Каноническое коммутационное соотношение

В квантовой механике каноническое коммутационное соотношение является фундаментальным соотношением между канонически сопряженными величинами (величинами, которые связаны по определению таким образом, что одна из них является преобразованием Фурье другой). Например,$${\displaystyle [{\hat {x}},{\hat {p}}_{x}]=i\hbar \mathbb {I} }$$

между оператором положения x и оператором импульса p _x в направлении x точечной частицы в одном измерении, где [ x , p _x ] = x p _x − p _x x — коммутатор x и p _x , i — мнимая единица , а ℏ — приведенная постоянная Планка h /2π , а — единичный оператор. В  общем случае положение и импульс являются векторами операторов, и их коммутационное соотношение между различными компонентами положения и импульса можно выразить как , где — дельта Кронекера . ${\displaystyle \mathbb {Я} }$$${\displaystyle [{\hat {x}}_{i},{\hat {p}}_{j}]=i\hbar \delta _{ij},}$$${\displaystyle \delta _{ij}}$

Это соотношение приписывается Вернеру Гейзенбергу , Максу Борну и Паскуалю Джордану (1925), ^{[1] [2],} которые называли его «квантовым условием», служащим постулатом теории; Э. Кеннард (1927) ^[3] отметил, что оно подразумевает принцип неопределенности Гейзенберга . Теорема Стоуна–фон Неймана дает результат единственности для операторов, удовлетворяющих (экспоненциальной форме) каноническому коммутационному соотношению.

Напротив, в классической физике все наблюдаемые коммутируют, и коммутатор будет равен нулю. Однако существует аналогичное соотношение, которое получается путем замены коммутатора скобкой Пуассона, умноженной на i ℏ ,$${\displaystyle \{x,p\}=1\,.}$$

Это наблюдение привело Дирака к предположению, что квантовые аналоги , ĝ классических наблюдаемых f , g удовлетворяют${\displaystyle {\шляпа {ж}}}$$${\displaystyle [{\hat {f}},{\hat {g}}]=i\hbar {\widehat {\{f,g\}}}\,.}$$

В 1946 году Хип Грёневолд продемонстрировал, что общее систематическое соответствие между квантовыми коммутаторами и скобками Пуассона не может сохраняться постоянно. ^{[4] [5]}

Однако он далее оценил, что такое систематическое соответствие действительно существует между квантовым коммутатором и деформацией скобки Пуассона, сегодня называемой скобкой Мойала , и, в целом, квантовыми операторами и классическими наблюдаемыми и распределениями в фазовом пространстве . Таким образом, он, наконец, прояснил последовательный механизм соответствия, преобразование Вигнера-Вейля , которое лежит в основе альтернативного эквивалентного математического представления квантовой механики, известного как деформационное квантование . ^{[4] [6]}

Согласно принципу соответствия , в определенных пределах квантовые уравнения состояний должны приближаться к уравнениям движения Гамильтона . Последние устанавливают следующее соотношение между обобщенной координатой q (например, положением) и обобщенным импульсом p :$${\displaystyle {\begin{cases}{\dot {q}}={\frac {\partial H}{\partial p}}=\{q,H\};\\{\dot {p}}=-{\frac {\partial H}{\partial q}}=\{p,H\}.\end{cases}}}$$

В квантовой механике гамильтониан , (обобщенная) координата и (обобщенный) импульс являются линейными операторами.${\displaystyle {\шляпа {H}}}$${\displaystyle {\hat {Q}}}$${\displaystyle {\hat {P}}}$

Производная по времени квантового состояния представлена ​​оператором (уравнением Шредингера ). Эквивалентно, поскольку в картине Шредингера операторы явно не зависят от времени, операторы можно рассматривать как эволюционирующие во времени (для противоположной точки зрения, где операторы зависят от времени, см. картину Гейзенберга ) в соответствии с их коммутационным соотношением с гамильтонианом:${\displaystyle -i{\hat {H}}/\hbar }$$${\displaystyle {\frac {d{\hat {Q}}}{dt}}={\frac {i}{\hbar }}[{\hat {H}},{\hat {Q}}]}$$$${\displaystyle {\frac {d{\hat {P}}}{dt}}={\frac {i}{\hbar }}[{\hat {H}},{\hat {P}}]\,\,.}$$

