Операторы создания и уничтожения

Операторы создания и операторы уничтожения — это математические операторы , которые широко применяются в квантовой механике , в частности, при изучении квантовых гармонических осцилляторов и многочастичных систем. ^[1] Оператор уничтожения (обычно обозначаемый ) уменьшает число частиц в заданном состоянии на единицу. Оператор создания (обычно обозначаемый ) увеличивает число частиц в заданном состоянии на единицу, и он является сопряженным к оператору уничтожения. Во многих разделах физики и химии использование этих операторов вместо волновых функций известно как вторичное квантование . Они были введены Полем Дираком . ^[2]${\displaystyle {\шляпа {а}}}$${\displaystyle {\hat {a}}^{\dagger }}$

Операторы создания и уничтожения могут действовать на состояния различных типов частиц. Например, в квантовой химии и теории многих тел операторы создания и уничтожения часто действуют на электронные состояния. Они также могут относиться конкретно к операторам лестницы для квантового гармонического осциллятора . В последнем случае оператор создания интерпретируется как повышающий оператор, добавляющий квант энергии к системе осциллятора (аналогично для понижающего оператора). Их можно использовать для представления фононов . Построение гамильтонианов с использованием этих операторов имеет то преимущество, что теория автоматически удовлетворяет теореме о кластерном разложении . ^[3]

Математика для операторов рождения и уничтожения бозонов та же, что и для лестничных операторов квантового гармонического осциллятора . ^[4] Например, коммутатор операторов рождения и уничтожения, которые связаны с одним и тем же состоянием бозона, равен единице, в то время как все остальные коммутаторы равны нулю. Однако для фермионов математика отличается, в ней вместо коммутаторов используются антикоммутаторы . ^[5]

В контексте квантового гармонического осциллятора операторы лестницы интерпретируются как операторы создания и уничтожения, добавляющие или вычитающие фиксированные кванты энергии из системы осциллятора.

Операторы рождения/уничтожения различны для бозонов (целый спин) и фермионов (полуцелый спин). Это связано с тем, что их волновые функции имеют разные свойства симметрии .

Сначала рассмотрим более простой бозонный случай фотонов квантового гармонического осциллятора. Начнем с уравнения Шредингера для одномерного независимого от времени квантового гармонического осциллятора ,$${\displaystyle \left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+{\frac {1}{2}}m\omega ^{2}x^{2}\right)\psi (x)=E\psi (x).}$$

Сделайте замену координат, чтобы сделать дифференциальное уравнение безразмерным.$${\displaystyle x\ =\ {\sqrt {\frac {\hbar }{m\omega }}}q.}$$

Уравнение Шредингера для осциллятора принимает вид$${\displaystyle {\frac {\hbar \omega }{2}}\left(-{\frac {d^{2}}{dq^{2}}}+q^{2}\right)\psi (q)=E\psi (q).}$$

Обратите внимание, что эта величина представляет собой ту же энергию, что и для квантов света , и что скобки в гамильтониане можно записать как${\displaystyle \hbar \omega =h\nu }$$${\displaystyle -{\frac {d^{2}}{dq^{2}}}+q^{2}=\left(-{\frac {d}{dq}}+q\right)\left({\frac {d}{dq}}+q\right)+{\frac {d}{dq}}qq{\frac {d}{dq}}.}$$

Последние два члена можно упростить, рассмотрев их влияние на произвольную дифференцируемую функцию${\displaystyle f(q),}$

$${\displaystyle \left({\frac {d}{dq}}qq{\frac {d}{dq}}\right)f(q)={\frac {d}{dq}}(qf(q))-q{\frac {df(q)}{dq}}=f(q)}$$что подразумевает, совпадая с обычным каноническим коммутационным соотношением , в представлении позиционного пространства: .$${\displaystyle {\frac {d}{dq}}qq{\frac {d}{dq}}=1,}$$${\displaystyle -i[q,p]=1}$${\displaystyle p:=-i{\frac {d}{dq}}}$

Следовательно, и уравнение Шредингера для осциллятора становится, с заменой вышеизложенного и перестановкой множителя 1/2,$${\displaystyle -{\frac {d^{2}}{dq^{2}}}+q^{2}=\left(-{\frac {d}{dq}}+q\right)\left({\frac {d}{dq}}+q\right)+1}$$$${\displaystyle \hbar \omega \left[{\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(-{\frac {d}{dq}}+q\right){\frac {1}{\sqrt {2}}}\left({\frac {d}{dq}}+q\right)+{\frac {1}{2}}\right]\psi (q)=E\psi (q).}$$

