Построение комплексной нулевой тетрады

Расчеты в формализме Ньюмена–Пенроуза (NP) общей теории относительности обычно начинаются с построения комплексной нулевой тетрады , где — пара действительных нулевых векторов, а — пара комплексных нулевых векторов. Эти векторы тетрады соблюдают следующие условия нормализации и метрики, предполагая сигнатуру пространства-времени${\displaystyle \{л^{а},н^{а},м^{а},{\бар {м}}^{а}\}}$${\displaystyle \{л^{а},н^{а}\}}$${\displaystyle \{м^{а},{\бар {м}}^{а}\}}$${\displaystyle (-,+,+,+):}$

• ${\displaystyle l_{a}l^{a}=n_{a}n^{a}=m_{a}m^{a}={\bar {m}}_{a}{\bar {m}}^{a}=0\,;}$
• ${\displaystyle l_{a}m^{a}=l_{a}{\bar {m}}^{a}=n_{a}m^{a}=n_{a}{\bar {m}}^{a}=0\,;}$
• ${\displaystyle l_{a}n^{a}=l^{a}n_{a}=-1\,,\;\;m_{a}{\bar {m}}^{a}=m^{a}{\bar {m}}_{a}=1\,;}$
• ${\displaystyle g_{ab}=-l_{a}n_{b}-n_{a}l_{b}+m_{a}{\bar {m}}_{b}+{\bar {m}}_{a}m_{b}\,,\;\;g^{ab}=-l^{a}n^{b}-n^{a}l^{b}+m^{a}{\bar {m}}^{b}+{\bar {m}}^{a}m^{b}\,.}$

Только после того, как тетрада построена, можно двигаться дальше, чтобы вычислить производные по направлению , спиновые коэффициенты , коммутаторы , скаляры Вейля-NP , скаляры Риччи-NP и скаляры Максвелла-NP и другие величины в формализме NP. Существует три наиболее часто используемых метода для построения комплексной нулевой тетрады:${\displaystyle \{л^{а},н^{а},м^{а},{\бар {м}}^{а}\}}$ ${\displaystyle \Psi _{i}}$ ${\displaystyle \Phi _{ij}}$ ${\displaystyle \фи _{я}}$

1. Все четыре вектора тетрады являются неголономными комбинациями ортонормированных тетрад ; ^[1]
2. ${\displaystyle л^{а}}$(или ) совмещены с исходящим (или входящим) касательным векторным полем нулевых радиальных геодезических , тогда как и построены неголономным методом; ^[2]${\displaystyle н^{а}}$${\displaystyle м^{а}}$${\displaystyle {\bar {м}}^{а}}$
3. Тетрада, которая адаптирована к структуре пространства-времени с точки зрения 3+1, причем предполагается ее общая форма и функции тетрады в ней, которые необходимо решить.

В контексте ниже будет показано, как работают эти три метода.

Примечание: Помимо соглашения, используемого в этой статье, используется еще одно соглашение : .${\displaystyle \{(-,+,+,+);l^{a}n_{a}=-1\,,m^{a}{\bar {m}}_{a}=1\}}$${\displaystyle \{(+,-,-,-);l^{a}n_{a}=1\,,m^{a}{\bar {m}}_{a}=-1\}}$

Основной метод построения комплексной нулевой тетрады — это комбинации ортонормированных базисов. ^[1] Для пространства-времени с ортонормированной тетрадой ,${\displaystyle g_{ab}}$${\displaystyle \{\omega _{0}\,,\omega _{1}\,,\omega _{2}\,,\omega _{3}\}}$

${\displaystyle g_{ab}=-\omega _{0}\omega _{0}+\omega _{1}\omega _{1}+\omega _{2}\omega _{2}+\omega _{3}\omega _{3}\,,}$

ковекторы неголономной комплексной нулевой тетрады могут быть построены с помощью${\displaystyle \{l_{a}\,,n_{a}\,,m_{a}\,,{\bar {m}}_{a}\}}$