Для того, чтобы это согласовывалось в классическом пределе с уравнениями движения Гамильтона, должно полностью зависеть от появления в гамильтониане и должно полностью зависеть от появления в гамильтониане. Далее, поскольку оператор Гамильтона зависит от (обобщенных) операторов координат и импульса, его можно рассматривать как функционал, и мы можем записать (используя функциональные производные ):${\displaystyle [{\hat {H}},{\hat {Q}}]}$${\displaystyle {\hat {P}}}$${\displaystyle [{\hat {H}},{\hat {P}}]}$${\displaystyle {\hat {Q}}}$$${\displaystyle [{\hat {H}},{\hat {Q}}]={\frac {\delta {\hat {H}}}{\delta {\hat {P}}}}\cdot [{\hat {P}},{\hat {Q}}]}$$$${\displaystyle [{\hat {H}},{\hat {P}}]={\frac {\delta {\hat {H}}}{\delta {\hat {Q}}}}\cdot [{\hat {Q}},{\hat {P}}]\,.}$$

Чтобы получить классический предел, мы должны иметь$${\displaystyle [{\hat {Q}},{\hat {P}}]=i\hbar ~\mathbb {I} .}$$

Группа , порожденная возведением в степень 3-мерной алгебры Ли, определяемой коммутационным соотношением, называется группой Гейзенберга . Эту группу можно реализовать как группу верхних треугольных матриц с единицами на диагонали. ^[7]${\displaystyle H_{3}(\mathbb {R} )}$${\displaystyle [{\hat {x}},{\hat {p}}]=i\hbar }$${\displaystyle 3\times 3}$

Согласно стандартной математической формулировке квантовой механики , квантовые наблюдаемые, такие как и должны быть представлены как самосопряженные операторы в некотором гильбертовом пространстве . Сравнительно легко видеть, что два оператора, удовлетворяющие приведенным выше каноническим коммутационным соотношениям, не могут быть оба ограниченными . Конечно, если бы и были операторами следового класса , соотношение давало бы ненулевое число справа и ноль слева.${\displaystyle {\hat {x}}}$${\displaystyle {\hat {p}}}$${\displaystyle {\hat {x}}}$${\displaystyle {\hat {p}}}$${\displaystyle \operatorname {Tr} (AB)=\operatorname {Tr} (BA)}$

В качестве альтернативы, если и были ограниченными операторами, обратите внимание, что , следовательно, нормы операторов удовлетворяли бы так что для любого n , Однако n может быть сколь угодно большим, поэтому по крайней мере один оператор не может быть ограничен, а размерность базового гильбертова пространства не может быть конечной. Если операторы удовлетворяют соотношениям Вейля (экспоненциальная версия канонических коммутационных соотношений, описанных ниже), то как следствие теоремы Стоуна–фон Неймана , оба оператора должны быть неограниченными.${\displaystyle {\hat {x}}}$${\displaystyle {\hat {p}}}$${\displaystyle [{\hat {x}}^{n},{\hat {p}}]=i\hbar n{\hat {x}}^{n-1}}$$${\displaystyle 2\left\|{\hat {p}}\right\|\left\|{\hat {x}}^{n-1}\right\|\left\|{\hat {x}}\right\|\geq n\hbar \left\|{\hat {x}}^{n-1}\right\|,}$$$${\displaystyle 2\left\|{\hat {p}}\right\|\left\|{\hat {x}}\right\|\geq n\hbar }$$

Тем не менее, эти канонические коммутационные соотношения можно сделать несколько «укрощеннее», записав их в терминах (ограниченных) унитарных операторов и . Результирующие сплетенные соотношения для этих операторов являются так называемыми соотношениями Вейля Эти соотношения можно рассматривать как экспоненциальную версию канонических коммутационных соотношений; они отражают, что трансляции по положению и трансляции по импульсу не коммутируют. Можно легко переформулировать соотношения Вейля в терминах представлений группы Гейзенберга .${\displaystyle \exp(it{\hat {x}})}$${\displaystyle \exp(is{\hat {p}})}$$${\displaystyle \exp(it{\hat {x}})\exp(is{\hat {p}})=\exp(-ist/\hbar )\exp(is{\hat {p}})\exp(it{\hat {x}}).}$$

Единственность канонических коммутационных соотношений — в форме соотношений Вейля — гарантируется теоремой Стоуна–фон Неймана .

По техническим причинам соотношения Вейля не являются строго эквивалентными каноническому коммутационному соотношению . Если бы и были ограниченными операторами, то особый случай формулы Бейкера–Кэмпбелла–Хаусдорфа позволил бы «возвести в степень» канонические коммутационные соотношения до соотношений Вейля. ^[8] Поскольку, как мы уже отмечали, любые операторы, удовлетворяющие каноническим коммутационным соотношениям, должны быть неограниченными, формула Бейкера–Кэмпбелла–Хаусдорфа не применима без дополнительных предположений о области определения. Действительно, существуют контрпримеры, удовлетворяющие каноническим коммутационным соотношениям, но не соотношениям Вейля. ^[9] (Эти же операторы дают контрпример к наивной форме принципа неопределенности.) Эти технические проблемы являются причиной того, что теорема Стоуна–фон Неймана формулируется в терминах соотношений Вейля.${\displaystyle [{\hat {x}},{\hat {p}}]=i\hbar }$${\displaystyle {\hat {x}}}$${\displaystyle {\hat {p}}}$

