^{\ast },}$${\displaystyle E=D+(f)}$${\displaystyle |D|}$${\displaystyle f}$${\displaystyle |D|}$

Тогда линейная система является проективным подпространством полной линейной системы, поэтому она соответствует векторному подпространству W из Размерность линейной системы является ее размерностью как проективного пространства. Следовательно .${\displaystyle {\mathfrak {d}}}$${\displaystyle \Gamma (X,{\mathcal {L}}).}$${\displaystyle {\mathfrak {d}}}$${\displaystyle \dim {\mathfrak {d}}=\dim W-1}$

Линейные системы также могут быть введены посредством языка линейного расслоения или обратимого пучка . В этих терминах дивизоры ( точнее, дивизоры Картье ) соответствуют линейным расслоениям, а линейная эквивалентность двух дивизоров означает, что соответствующие линейные расслоения изоморфны.${\displaystyle D}$

Рассмотрим линейное расслоение, на сечениях которого определяются квадратичные поверхности . Для ассоциированного дивизора он линейно эквивалентен любому другому дивизору, определяемому локусом исчезновения некоторого с помощью рациональной функции ^[2] (Предложение 7.2). Например, дивизор, ассоциированный с локусом исчезновения , линейно эквивалентен дивизору, ассоциированному с локусом исчезновения . Тогда имеет место эквивалентность дивизоров${\displaystyle {\mathcal {O}}(2)}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{3}}$${\displaystyle s\in \Gamma (\mathbb {P} ^{3},{\mathcal {O}}(2))}$${\displaystyle D_{s}=Z(s)}$${\displaystyle t\in \Gamma (\mathbb {P} ^{3},{\mathcal {O}}(2))}$${\displaystyle \left(t/s\right)}$${\displaystyle D}$${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}+w^{2}}$${\displaystyle E}$${\displaystyle xy}$

${\displaystyle D=E+\left({\frac {x^{2}+y^{2}+z^{2}+w^{2}}{xy}}\right)}$

Одна из важных полных линейных систем на алгебраической кривой рода задается полной линейной системой, связанной с каноническим дивизором , обозначаемым . Это определение следует из предложения II.7.7 Хартсхорна ^[2], поскольку каждый эффективный дивизор в линейной системе происходит из нулей некоторого сечения .${\displaystyle C}$ ${\displaystyle g}$${\displaystyle K}$${\displaystyle |K|=\mathbb {P} (H^{0}(C,\omega _{C}))}$${\displaystyle \omega _{C}}$

Одно из приложений линейных систем используется в классификации алгебраических кривых. Гиперэллиптическая кривая — это кривая с морфизмом степени . ^[2] Для случая, когда все кривые являются гиперэллиптическими: теорема Римана–Роха тогда дает степень , равную и , следовательно, существует отображение степени в .${\displaystyle C}$${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle f:C\to \mathbb {P} ^{1}}$${\displaystyle g=2}$${\displaystyle K_{C}}$${\displaystyle 2g-2=2}$${\displaystyle h^{0}(K_{C})=2}$${\displaystyle 2}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}=\mathbb {P} (H^{0}(C,\omega _{C}))}$

A — линейная система на кривой , которая имеет степень и размерность . Например, гиперэллиптические кривые имеют , которое индуцируется -отображением . Фактически, гиперэллиптические кривые имеют уникальный ^[2] из предложения 5.3. Другой близкий набор примеров — кривые с , которые называются тригональными кривыми . Фактически, любая кривая имеет для . [ ^3]${\displaystyle g_{d}^{r}}$${\displaystyle {\mathfrak {d}}}$${\displaystyle C}$${\displaystyle d}$${\displaystyle r}$${\displaystyle g_{2}^{1}}$${\displaystyle 2:1}$${\displaystyle C\to \mathbb {P} ^{1}}$${\displaystyle g_{2}^{1}}$${\displaystyle g_{1}^{3}}$${\displaystyle g_{1}^{d}}$${\displaystyle d\geq (1/2)g+1}$

Рассмотрим линейное расслоение над . Если мы возьмем глобальные сечения , то мы можем взять его проективизацию . Это изоморфно тому, где${\displaystyle {\mathcal {O}}(d)}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$${\displaystyle V=\Gamma ({\mathcal {O}}(d))}$${\displaystyle \mathbb {P} (V)}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{N}}$

${\displaystyle N={\binom {n+d}{n}}-1}$

Тогда, используя любое вложение, мы можем построить линейную систему размерности .${\displaystyle \mathbb {P} ^{k}\to \mathbb {P} ^{N}}$${\displaystyle k}$

Характеристическая линейная система семейства кривых на алгебраической поверхности Y для кривой C в семействе — это линейная система, образованная кривыми в семействе, которые бесконечно близки к C. [ ^4]

В современных терминах это подсистема линейной системы, ассоциированная с нормальным расслоением . Обратите внимание, что характеристическая система не обязательно должна быть полной; на самом деле, вопрос полноты широко изучался итальянской школой без удовлетворительного заключения; в настоящее время для ответа на вопрос полноты можно использовать теорию Кодаиры–Спенсера .${\displaystyle C\hookrightarrow Y}$

Теорема Кэли –Бахараха — это свойство пучка кубик, утверждающее, что базисное многообразие удовлетворяет свойству «из 8 следует 9»: любая кубика, содержащая 8 точек, обязательно содержит 9-ю.