${\displaystyle l_{a}dx^{a}={\frac {\omega _{0}+\omega _{1}}{\sqrt {2}}}\,,\quad n_{a}dx^{a}={\frac {\omega _{0}-\omega _{1}}{\sqrt {2}}}\,,}$
${\displaystyle m_{a}dx^{a}={\frac {\omega _{2}+i\omega _{3}}{\sqrt {2}}}\,,\quad {\bar {m}}_{a}dx^{a}={\frac {\omega _{2}-i\omega _{3}}{\sqrt {2}}}\,,}$

и векторы тетрады могут быть получены путем повышения индексов с помощью обратной метрики .${\displaystyle \{l^{a}\,,n^{a}\,,m^{a}\,,{\bar {m}}^{a}\}}$${\displaystyle \{l_{a}\,,n_{a}\,,m_{a}\,,{\bar {m}}_{a}\}}$${\displaystyle g^{ab}}$

Замечание: Неголономная конструкция фактически соответствует локальной структуре светового конуса . ^[1]

Пример: неголономная тетрада

Дана метрика пространства-времени в форме (в сигнатуре(-,+,+,+))

${\displaystyle g_{ab}=-g_{tt}dt^{2}+g_{rr}dr^{2}+g_{\theta \theta }d\theta ^{2}+g_{\phi \phi }d\phi ^{2}\,,}$

поэтому неголономные ортонормальные ковекторы

${\displaystyle \omega _{t}={\sqrt {g_{tt}}}dt\,,\;\;\omega _{r}={\sqrt {g_{rr}}}dr\,,\;\;\omega _{\theta }={\sqrt {g_{\theta \theta }}}d\theta \,,\;\;\omega _{\phi }={\sqrt {g_{\phi \phi }}}d\phi \,,}$

и неголономные нулевые ковекторы, следовательно,

${\displaystyle l_{a}dx^{a}={\frac {1}{\sqrt {2}}}({\sqrt {g_{tt}}}dt+{\sqrt {g_{rr}}}dr)\,,}$ ${\displaystyle n_{a}dx^{a}={\frac {1}{\sqrt {2}}}({\sqrt {g_{tt}}}dt-{\sqrt {g_{rr}}}dr)\,,}$

${\displaystyle m_{a}dx^{a}={\frac {1}{\sqrt {2}}}({\sqrt {g_{\theta \theta }}}d\theta +i{\sqrt {g_{\phi \phi }}}d\phi )\,,}$ ${\displaystyle {\bar {m}}_{a}dx^{a}={\frac {1}{\sqrt {2}}}({\sqrt {g_{\theta \theta }}}d\theta -i{\sqrt {g_{\phi \phi }}}d\phi )\,.}$

В пространстве-времени Минковского неголономно построенные нулевые векторы соответственно соответствуют исходящим и входящим нулевым радиальным лучам. Как расширение этой идеи в общем искривленном пространстве-времени, все еще может быть выровнен с касательным векторным полем нулевой радиальной конгруэнтности . ^[2] Однако этот тип адаптации работает только для или координат , где радиальное поведение может быть хорошо описано, с и обозначают исходящую (запаздывающую) и входящую (опережающую) нулевую координату соответственно.${\displaystyle \{l^{a}\,,n^{a}\}}$${\displaystyle \{l^{a}\,,n^{a}\}}$${\displaystyle \{t,r,\theta ,\phi \}}$${\displaystyle \{u,r,\theta ,\phi \}}$${\displaystyle \{v,r,\theta ,\phi \}}$${\displaystyle u}$${\displaystyle v}$

Пример: Нулевая тетрада для метрики Шварцшильда в координатах Эддингтона-Финкельштейна читается

${\displaystyle ds^{2}=-Fdv^{2}+2dvdr+r^{2}(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\!\theta \,d\phi ^{2})\,,\;\;{\text{with }}F\,:=\,{\Big (}1-{\frac {2M}{r}}{\Big )}\,,}$

поэтому лагранжиан для нулевых радиальных геодезических пространства -времени Шварцшильда равен

${\displaystyle L=-F{\dot {v}}^{2}+2{\dot {v}}{\dot {r}}\,,}$

который имеет входящее решение и исходящее решение . Теперь можно построить комплексную нулевую тетраду, которая адаптирована к входящим нулевым радиальным геодезическим:${\displaystyle {\dot {v}}=0}$${\displaystyle {\dot {r}}={\frac {F}{2}}{\dot {v}}}$