Дискретная версия соотношений Вейля, в которой параметры s и t изменяются в диапазоне , может быть реализована в конечномерном гильбертовом пространстве с помощью матриц часов и сдвига .${\displaystyle \mathbb {Z} /n}$

Можно показать, что$${\displaystyle [F({\vec {x}}),p_{i}]=i\hbar {\frac {\partial F({\vec {x}})}{\partial x_{i}}};\qquad [x_{i},F({\vec {p}})]=i\hbar {\frac {\partial F({\vec {p}})}{\partial p_{i}}}.}$$

Используя , можно показать, что с помощью математической индукции, обычно известной как формула Маккоя. ^[10]${\displaystyle C_{n+1}^{k}=C_{n}^{k}+C_{n}^{k-1}}$$${\displaystyle \left[{\hat {x}}^{n},{\hat {p}}^{m}\right]=\sum _{k=1}^{\min \left(m,n\right)}{{\frac {-\left(-i\hbar \right)^{k}n!m!}{k!\left(n-k\right)!\left(m-k\right)!}}{\hat {x}}^{n-k}{\hat {p}}^{m-k}}=\sum _{k=1}^{\min \left(m,n\right)}{{\frac {\left(i\hbar \right)^{k}n!m!}{k!\left(n-k\right)!\left(m-k\right)!}}{\hat {p}}^{m-k}{\hat {x}}^{n-k}},}$$

Кроме того, простая формула, верная для квантования простейшей классической системы, может быть обобщена на случай произвольного лагранжиана . ^[11] Мы определяем канонические координаты (такие как x в примере выше или поле Φ( x ) в случае квантовой теории поля ) и канонические импульсы π _x (в примере выше это p , или, в более общем смысле, некоторые функции, включающие производные канонических координат по времени):$${\displaystyle [x,p]=i\hbar \,\mathbb {I} ~,}$$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ $${\displaystyle \pi _{i}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial x_{i}/\partial t)}}.}$$

Это определение канонического импульса гарантирует, что одно из уравнений Эйлера–Лагранжа имеет вид$${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\pi _{i}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial x_{i}}}.}$$

Канонические коммутационные соотношения тогда сводятся к следующему: где δ _ij — символ Кронекера .$${\displaystyle [x_{i},\pi _{j}]=i\hbar \delta _{ij}\,}$$

Каноническое квантование применяется, по определению, к каноническим координатам . Однако, в присутствии электромагнитного поля , канонический импульс p не является калибровочно-инвариантным . Правильный калибровочно-инвариантный импульс (или «кинетический импульс») есть

${\displaystyle p_{\text{kin}}=p-qA\,\!}$ ( единицы СИ ) ( единицы СГС ),     ${\displaystyle p_{\text{kin}}=p-{\frac {qA}{c}}\,\!}$

где q — электрический заряд частицы , A — векторный потенциал , а c — скорость света . Хотя величина p _kin является «физическим импульсом», поскольку это величина, которая должна быть отождествлена ​​с импульсом в лабораторных экспериментах, она не удовлетворяет каноническим коммутационным соотношениям; это делает только канонический импульс. Это можно увидеть следующим образом.

Нерелятивистский гамильтониан для квантованной заряженной частицы массы m в классическом электромагнитном поле имеет вид (в единицах СГС), где A — трехвекторный потенциал, а φ — скалярный потенциал . Эта форма гамильтониана, а также уравнение Шредингера Hψ = iħ∂ψ/∂t , уравнения Максвелла и закон силы Лоренца инвариантны относительно калибровочного преобразования , где и Λ = Λ( x , t ) — калибровочная функция.$${\displaystyle H={\frac {1}{2m}}\left(p-{\frac {qA}{c}}\right)^{2}+q\phi }$$ $${\displaystyle A\to A'=A+\nabla \Lambda }$$$${\displaystyle \phi \to \phi '=\phi -{\frac {1}{c}}{\frac {\partial \Lambda }{\partial t}}}$$$${\displaystyle \psi \to \psi '=U\psi }$$$${\displaystyle H\to H'=UHU^{\dagger },}$$$${\displaystyle U=\exp \left({\frac {iq\Lambda }{\hbar c}}\right)}$$

Оператор углового момента есть и подчиняется каноническим соотношениям квантования, определяющим алгебру Ли для so(3) , где — символ Леви-Чивита . При калибровочных преобразованиях угловой момент преобразуется как$${\displaystyle L=r\times p\,\!}$$$${\displaystyle [L_{i},L_{j}]=i\hbar {\epsilon _{ijk}}L_{k}}$$${\displaystyle \epsilon _{ijk}}$$${\displaystyle \langle \psi \vert L\vert \psi \rangle \to \langle \psi ^{\prime }\vert L^{\prime }\vert \psi ^{\prime }\rangle =\langle \psi \vert L\vert \psi \rangle +{\frac {q}{\hbar c}}\langle \psi \vert r\times \nabla \Lambda \vert \psi \rangle \,.}$$