Если определить как «оператор создания» или «оператор повышения» и как «оператор уничтожения» или «оператор понижения» , то уравнение Шредингера для осциллятора сводится к Это значительно проще исходной формы. Дальнейшие упрощения этого уравнения позволяют вывести все свойства, перечисленные выше до сих пор.$${\displaystyle a^{\dagger }\ =\ {\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(-{\frac {d}{dq}}+q\right)}$$$${\displaystyle a\ \ =\ {\frac {1}{\sqrt {2}}}\left({\frac {d}{dq}}+q\right)}$$$${\displaystyle \hbar \omega \left(a^{\dagger }a+{\frac {1}{2}}\right)\psi (q)=E\psi (q).}$$

Полагая , где — безразмерный оператор импульса, имеем${\displaystyle p=-i{\frac {d}{dq}}}$${\displaystyle p}$

$${\displaystyle [q,p]=i\,}$$и$${\displaystyle {\begin{aligned}a&={\frac {1}{\sqrt {2}}}(q+ip)={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(q+{\frac {d}{dq}}\right)\\[1ex]a^{\dagger }&={\frac {1}{\sqrt {2}}}(q-ip)={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(q-{\frac {d}{dq}}\right).\end{aligned}}}$$

Обратите внимание, что это подразумевает$${\displaystyle [a,a^{\dagger }]={\frac {1}{2}}[q+ip,q-ip]={\frac {1}{2}}([q,-ip]+[ip,q])=-{\frac {i}{2}}([q,p]+[q,p])=1.}$$

Операторы и можно противопоставить нормальным операторам , которые коммутируют со своими сопряженными операторами. ^{[примечание 1]}${\displaystyle a\,}$${\displaystyle a^{\dagger }\,}$

Используя приведенные выше коммутационные соотношения, оператор Гамильтона можно выразить как$${\displaystyle {\hat {H}}=\hbar \omega \left(a\,a^{\dagger }-{\frac {1}{2}}\right)=\hbar \omega \left(a^{\dagger }\,a+{\frac {1}{2}}\right).\qquad \qquad (*)}$$

Можно вычислить коммутационные соотношения между операторами и и гамильтонианом: ^[6]${\displaystyle a\,}$${\displaystyle a^{\dagger }\,}$$${\displaystyle {\begin{aligned}\left[{\hat {H}},a\right]&=\left[\hbar \omega \left(aa^{\dagger }-{\tfrac {1}{2}}\right),a\right]=\hbar \omega \left[aa^{\dagger },a\right]=\hbar \omega \left(a[a^{\dagger },a]+[a,a]a^{\dagger }\right)=-\hbar \omega a.\\[1ex]\left[{\hat {H}},a^{\dagger }\right]&=\hbar \omega \,a^{\dagger }.\end{aligned}}}$$

Эти соотношения можно использовать для легкого нахождения всех собственных энергетических состояний квантового гармонического осциллятора следующим образом.

Предполагая, что является собственным состоянием гамильтониана . Используя эти коммутационные соотношения, следует, что ^[6]${\displaystyle \psi _{n}}$${\displaystyle {\hat {H}}\psi _{n}=E_{n}\,\psi _{n}}$$${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {H}}\,a\psi _{n}&=(E_{n}-\hbar \omega )\,a\psi _{n}.\\[1ex]{\hat {H}}\,a^{\dagger }\psi _{n}&=(E_{n}+\hbar \omega )\,a^{\dagger }\psi _{n}.\end{aligned}}}$$

Это показывает, что и также являются собственными состояниями гамильтониана с собственными значениями и соответственно. Это определяет операторы и как "понижающие" и "повышающие" операторы между соседними собственными состояниями. Разность энергий между соседними собственными состояниями составляет .${\displaystyle a\psi _{n}}$${\displaystyle a^{\dagger }\psi _{n}}$${\displaystyle E_{n}-\hbar \omega }$${\displaystyle E_{n}+\hbar \omega }$${\displaystyle a}$${\displaystyle a^{\dagger }}$${\displaystyle \Delta E=\hbar \omega }$