${\displaystyle l^{a}=(1,{\frac {F}{2}},0,0)\,,\quad n^{a}=(0,-1,0,0)\,,\quad m^{a}={\frac {1}{{\sqrt {2}}\,r}}(0,0,1,i\,\csc \theta )\,,}$

и поэтому ковекторы двойного базиса являются

${\displaystyle l_{a}=(-{\frac {F}{2}},1,0,0)\,,\quad n_{a}=(-1,0,0,0)\,,\quad m_{a}={\frac {r}{\sqrt {2}}}(0,0,1,i\sin \theta )\,.}$

Здесь мы использовали условие кросс-нормализации, а также требование, которое должно охватывать индуцированную метрику для сечений {v=constant, r=constant}, где и не являются взаимно ортогональными. Кроме того, оставшиеся два тетрадных (ко)вектора построены неголономно. Определив тетраду, теперь можно соответственно найти спиновые коэффициенты, скаляры Вейля-Np и скаляры Риччи-NP, которые${\displaystyle l^{a}n_{a}=n^{a}l_{a}=-1}$${\displaystyle g_{ab}+l_{a}n_{b}+n_{a}l_{b}}$${\displaystyle h_{AB}}$${\displaystyle dv}$${\displaystyle dr}$

${\displaystyle \kappa =\sigma =\tau =0\,,\quad \nu =\lambda =\pi =0\,,\quad \gamma =0}$
${\displaystyle \rho ={\frac {-r+2M}{2r^{2}}}\,,\quad \mu =-{\frac {1}{r}}\,,\quad \alpha =-\beta ={\frac {-{\sqrt {2}}\cot \theta }{4r}}\,,\quad \varepsilon ={\frac {M}{2r^{2}}}\,;}$

${\displaystyle \Psi _{0}=\Psi _{1}=\Psi _{3}=\Psi _{4}=0\,,\quad \Psi _{2}=-{\frac {M}{r^{3}}}\,,}$

${\displaystyle \Phi _{00}=\Phi _{10}=\Phi _{20}=\Phi _{11}=\Phi _{12}=\Phi _{22}=\Lambda =0\,.}$

Пример: Нулевая тетрада для экстремальной метрики Рейсснера–Нордстрема в координатах Эддингтона–Финкельштейна читается как

${\displaystyle ds^{2}=-Gdv^{2}+2dvdr+r^{2}d\theta ^{2}+r^{2}\sin ^{2}\!\theta \,d\phi ^{2}\,,\;\;{\text{with }}G\,:=\,{\Big (}1-{\frac {M}{r}}{\Big )}^{2}\,,}$

поэтому Лагранжиан равен

${\displaystyle 2L=-G{\dot {v}}^{2}+2{\dot {v}}{\dot {r}}+r^{2}({\dot {\theta }}^{2}+\sin ^{2}\!\theta \,{\dot {\phi }}^{2})\,.}$

Для нулевых радиальных геодезических с есть два решения${\displaystyle \{L=0\,,{\dot {\theta }}=0\,,{\dot {\phi }}=0\}}$

${\displaystyle {\dot {v}}=0}$(входящие) и (исходящие),${\displaystyle {\dot {r}}=2F{\dot {v}}}$

и поэтому тетрада для входящего наблюдателя может быть установлена ​​как

${\displaystyle l^{a}\partial _{a}\,=\,{\Big (}1\,,{\frac {F}{2}}\,,0\,,0{\Big )}\,,\quad n^{a}\partial _{a}\,=\,{\Big (}0\,,-1\,,0\,,0{\Big )}\,,}$

${\displaystyle l_{a}dx^{a}\,=\,{\Big (}-{\frac {F}{2}}\,,1\,,0,0{\Big )}\,,\quad n_{a}dx^{a}\,=\,{\Big (}-1\,,0\,,0\,,0{\Big )}\,,}$

${\displaystyle m^{a}\partial _{a}\,=\,{\frac {1}{\sqrt {2}}}\,{\Big (}0\,,0\,,{\frac {1}{r}}\,,{\frac {i}{r\sin \theta }}{\Big )}\,,\quad m_{a}dx^{a}\,=\,{\frac {r}{\sqrt {2}}}\,{\Big (}0\,,0\,,1\,,i\sin \theta {\Big )}\,.}$