Калибровочно-инвариантный угловой момент (или «кинетический угловой момент») определяется как имеющий коммутационные соотношения, где — магнитное поле . Неэквивалентность этих двух формулировок проявляется в эффекте Зеемана и эффекте Ааронова–Бома .$${\displaystyle K=r\times \left(p-{\frac {qA}{c}}\right),}$$$${\displaystyle [K_{i},K_{j}]=i\hbar {\epsilon _{ij}}^{\,k}\left(K_{k}+{\frac {q\hbar }{c}}x_{k}\left(x\cdot B\right)\right)}$$$${\displaystyle B=\nabla \times A}$$

Все такие нетривиальные коммутационные соотношения для пар операторов приводят к соответствующим соотношениям неопределенности ^[12], включающим положительные полуопределенные ожидаемые вклады их соответствующих коммутаторов и антикоммутаторов. В общем случае для двух эрмитовых операторов A и B рассмотрим ожидаемые значения в системе в состоянии ψ , дисперсии вокруг соответствующих ожидаемых значений будут (Δ A ) ² ≡ ⟨( A − ⟨ A ⟩) ² ⟩ и т. д.

Тогда [ A ,  B ] ≡ A B − B A — коммутатор A и B , а { A , B  } ≡ A B + B A — антикоммутатор .$${\displaystyle \Delta A\,\Delta B\geq {\frac {1}{2}}{\sqrt {\left|\left\langle \left[{A},{B}\right]\right\rangle \right|^{2}+\left|\left\langle \left\{A-\langle A\rangle ,B-\langle B\rangle \right\}\right\rangle \right|^{2}}},}$$

Это следует из использования неравенства Коши–Шварца , поскольку |⟨ A ² ⟩| |⟨ B ² ⟩| ≥ |⟨ A B ⟩| ² , и A B = ([ A ,  B ] + { A ,  B })/2  ; и аналогично для сдвинутых операторов A − ⟨ A ⟩ и B − ⟨ B ⟩ . (Ср. выводы принципа неопределенности .)

Подставляя вместо A и B (и соблюдая осторожность при анализе), получаем, как обычно, знакомое соотношение неопределенности Гейзенберга для x и p .

Для операторов углового момента L _x = y p _z − z p _y и т. д. имеем, что где — символ Леви-Чивита и просто меняем знак ответа при попарной перестановке индексов. Аналогичное соотношение имеет место и для операторов спина .$${\displaystyle [{L_{x}},{L_{y}}]=i\hbar \epsilon _{xyz}{L_{z}},}$$${\displaystyle \epsilon _{xyz}}$

Здесь для L _x и L _y  ^[12] в мультиплетах углового момента ψ = | ℓ , m ⟩ для поперечных компонент инварианта Казимира L _x ² + L _y ² + L _z ² имеем z - симметричные соотношения

⟨ L _Икс ² ⟩ знак равно ⟨ L _y ² ⟩ знак равно ( ℓ  ( ℓ + 1) - м ² ) ℏ ² /2  ,

а также ⟨ L _x ⟩ = ⟨ L _y ⟩ = 0  .

Следовательно, приведенное выше неравенство, примененное к этому коммутационному соотношению, определяет , следовательно , и, следовательно , поэтому, оно дает полезные ограничения, такие как нижняя граница инварианта Казимира : ℓ  ( ℓ + 1) ≥ | m | (| m | + 1) , и, следовательно, ℓ ≥ | m | , среди прочих.$${\displaystyle \Delta L_{x}\,\Delta L_{y}\geq {\frac {1}{2}}{\sqrt {\hbar ^{2}|\langle L_{z}\rangle |^{2}}}~,}$$$${\displaystyle {\sqrt {|\langle L_{x}^{2}\rangle \langle L_{y}^{2}\rangle |}}\geq {\frac {\hbar ^{2}}{2}}\vert m\vert }$$$${\displaystyle \ell (\ell +1)-m^{2}\geq |m|~,}$$

• Каноническое квантование
• Алгебры CCR и CAR
• Конформастатическое пространство-время
• производная Ли
• Кронштейн Moyal
• Теорема Стоуна–фон Неймана

• Холл, Брайан С. (2013), Квантовая теория для математиков , Graduate Texts in Mathematics, т. 267, Springer.
• Холл, Брайан С. (2015), Группы Ли, алгебры Ли и представления, элементарное введение , Graduate Texts in Mathematics, т. 222 (2-е изд.), Springer.