Алгебры CCR и CAR
Канонические коммутационные или антикоммутационные соотношения

В математике и физике алгебры CCR (после канонических коммутационных соотношений ) и алгебры CAR (после канонических антикоммутационных соотношений) возникают из квантово-механического изучения бозонов и фермионов соответственно. Они играют видную роль в квантовой статистической механике [1] и квантовой теории поля .

CCR и CAR как *-алгебры

Пусть — вещественное векторное пространство, снабженное невырожденной вещественной антисимметричной билинейной формой (т.е. симплектическим векторным пространством ). Унитальная *-алгебра, порожденная элементами подчинена соотношениям В {\displaystyle V} ( ⋅ , ⋅ ) {\displaystyle (\cdot ,\cdot )} В {\displaystyle V}

ф г − г ф = я ( ф , г ) {\displaystyle fg-gf=i(f,g)\,}
ф ∗ = ф , {\displaystyle f^{*}=f,\,}

для любого в называется алгеброй канонических коммутационных соотношений (ККС) . Единственность представлений этой алгебры при конечномерности обсуждается в теореме Стоуна–фон Неймана . ф ,   г {\displaystyle f,~g} В {\displaystyle V} В {\displaystyle V}

Если вместо этого снабжена невырожденной вещественной симметричной билинейной формой , то унитальная *-алгебра, порожденная элементами , подчиняется соотношениям В {\displaystyle V} ( ⋅ , ⋅ ) {\displaystyle (\cdot ,\cdot )} В {\displaystyle V}

ф г + г ф = ( ф , г ) , {\displaystyle fg+gf=(f,g),\,}
ф ∗ = ф , {\displaystyle f^{*}=f,\,}

для любого в называется алгеброй канонических антикоммутационных соотношений (КАС) . ф ,   г {\displaystyle f,~g} В {\displaystyle V}

C*-алгебра CCR

Существует отличное, но тесно связанное значение CCR-алгебры, называемое CCR C*-алгеброй. Пусть будет вещественным симплектическим векторным пространством с невырожденной симплектической формой . В теории операторных алгебр CCR-алгебра над является унитальной C*-алгеброй, порожденной элементами , подчиненными ЧАС {\displaystyle H} ( ⋅ , ⋅ ) {\displaystyle (\cdot ,\cdot )} ЧАС {\displaystyle H} { Вт ( ф ) :   ф ∈ ЧАС } {\displaystyle \{W(f):~f\in H\}}

Вт ( ф ) Вт ( г ) = е − я ( ф , г ) Вт ( ф + г ) , {\displaystyle W(f)W(g)=e^{-i(f,g)}W(f+g),\,}
Вт ( ф ) ∗ = Вт ( − ф ) . {\displaystyle W(f)^{*}=W(-f).\,}

Они называются формой Вейля канонических коммутационных соотношений и, в частности, они подразумевают, что каждое из них унитарно и . Хорошо известно, что алгебра CCR является простой (если только симплектическая форма не вырождена) несепарабельной алгеброй и является единственной с точностью до изоморфизма. [ 2] W ( f ) {\displaystyle W(f)} W ( 0 ) = 1 {\displaystyle W(0)=1}

Когда — комплексное гильбертово пространство и задается мнимой частью скалярного произведения, алгебра ККС точно представлена ​​в симметричном пространстве Фока над , положив H {\displaystyle H} ( ⋅ , ⋅ ) {\displaystyle (\cdot ,\cdot )} H {\displaystyle H}

W ( f ) ( 1 , g , g ⊗ 2 2 ! , g ⊗ 3 3 ! , … ) = e − 1 2 ‖ f ‖ 2 − ⟨ f , g ⟩ ( 1 , f + g , ( f + g ) ⊗ 2 2 ! , ( f + g ) ⊗ 3 3 ! , … ) , {\displaystyle W(f)\left(1,g,{\frac {g^{\otimes 2}}{2!}},{\frac {g^{\otimes 3}}{3!}},\ldots \right)=e^{-{\frac {1}{2}}\|f\|^{2}-\langle f,g\rangle }\left(1,f+g,{\frac {(f+g)^{\otimes 2}}{2!}},{\frac {(f+g)^{\otimes 3}}{3!}},\ldots \right),}

для любого . Операторы поля определяются для каждого как генератор однопараметрической унитарной группы на симметричном пространстве Фока. Это самосопряженные неограниченные операторы , однако они формально удовлетворяют f , g ∈ H {\displaystyle f,g\in H} B ( f ) {\displaystyle B(f)} f ∈ H {\displaystyle f\in H} ( W ( t f ) ) t ∈ R {\displaystyle (W(tf))_{t\in \mathbb {R} }}

B ( f ) B ( g ) − B ( g ) B ( f ) = 2 i Im ⁡ ⟨ f , g ⟩ . {\displaystyle B(f)B(g)-B(g)B(f)=2i\operatorname {Im} \langle f,g\rangle .}

Так как задание является вещественно-линейным, то операторы определяют алгебру CCR над в смысле раздела 1. f ↦ B ( f ) {\displaystyle f\mapsto B(f)} B ( f ) {\displaystyle B(f)} ( H , 2 Im ⁡ ⟨ ⋅ , ⋅ ⟩ ) {\displaystyle (H,2\operatorname {Im} \langle \cdot ,\cdot \rangle )}