Определив тетраду, мы теперь можем вычислить спиновые коэффициенты, скаляры Вейля-NP и скаляры Риччи-NP, которые

${\displaystyle \kappa =\sigma =\tau =0\,,\quad \nu =\lambda =\pi =0\,,\quad \gamma =0}$
${\displaystyle \rho ={\frac {(r-M)^{2}}{2r^{3}}}\,,\quad \mu =-{\frac {1}{r}}\,,\quad \alpha =-\beta ={\frac {-{\sqrt {2}}\cot \theta }{4r}}\,,\quad \varepsilon ={\frac {M(r-M)}{2r^{3}}}\,;}$

${\displaystyle \Psi _{0}=\Psi _{1}=\Psi _{3}=\Psi _{4}=0\,,\quad \Psi _{2}=-{\frac {(Mr-M)}{r^{4}}}\,,}$

${\displaystyle \Phi _{00}=\Phi _{10}=\Phi _{20}=\Phi _{12}=\Phi _{22}=\Lambda =0\,,\quad \Phi _{11}=-{\frac {M^{2}}{2r^{4}}}\,.}$

В некоторых типичных граничных областях, таких как нулевая бесконечность, времениподобная бесконечность , пространственноподобная бесконечность, горизонты черных дыр и космологические горизонты , нулевые тетрады, адаптированные к структурам пространства-времени, обычно используются для достижения наиболее лаконичных описаний Ньюмена-Пенроуза .

Для нулевой бесконечности классическая тетрада Ньюмена-Унти (NU) ^{[3] [4] [5]} используется для изучения асимптотического поведения при нулевой бесконечности ,

${\displaystyle l^{a}\partial _{a}=\partial _{r}:=D\,,}$
${\displaystyle n^{a}\partial _{a}=\partial _{u}+U\partial _{r}+X\partial _{\varsigma }+{\bar {X}}\partial _{\bar {\varsigma }}:=\Delta \,,}$
${\displaystyle m^{a}\partial _{a}=\omega \partial _{r}+\xi ^{3}\partial _{\varsigma }+\xi ^{4}\partial _{\bar {\varsigma }}:=\delta \,,}$
${\displaystyle {\bar {m}}^{a}\partial _{a}={\bar {\omega }}\partial _{r}+{\bar {\xi }}^{3}\partial _{\bar {\varsigma }}+{\bar {\xi }}^{4}\partial _{\varsigma }:={\bar {\delta }}\,,}$

где — функции тетрады, которые необходимо решить. Для тетрады NU листы слоения параметризуются исходящей (продвинутой) нулевой координатой с , а — нормализованной аффинной координатой вдоль ; входящий нулевой вектор действует как нулевой генератор на нулевой бесконечности с . Координаты включают две действительные аффинные координаты и две комплексные стереографические координаты , где — обычные сферические координаты на поперечном сечении (как показано в ^{[5] ,} комплексные стереографические, а не действительные изотермические координаты используются только для удобства полного решения уравнений NP).${\displaystyle \{U,X,\omega ,\xi ^{3},\xi ^{4}\}}$${\displaystyle u}$${\displaystyle l_{a}=du}$${\displaystyle r}$${\displaystyle l^{a}}$ ${\displaystyle (Dr=l^{a}\partial _{a}r=1)}$${\displaystyle n^{a}}$${\displaystyle \Delta u=n^{a}\partial _{a}u=1}$${\displaystyle \{u,r,\varsigma ,{\bar {\varsigma }}\}}$${\displaystyle \{u,r\}}$${\displaystyle \{\varsigma :=e^{i\phi }\cot {\frac {\theta }{2}},{\bar {\varsigma }}=e^{-i\phi }\cot {\frac {\theta }{2}}\}}$${\displaystyle \{\theta ,\phi \}}$${\displaystyle {\hat {\Delta }}_{u}=S_{u}^{2}}$

Также для тетрады NU основными условиями калибровки являются

${\displaystyle \kappa =\pi =\varepsilon =0\,,\quad \rho ={\bar {\rho }}\,,\quad \tau ={\bar {\alpha }}+\beta \,.}$