В общем линейные системы стали основным инструментом бирациональной геометрии , как ее практиковала итальянская школа алгебраической геометрии . Технические требования стали довольно строгими; более поздние разработки прояснили ряд вопросов. Вычисление соответствующих размерностей — проблема Римана–Роха, как ее можно назвать — может быть лучше сформулировано в терминах гомологической алгебры . Эффект работы над многообразиями с особыми точками заключается в том, чтобы показать разницу между дивизорами Вейля (в свободной абелевой группе, порожденной подмногообразиями коразмерности один) и дивизорами Картье , полученными из сечений обратимых пучков .

Итальянская школа любила сводить геометрию на алгебраической поверхности к геометрии линейных систем, вырезанных поверхностями в трехмерном пространстве; Зариский написал свою знаменитую книгу «Алгебраические поверхности» , чтобы попытаться объединить методы, включающие линейные системы с фиксированными базисными точками . Возник спор, один из последних вопросов в конфликте между «старыми» и «новыми» точками зрения в алгебраической геометрии, по поводу характерной линейной системы Анри Пуанкаре алгебраического семейства кривых на алгебраической поверхности.

Базисное множество линейной системы дивизоров на многообразии относится к подмногообразию точек, «общих» для всех дивизоров в линейной системе. Геометрически это соответствует общему пересечению многообразий. Линейные системы могут иметь или не иметь базисное множество — например, пучок аффинных прямых не имеет общего пересечения, но если взять две (невырожденные) коники в комплексной проективной плоскости, они пересекаются в четырех точках (с учетом кратности), и, таким образом, определяемый ими пучок имеет эти точки в качестве базисного множества.${\displaystyle x=a}$

Точнее, предположим, что есть полная линейная система делителей на некотором многообразии . Рассмотрим пересечение${\displaystyle |D|}$${\displaystyle X}$

${\displaystyle \operatorname {Bl} (|D|):=\bigcap _{D_{\text{eff}}\in |D|}\operatorname {Supp} D_{\text{eff}}\ }$

где обозначает носитель дивизора, а пересечение берется по всем эффективным дивизорам в линейной системе. Это базисное геометрическое место ( как множество, по крайней мере: могут быть более тонкие схемно-теоретические соображения относительно того, каким должен быть структурный пучок ).${\displaystyle \operatorname {Supp} }$${\displaystyle D_{\text{eff}}}$${\displaystyle |D|}$${\displaystyle \operatorname {Bl} }$

Одно из применений понятия базисного множества — это nefness класса дивизоров Картье (т. е. полной линейной системы). Предположим, что есть такой класс на многообразии , а неприводимая кривая на . Если не содержится в базисном множестве , то существует некоторый дивизор в классе , который не содержит , и поэтому пересекает его должным образом. Тогда основные факты из теории пересечений говорят нам, что у нас должно быть . Вывод состоит в том, что для проверки nefness класса дивизоров достаточно вычислить число пересечений с кривыми, содержащимися в базисном множестве класса. Таким образом, грубо говоря, чем «меньше» базисное множество, тем «более вероятно», что класс является nef.${\displaystyle |D|}$${\displaystyle X}$${\displaystyle C}$${\displaystyle X}$${\displaystyle C}$${\displaystyle |D|}$${\displaystyle {\tilde {D}}}$${\displaystyle C}$${\displaystyle |D|\cdot C\geq 0}$

В современной формулировке алгебраической геометрии полная линейная система дивизоров (Картье) на многообразии рассматривается как линейное расслоение на . С этой точки зрения базисное множество является множеством общих нулей всех сечений . Простым следствием является то, что расслоение глобально генерируется тогда и только тогда, когда базисное множество пусто.${\displaystyle |D|}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {O}}(D)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \operatorname {Bl} (|D|)}$${\displaystyle {\mathcal {O}}(D)}$

Понятие базисного многообразия по-прежнему имеет смысл и для неполной линейной системы: ее базисное многообразие по-прежнему является пересечением носителей всех эффективных делителей в системе.