C*-алгебра CAR

Пусть — гильбертово пространство. В теории операторных алгебр CAR-алгебра — это единственное C*-пополнение комплексной унитальной *-алгебры, порожденной элементами, подчиненными соотношениям H {\displaystyle H} { b ( f ) , b ∗ ( f ) :   f ∈ H } {\displaystyle \{b(f),b^{*}(f):~f\in H\}}

b ( f ) b ∗ ( g ) + b ∗ ( g ) b ( f ) = ⟨ f , g ⟩ , {\displaystyle b(f)b^{*}(g)+b^{*}(g)b(f)=\langle f,g\rangle ,\,}
b ( f ) b ( g ) + b ( g ) b ( f ) = 0 , {\displaystyle b(f)b(g)+b(g)b(f)=0,\,}
λ b ∗ ( f ) = b ∗ ( λ f ) , {\displaystyle \lambda b^{*}(f)=b^{*}(\lambda f),\,}
b ( f ) ∗ = b ∗ ( f ) , {\displaystyle b(f)^{*}=b^{*}(f),\,}

для любого , . Когда является отделимой, алгебра CAR является алгеброй AF и в частном случае является бесконечномерной, ее часто записывают как . [3] f , g ∈ H {\displaystyle f,g\in H} λ ∈ C {\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} } H {\displaystyle H} H {\displaystyle H} M 2 ∞ ( C ) {\displaystyle {M_{2^{\infty }}(\mathbb {C} )}}

Пусть — антисимметричное пространство Фока над и пусть — ортогональная проекция на антисимметричные векторы: F a ( H ) {\displaystyle F_{a}(H)} H {\displaystyle H} P a {\displaystyle P_{a}}

P a : ⨁ n = 0 ∞ H ⊗ n → F a ( H ) . {\displaystyle P_{a}:\bigoplus _{n=0}^{\infty }H^{\otimes n}\to F_{a}(H).\,}

Алгебра CAR точно представлена ​​на , устанавливая F a ( H ) {\displaystyle F_{a}(H)}

b ∗ ( f ) P a ( g 1 ⊗ g 2 ⊗ ⋯ ⊗ g n ) = P a ( f ⊗ g 1 ⊗ g 2 ⊗ ⋯ ⊗ g n ) {\displaystyle b^{*}(f)P_{a}(g_{1}\otimes g_{2}\otimes \cdots \otimes g_{n})=P_{a}(f\otimes g_{1}\otimes g_{2}\otimes \cdots \otimes g_{n})\,}

для всех и . Тот факт, что они образуют C*-алгебру, обусловлен тем, что операторы рождения и уничтожения в антисимметричном пространстве Фока являются добросовестными ограниченными операторами . Более того, операторы поля удовлетворяют f , g 1 , … , g n ∈ H {\displaystyle f,g_{1},\ldots ,g_{n}\in H} n ∈ N {\displaystyle n\in \mathbb {N} } B ( f ) := b ∗ ( f ) + b ( f ) {\displaystyle B(f):=b^{*}(f)+b(f)}

B ( f ) B ( g ) + B ( g ) B ( f ) = 2 R e ⟨ f , g ⟩ , {\displaystyle B(f)B(g)+B(g)B(f)=2\mathrm {Re} \langle f,g\rangle ,\,}

давая связь с Разделом 1.

Обобщение супералгебры

Пусть будет вещественным - градуированным векторным пространством, снабженным невырожденной антисимметричной билинейной суперформой (т.е. ) такой, что является вещественным, если один из или является четным элементом, и мнимым , если оба они нечетные. Унитальная *-алгебра, порожденная элементами подчинена соотношениям V {\displaystyle V} Z 2 {\displaystyle \mathbb {Z} _{2}} ( ⋅ , ⋅ ) {\displaystyle (\cdot ,\cdot )} ( g , f ) = − ( − 1 ) | f | | g | ( f , g ) {\displaystyle (g,f)=-(-1)^{|f||g|}(f,g)} ( f , g ) {\displaystyle (f,g)} f {\displaystyle f} g {\displaystyle g} V {\displaystyle V}

f g − ( − 1 ) | f | | g | g f = i ( f , g ) {\displaystyle fg-(-1)^{|f||g|}gf=i(f,g)\,}
f ∗ = f ,   g ∗ = g {\displaystyle f^{*}=f,~g^{*}=g\,}

для любых двух чистых элементов в является очевидным обобщением супералгебры , которое объединяет CCR с CAR: если все чистые элементы четные, то получается CCR, а если все чистые элементы нечетные, то получается CAR. f ,   g {\displaystyle f,~g} V {\displaystyle V}

В математике абстрактная структура алгебр CCR и CAR над любым полем, а не только над комплексными числами, изучается под названием алгебры Вейля и Клиффорда , где было получено много важных результатов. Одним из них является то, что градуированные обобщения алгебр Вейля и Клиффорда допускают безбазисную формулировку канонических коммутационных и антикоммутационных соотношений в терминах симплектической и симметричной невырожденной билинейной формы. Кроме того, бинарные элементы в этой градуированной алгебре Вейля дают безбазисную версию коммутационных соотношений симплектической и неопределенно -ортогональной алгебры Ли . [4]

Смотрите также

Ссылки

  1. ^ Браттели, Ола ; Робинсон, Дерек В. (1997). Операторные алгебры и квантовая статистическая механика: т.2 . Springer, 2-е изд. ISBN 978-3-540-61443-2.
  2. ^ Петц, Денес (1990). Приглашение в алгебру канонических коммутационных соотношений. Издательство Leuven University Press. ISBN 978-90-6186-360-1.
  3. ^ Эванс, Дэвид Э .; Кавахигаши, Ясуюки (1998). Квантовые симметрии в операторных алгебрах . Oxford University Press. ISBN 978-0-19-851175-5..
  4. ^ Роджер Хоу (1989). «Замечания о классической теории инвариантов». Труды Американского математического общества . 313 (2): 539– 570. doi : 10.1090/S0002-9947-1989-0986027-X . JSTOR  2001418.
Retrieved from "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=CCR_and_CAR_algebras&oldid=1232353286"