Для более полного представления черных дыр в квазилокальных определениях требуются адаптированные тетрады, которые можно плавно перенести из внешней области в ближнюю к горизонту окрестность и к горизонтам. Например, для изолированных горизонтов, описывающих черные дыры в равновесии с их внешней частью, такую ​​тетраду и соответствующие координаты можно построить следующим образом. ^{[6] [7] [8] [9] [10] [11]} Выбрать первый действительный нулевой ковектор в качестве градиента листьев фолиации${\displaystyle n_{a}}$

${\displaystyle n_{a}\,=-dv\,,}$
где — входящая (запаздывающая) нулевая координата типа Эддингтона–Финкельштейна , которая маркирует поперечные сечения слоения и действует как аффинный параметр по отношению к исходящему нулевому векторному полю , т.е.${\displaystyle v}$${\displaystyle l^{a}\partial _{a}}$

${\displaystyle Dv=1\,,\quad \Delta v=\delta v={\bar {\delta }}v=0\,.}$
Введем вторую координату как аффинный параметр вдоль входящего нулевого векторного поля , который подчиняется нормализации${\displaystyle r}$${\displaystyle n^{a}}$

${\displaystyle n^{a}\partial _{a}r\,=\,-1\;\Leftrightarrow \;n^{a}\partial _{a}\,=\,-\partial _{r}\,.}$

Теперь первый действительный нулевой вектор тетрады зафиксирован. Для определения оставшихся векторов тетрады и их ковекторов, помимо основных условий кросс-нормализации, также требуется, чтобы: (i) исходящее нулевое нормальное поле действовало как нулевые генераторы; (ii) нулевой фрейм (ковекторы) параллельно распространялся вдоль ; (iii) охватывал {t=constant, r=constant} поперечные сечения, которые помечены действительными изотермическими координатами .${\displaystyle n^{a}}$${\displaystyle \{l^{a},m^{a},{\bar {m}}^{a}\}}$${\displaystyle l^{a}}$${\displaystyle \{l_{a},n_{a},m_{a},{\bar {m}}_{a}\}}$${\displaystyle n^{a}\partial _{a}}$${\displaystyle \{m^{a},{\bar {m}}^{a}\}}$ ${\displaystyle \{y,z\}}$

Тетрады, удовлетворяющие указанным выше ограничениям, можно выразить в общем виде:

${\displaystyle l^{a}\partial _{a}=\partial _{v}+U\partial _{r}+X^{3}\partial _{y}+X^{4}\partial _{z}\,:=\,D\,,}$
${\displaystyle n^{a}\partial _{a}=-\partial _{r}\,:=\,\Delta \,,}$
${\displaystyle m^{a}\partial _{a}=\Omega \partial _{r}+\xi ^{3}\partial _{y}+\xi ^{4}\partial _{z}\,:=\,\delta \,,}$
${\displaystyle {\bar {m}}^{a}\partial _{a}={\bar {\Omega }}\partial _{r}+{\bar {\xi }}^{3}\partial _{y}+{\bar {\xi }}^{4}\partial _{z}\,:=\,{\bar {\delta }}\,.}$

Условия калибровки в этой тетраде следующие:

${\displaystyle \nu =\tau =\gamma =0\,,\quad \mu ={\bar {\mu }}\,,\quad \pi =\alpha +{\bar {\beta }}\,,}$

Замечание: В отличие от координат типа Шварцшильда , здесь r=0 представляет горизонт , тогда как r>0 (r<0) соответствует внешней (внутренней) части изолированного горизонта. Люди часто Тейлор разлагает скалярную функцию относительно горизонта r=0,${\displaystyle Q}$

${\displaystyle Q=\sum _{i=0}Q^{(i)}r^{i}=Q^{(0)}+Q^{(1)}r+\cdots +Q^{(n)}r^{n}+\ldots }$

где относится к его значению на горизонте. Сами координаты, используемые в адаптированной тетраде выше, на самом деле являются гауссовыми нулевыми координатами, используемыми при изучении геометрии и механики черных дыр вблизи горизонта.${\displaystyle Q^{(0)}}$

• Формализм Ньюмена–Пенроуза