Основное состояние можно найти, предположив, что понижающий оператор обладает нетривиальным ядром: с . Применяя гамильтониан к основному состоянию,${\displaystyle a\,\psi _{0}=0}$${\displaystyle \psi _{0}\neq 0}$

$${\displaystyle {\hat {H}}\psi _{0}=\hbar \omega \left(a^{\dagger }a+{\frac {1}{2}}\right)\psi _{0}=\hbar \omega a^{\dagger }a\psi _{0}+{\frac {\hbar \omega }{2}}\psi _{0}=0+{\frac {\hbar \omega }{2}}\psi _{0}=E_{0}\psi _{0}.}$$То же самое и с собственной функцией гамильтониана.${\displaystyle \psi _{0}}$

Это дает энергию основного состояния , которая позволяет определить собственное значение энергии любого собственного состояния как ^[6]${\displaystyle E_{0}=\hbar \omega /2}$${\displaystyle \psi _{n}}$$${\displaystyle E_{n}=\left(n+{\tfrac {1}{2}}\right)\hbar \omega .}$$

Более того, оказывается, что первый упомянутый оператор в (*), числовой оператор, играет наиболее важную роль в приложениях, тогда как второй, можно просто заменить на .${\displaystyle N=a^{\dagger }a\,,}$${\displaystyle aa^{\dagger }\,}$${\displaystyle N+1}$

Следовательно,$${\displaystyle \hbar \omega \,\left(N+{\tfrac {1}{2}}\right)\,\psi (q)=E\,\psi (q)~.}$$

Оператор эволюции во времени тогда имеет вид$${\displaystyle {\begin{aligned}U(t)&=\exp(-it{\hat {H}}/\hbar )=\exp(-it\omega (a^{\dagger }a+1/2))~,\\[1ex]&=e^{-it\omega /2}~\sum _{k=0}^{\infty }{(e^{-i\omega t}-1)^{k} \over k!}a^{{\dagger }{k}}a^{k}~.\end{aligned}}}$$

Основное состояние квантового гармонического осциллятора можно найти, наложив условие, что${\displaystyle \ \psi _{0}(q)}$$${\displaystyle a\ \psi _{0}(q)=0.}$$

Записанная в виде дифференциального уравнения, волновая функция удовлетворяет решению$${\displaystyle q\psi _{0}+{\frac {d\psi _{0}}{dq}}=0}$$$${\displaystyle \psi _{0}(q)=C\exp \left(-{\tfrac {1}{2}}q^{2}\right).}$$

Константа нормализации C находится из , используя гауссовский интеграл . Явные формулы для всех собственных функций теперь могут быть найдены повторным применением к . [ ^7]${\displaystyle 1/{\sqrt[{4}]{\pi }}}$${\textstyle \int _{-\infty }^{\infty }\psi _{0}^{*}\psi _{0}\,dq=1}$${\displaystyle a^{\dagger }}$${\displaystyle \psi _{0}}$

Матричное выражение операторов рождения и уничтожения квантового гармонического осциллятора относительно указанного выше ортонормированного базиса имеет вид$${\displaystyle {\begin{aligned}a^{\dagger }&={\begin{pmatrix}0&0&0&0&\dots &0&\dots \\{\sqrt {1}}&0&0&0&\dots &0&\dots \\0&{\sqrt {2}}&0&0&\dots &0&\dots \\0&0&{\sqrt {3}}&0&\dots &0&\dots \\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &\dots &\dots \\0&0&0&\dots &{\sqrt {n}}&0&\dots &\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\ddots \end{pmatrix}}\\[1ex]a&={\begin{pmatrix}0&{\sqrt {1}}&0&0&\dots &0&\dots \\0&0&{\sqrt {2}}&0&\dots &0&\dots \\0&0&0&{\sqrt {3}}&\dots &0&\dots \\0&0&0&0&\ddots &\vdots &\dots \\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &{\sqrt {n}}&\dots \\0&0&0&0&\dots &0&\ddots \\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \end{pmatrix}}\end{aligned}}}$$