Рассмотрим пучок Лефшеца , заданный двумя общими сечениями , т.е. заданный схемой${\displaystyle p:{\mathfrak {X}}\to \mathbb {P} ^{1}}$${\displaystyle f,g\in \Gamma (\mathbb {P} ^{n},{\mathcal {O}}(d))}$${\displaystyle {\mathfrak {X}}}$

${\displaystyle {\mathfrak {X}}={\text{Proj}}\left({\frac {k[s,t][x_{0},\ldots ,x_{n}]}{(sf+tg)}}\right)}$

Это имеет связанную линейную систему делителей, поскольку каждый многочлен для фиксированного является делителем в . Тогда базисное множество этой системы делителей является схемой, заданной нулевым множеством , поэтому${\displaystyle s_{0}f+t_{0}g}$${\displaystyle [s_{0}:t_{0}]\in \mathbb {P} ^{1}}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$${\displaystyle f,g}$

${\displaystyle {\text{Bl}}({\mathfrak {X}})={\text{Proj}}\left({\frac {k[s,t][x_{0},\ldots ,x_{n}]}{(f,g)}}\right)}$

Каждая линейная система на алгебраическом многообразии определяет морфизм из дополнения базисного множества в проективное пространство размерности системы следующим образом. (В некотором смысле, обратное также верно; см. раздел ниже)

Пусть L — линейное расслоение на алгебраическом многообразии X и конечномерное векторное подпространство. Для ясности сначала рассмотрим случай, когда V не имеет базисных точек; другими словами, естественное отображение сюръективно (здесь k = базисное поле). Или, что эквивалентно, сюръективно. Следовательно, записывая для тривиального векторного расслоения и передавая сюръекцию относительному Proj , имеем замкнутое погружение :${\displaystyle V\subset \Gamma (X,L)}$${\displaystyle V\otimes _{k}{\mathcal {O}}_{X}\to L}$${\displaystyle \operatorname {Sym} ((V\otimes _{k}{\mathcal {O}}_{X})\otimes _{{\mathcal {O}}_{X}}L^{-1})\to \bigoplus _{n=0}^{\infty }{\mathcal {O}}_{X}}$${\displaystyle V_{X}=V\times X}$

${\displaystyle i:X\hookrightarrow \mathbb {P} (V_{X}^{*}\otimes L)\simeq \mathbb {P} (V_{X}^{*})=\mathbb {P} (V^{*})\times X}$

где справа — инвариантность проективного расслоения относительно поворота на линейное расслоение. После i на проекцию, в результате получается отображение: ^[5]${\displaystyle \simeq }$

${\displaystyle f:X\to \mathbb {P} (V^{*}).}$

Когда базисное множество V не пусто, вышеприведенное обсуждение все еще продолжается с прямой суммой, замененной идеальным пучком, определяющим базисное множество, и X , замененным его раздутием вдоль (теоретико-схемного) базисного множества B. Точно, как и выше, существует сюръекция , где — идеальный пучок B , и это приводит к ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$${\displaystyle {\widetilde {X}}}$${\displaystyle \operatorname {Sym} ((V\otimes _{k}{\mathcal {O}}_{X})\otimes _{{\mathcal {O}}_{X}}L^{-1})\to \bigoplus _{n=0}^{\infty }{\mathcal {I}}^{n}}$${\displaystyle {\mathcal {I}}}$

${\displaystyle i:{\widetilde {X}}\hookrightarrow \mathbb {P} (V^{*})\times X.}$

Так как подмножество открыто , то в карте получается:${\displaystyle X-B\simeq }$${\displaystyle {\widetilde {X}}}$

${\displaystyle f:X-B\to \mathbb {P} (V^{*}).}$

Наконец, когда выбирается базис V , приведенное выше обсуждение становится более приземленным (и именно такой стиль используется в работе Хартсхорна «Алгебраическая геометрия»).

This section needs expansion. You can help by adding to it. (August 2019)

Каждый морфизм из алгебраического многообразия в проективное пространство определяет линейную систему без базисных точек на многообразии; по этой причине линейная система без базисных точек и отображение в проективное пространство часто используются как взаимозаменяемые.

Для замкнутого погружения алгебраических многообразий существует обратный образ линейной системы на , определяемый как ^[2] (стр. 158).${\displaystyle f:Y\hookrightarrow X}$${\displaystyle {\mathfrak {d}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle f^{-1}({\mathfrak {d}})=\{f^{-1}(D)|D\in {\mathfrak {d}}\}}$

Проективное многообразие, вложенное в , имеет естественную линейную систему, определяющую отображение в проективное пространство из . Это переводит точку в соответствующую ей точку .${\displaystyle X}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{r}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(1)={\mathcal {O}}_{X}\otimes _{{\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{r}}}{\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{r}}(1)}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle [x_{0}:\cdots :x_{r}]\in \mathbb {P} ^{r}}$

• Теория Брилла–Нётер
• Карандаш Лефшеца
• связка основных частей