Их можно получить с помощью соотношений и . Собственные векторы являются собственными векторами квантового гармонического осциллятора и иногда называются «числовым базисом».${\displaystyle a_{ij}^{\dagger }=\left\langle \psi _{i}\right|a^{\dagger }\left|\psi _{j}\right\rangle }$${\displaystyle a_{ij}=\left\langle \psi _{i}\right|a\left|\psi _{j}\right\rangle }$${\displaystyle \psi _{i}}$

Благодаря теории представлений и C*-алгебрам, операторы, полученные выше, на самом деле являются частным случаем более обобщенного понятия операторов создания и уничтожения в контексте алгебр CCR и CAR . Математически и даже в более общем смысле операторы лестницы могут быть поняты в контексте корневой системы полупростой группы Ли и связанной с ней полупростой алгебры Ли без необходимости реализации представления как операторов в функциональном гильбертовом пространстве . ^[8]

В случае представления пространства Гильберта операторы строятся следующим образом: Пусть будет одночастичным пространством Гильберта (то есть любым пространством Гильберта, рассматриваемым как представляющим состояние одной частицы). ( Бозонная ) алгебра ККС над является алгеброй-с-оператором-сопряжения (называемой * ), абстрактно порожденной элементами , где свободно пробегает по , подчиняясь соотношениям${\displaystyle H}$${\displaystyle H}$${\displaystyle a(f)}$${\displaystyle f\,}$${\displaystyle H}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\left[a(f),a(g)\right]&=\left[a^{\dagger }(f),a^{\dagger }(g)\right]=0\\[1ex]\left[a(f),a^{\dagger }(g)\right]&=\langle f\mid g\rangle ,\end{aligned}}}$$в скобочной нотации .

Отображение из в бозонную алгебру CCR должно быть комплексно антилинейным (это добавляет больше отношений). Его сопряженный элемент — , а отображение комплексно линейно в H . Таким образом, встраивается как комплексное векторное подпространство своей собственной алгебры CCR. В представлении этой алгебры элемент будет реализован как оператор уничтожения и как оператор рождения.${\displaystyle a:f\to a(f)}$${\displaystyle H}$${\displaystyle a^{\dagger }(f)}$${\displaystyle f\to a^{\dagger }(f)}$${\displaystyle H}$${\displaystyle a(f)}$${\displaystyle a^{\dagger }(f)}$

В общем случае алгебра CCR бесконечномерна. Если взять банахово пополнение пространства, то оно станет C*-алгеброй . Алгебра CCR над тесно связана с алгеброй Вейля , но не идентична ей . ^{[ требуется пояснение ]}${\displaystyle H}$

Для фермионов (фермионная) алгебра КАР над строится аналогично, но с использованием вместо этого антикоммутаторных соотношений, а именно${\displaystyle H}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\{a(f),a(g)\}&=\{a^{\dagger }(f),a^{\dagger }(g)\}=0\\[1ex]\{a(f),a^{\dagger }(g)\}&=\langle f\mid g\rangle .\end{aligned}}}$$

Алгебра CAR конечномерна только если конечномерна. Если взять банахово пополнение пространства (необходимое только в бесконечномерном случае), то оно становится алгеброй . Алгебра CAR тесно связана с алгеброй Клиффорда , но не идентична ей . ^{[ требуется пояснение ]}${\displaystyle H}$${\displaystyle C^{*}}$

С физической точки зрения, удаляет (т.е. уничтожает) частицу в состоянии и создает частицу в состоянии .${\displaystyle a(f)}$${\displaystyle |f\rangle }$${\displaystyle a^{\dagger }(f)}$${\displaystyle |f\rangle }$

Состояние свободного вакуума поля — это состояние без частиц, характеризующееся${\textstyle \left\vert 0\right\rangle }$$${\displaystyle a(f)\left|0\right\rangle =0.}$$

Если нормализовано так, что , то дает число частиц в состоянии .${\displaystyle |f\rangle }$${\displaystyle \langle f|f\rangle =1}$${\displaystyle N=a^{\dagger }(f)a(f)}$${\displaystyle |f\rangle }$

Описание оператора уничтожения и создания также было полезным для анализа классических уравнений диффузии реакции, таких как ситуация, когда газ молекул диффундирует и взаимодействует при контакте, образуя инертный продукт: . Чтобы увидеть, как этот тип реакции может быть описан формализмом оператора уничтожения и создания, рассмотрим частицы в узле i на одномерной решетке. Каждая частица движется вправо или влево с определенной вероятностью, и каждая пара частиц в одном и том же узле аннигилирует друг друга с определенной другой вероятностью.${\displaystyle A}$${\displaystyle A+A\to \emptyset }$${\displaystyle n_{i}}$

Вероятность того, что одна частица покинет место в течение короткого периода времени dt , пропорциональна , скажем, вероятности прыгнуть влево и прыгнуть вправо. Все частицы останутся на месте с вероятностью . (Поскольку dt так коротко, вероятность того, что две или более частиц покинут место в течение dt , очень мала и будет проигнорирована.)${\displaystyle n_{i}\,dt}$${\displaystyle \alpha n_{i}dt}$${\displaystyle \alpha n_{i}\,dt}$${\displaystyle n_{i}}$${\displaystyle 1-2\alpha n_{i}\,dt}$

Теперь мы можем описать заполнение частиц на решетке как «кет» формы . Он представляет собой сопоставление (или конъюнкцию, или тензорное произведение) числовых состояний , расположенных в отдельных узлах решетки. Напомним, что${\displaystyle |\dots ,n_{-1},n_{0},n_{1},\dots \rangle }$${\displaystyle \dots ,|n_{-1}\rangle }$ ${\displaystyle |n_{0}\rangle }$${\displaystyle |n_{1}\rangle ,\dots }$

$${\displaystyle a\left|n\right\rangle ={\sqrt {n}}\left|n-1\right\rangle }$$и для всех n ≥ 0 , в то время как$${\displaystyle a^{\dagger }\left|n\right\rangle ={\sqrt {n+1}}\left|n+1\right\rangle ,}$$$${\displaystyle [a,a^{\dagger }]=\mathbf {1} }$$

Это определение операторов теперь будет изменено, чтобы учесть «неквантовую» природу этой проблемы, и мы будем использовать следующее определение: ^[9]

$${\displaystyle {\begin{aligned}a\left|n\right\rangle &=(n)\left|n{-}1\right\rangle \\[1ex]a^{\dagger }\left|n\right\rangle &=\left|n{+}1\right\rangle \end{aligned}}}$$

обратите внимание, что даже несмотря на то, что поведение операторов на кетах было изменено, эти операторы по-прежнему подчиняются коммутационному соотношению$${\displaystyle [a,a^{\dagger }]=\mathbf {1} }$$

Теперь определим так, чтобы оно применялось к . Соответственно, определим как применяемое к . Таким образом, например, чистый эффект заключается в перемещении частицы из -го в i -й участок при умножении на соответствующий коэффициент.${\displaystyle a_{i}}$${\displaystyle a}$${\displaystyle |n_{i}\rangle }$${\displaystyle a_{i}^{\dagger }}$${\displaystyle a^{\dagger }}$${\displaystyle |n_{i}\rangle }$${\displaystyle a_{i-1}a_{i}^{\dagger }}$${\displaystyle (i-1)}$

Это позволяет записать чистое диффузионное поведение частиц как$${\displaystyle \partial _{t}\left|\psi \right\rangle =-\alpha \sum _{i}\left(2a_{i}^{\dagger }a_{i}-a_{i-1}^{\dagger }a_{i}-a_{i+1}^{\dagger }a_{i}\right)\left|\psi \right\rangle =-\alpha \sum _{i}\left(a_{i}^{\dagger }-a_{i-1}^{\dagger }\right)(a_{i}-a_{i-1})\left|\psi \right\rangle .}$$

Член реакции можно вывести, заметив, что частицы могут взаимодействовать по -разному, так что вероятность того, что пара аннигилирует , равна , что дает член${\displaystyle n}$${\displaystyle n(n-1)}$${\displaystyle \lambda n(n-1)dt}$$${\displaystyle \lambda \sum _{i}(a_{i}a_{i}-a_{i}^{\dagger }a_{i}^{\dagger }a_{i}a_{i})}$$

где числовое состояние n заменяется числом состояний n − 2 на сайте с определенной скоростью.${\displaystyle i}$

Таким образом, государство развивается$${\displaystyle \partial _{t}\left|\psi \right\rangle =-\alpha \sum _{i}\left(a_{i}^{\dagger }-a_{i-1}^{\dagger }\right)\left(a_{i}-a_{i-1}\right)\left|\psi \right\rangle +\lambda \sum _{i}\left(a_{i}^{2}-a_{i}^{\dagger 2}a_{i}^{2}\right)\left|\psi \right\rangle }$$

Аналогичным образом можно включить и другие виды взаимодействий.

Этот вид обозначений позволяет использовать методы квантовой теории поля при анализе систем реакции-диффузии. ^[10]

В квантовых теориях поля и задачах многих тел работают с операторами создания и уничтожения квантовых состояний и . Эти операторы изменяют собственные значения числового оператора на единицу по аналогии с гармоническим осциллятором. Индексы (такие как ) представляют квантовые числа , которые маркируют одночастичные состояния системы; следовательно, они не обязательно являются отдельными числами. Например, кортеж квантовых чисел используется для маркировки состояний в атоме водорода .${\displaystyle a_{i}^{\dagger }}$${\displaystyle a_{i}^{\,}}$$${\displaystyle N=\sum _{i}n_{i}=\sum _{i}a_{i}^{\dagger }a_{i}^{\,},}$$${\displaystyle i}$${\displaystyle (n,\ell ,m,s)}$

Соотношения коммутации операторов рождения и уничтожения в многобозонной системе имеют вид, где — коммутатор , а — символ Кронекера .$${\displaystyle {\begin{aligned}\left[a_{i}^{\,},a_{j}^{\dagger }\right]&\equiv a_{i}^{\,}a_{j}^{\dagger }-a_{j}^{\dagger }a_{i}^{\,}=\delta _{ij},\\[1ex]\left[a_{i}^{\dagger },a_{j}^{\dagger }\right]&=[a_{i}^{\,},a_{j}^{\,}]=0,\end{aligned}}}$$${\displaystyle [\cdot ,\cdot ]}$${\displaystyle \delta _{ij}}$

Для фермионов коммутатор заменяется антикоммутатором . Поэтому замена непересекающихся (т.е. ) операторов в произведении операторов рождения или уничтожения изменит знак в фермионных системах, но не в бозонных системах.${\displaystyle \{\cdot ,\cdot \}}$$${\displaystyle {\begin{aligned}\{a_{i}^{\,},a_{j}^{\dagger }\}&\equiv a_{i}^{\,}a_{j}^{\dagger }+a_{j}^{\dagger }a_{i}^{\,}=\delta _{ij},\\[1ex]\{a_{i}^{\dagger },a_{j}^{\dagger }\}&=\{a_{i}^{\,},a_{j}^{\,}\}=0.\end{aligned}}}$$${\displaystyle i\neq j}$

Если состояния, обозначенные i, являются ортонормированным базисом гильбертова пространства H , то результат этой конструкции совпадает с конструкцией алгебры CCR и алгебры CAR в предыдущем разделе, за исключением одного. Если они представляют собой «собственные векторы», соответствующие непрерывному спектру некоторого оператора, как для несвязанных частиц в QFT, то интерпретация более тонкая.

В то время как Зи ^[11] получает нормализацию импульсного пространства с помощью симметричного соглашения для преобразований Фурье, Тонг ^[12] и Пескин и Шредер ^[13] используют общее асимметричное соглашение для получения . Каждый из них выводит .${\displaystyle [{\hat {a}}_{\mathbf {p} },{\hat {a}}_{\mathbf {q} }^{\dagger }]=\delta (\mathbf {p} -\mathbf {q} )}$${\displaystyle [{\hat {a}}_{\mathbf {p} },{\hat {a}}_{\mathbf {q} }^{\dagger }]=(2\pi )^{3}\delta (\mathbf {p} -\mathbf {q} )}$${\displaystyle [{\hat {\phi }}(\mathbf {x} ),{\hat {\pi }}(\mathbf {x} ')]=i\delta (\mathbf {x} -\mathbf {x} ')}$

Средницкий дополнительно объединяет лоренц-инвариантную меру со своей асимметричной мерой Фурье, , получая . ^[14]${\displaystyle {\tilde {dk}}={\frac {d^{3}k}{(2\pi )^{3}2\omega }}}$${\displaystyle [{\hat {a}}_{\mathbf {k} },{\hat {a}}_{\mathbf {k} '}^{\dagger }]=(2\pi )^{3}2\omega \,\delta (\mathbf {k} -\mathbf {k} ')}$