Скаляры Риччи (формализм Ньюмена–Пенроуза)

В формализме Ньюмена-Пенроуза (NP) общей теории относительности независимые компоненты тензоров Риччи четырехмерного пространства-времени кодируются в семь (или десять) скаляров Риччи , которые состоят из трех действительных скаляров , трех (или шести) комплексных скаляров и скаляра кривизны NP . Физически скаляры Риччи-NP связаны с распределением энергии-импульса пространства-времени из-за уравнения поля Эйнштейна . { Ф 00 , Ф 11 , Ф 22 } {\displaystyle \{\Phi _{00},\Phi _{11},\Phi _{22}\}} { Ф 01 = Ф ¯ 10 , Ф 02 = Ф ¯ 20 , Ф 12 = Ф ¯ 21 } {\displaystyle \{\Phi _{01}={\overline {\Phi }}_{10} \,,\Phi _{02} = {\overline {\Phi }}_{20}\,,\Phi _{12} = {\overline {\Phi }}_{21}\}} Λ {\displaystyle \Лямбда}

Определения

Учитывая комплексную нулевую тетраду и соглашение , скаляры Риччи-NP определяются как [1] ​​[2] [3] (где верхняя черта означает комплексное сопряжение ) { л а , н а , м а , м ¯ а } {\displaystyle \{л^{а},н^{а},м^{а},{\бар {м}}^{а}\}} { ( − , + , + , + ) ; л а н а = − 1 , м а м ¯ а = 1 } {\displaystyle \{(-,+,+,+);l^{a}n_{a}=-1\,,m^{a}{\bar {m}}_{a}=1\}}

Ф 00 := 1 2 Р а б л а л б , Ф 11 := 1 4 Р а б ( л а н б + м а м ¯ б ) , Ф 22 := 1 2 Р а б н а н б , Λ := Р 24 ; {\displaystyle \Phi _{00}:={\frac {1}{2}}R_{ab}l^{a}l^{b}\,,\quad \Phi _{11}:={\frac {1}{4}}R_{ab}(\,l^{a}n^{b}+m^{a}{\bar {m}}^{b})\,,\quad \Phi _{22}:={\frac {1}{2}}R_{ab}n^{a}n^{b}\,,\quad \Lambda :={\frac {R}{24}}\,;}

Ф 01 := 1 2 Р а б л а м б , Ф 10 := 1 2 Р а б л а м ¯ б = Ф ¯ 01 , {\displaystyle \Phi _{01}:={\frac {1}{2}}R_{ab}l^{a}m^{b}\,,\quad \;\Phi _{10}:={\frac {1}{2}}R_{ab}l^{a}{\bar {m}}^{b}={\overline {\Phi }}_{01}\,,}
Ф 02 := 1 2 Р а б м а м б , Ф 20 := 1 2 Р а б м ¯ а м ¯ б = Ф ¯ 02 , {\displaystyle \Phi _{02}:={\frac {1}{2}}R_{ab}m^{a}m^{b}\,,\quad \Phi _{20}:={\frac {1}{2}}R_{ab}{\bar {m}}^{a}{\bar {m}}^{b}={\overline {\Phi }}_{02}\,,}
Ф 12 := 1 2 Р а б м а н б , Ф 21 := 1 2 Р а б м ¯ а н б = Ф ¯ 12 . {\displaystyle \Phi _{12}:={\frac {1}{2}}R_{ab}m^{a}n^{b}\,,\quad \;\Phi _{21}:={\frac {1}{2}}R_{ab}{\bar {m}}^{a}n^{b}={\overline {\Phi }}_{12}\,.}

Замечание I: В этих определениях можно заменить его бесследовой частью [2] или тензором Эйнштейна из-за соотношений нормализации (т.е. внутреннего произведения), которые Р а б {\displaystyle R_{ab}} В а б = Р а б − 1 4 г а б Р {\displaystyle Q_{ab}=R_{ab}-{\frac {1}{4}}g_{ab}R} Г а б = Р а б − 1 2 г а б Р {\displaystyle G_{ab}=R_{ab}-{\frac {1}{2}}g_{ab}R}

л а л а = н а н а = м а м а = м ¯ а м ¯ а = 0 , {\displaystyle l_{a}l^{a}=n_{a}n^{a}=m_{a}m^{a}={\bar {m}}_{a}{\bar {m}}^{a}=0\,,}
л а м а = л а м ¯ а = н а м а = н а м ¯ а = 0 . {\displaystyle l_{a}m^{a}=l_{a}{\bar {m}}^{a}=n_{a}m^{a}=n_{a}{\bar {m}}^{a}=0\,.}

Замечание II: Конкретно для электровакуума мы имеем , таким образом Λ = 0 {\displaystyle \Лямбда =0}

24 Λ = 0 = Р а б г а б = Р а б ( − 2 л а н б + 2 м а м ¯ б ) ⇒ Р а б л а н б = Р а б м а м ¯ б , {\displaystyle 24\Lambda \,=0=\,R_{ab}g^{ab}\,=\,R_{ab}{\Big (}-2l^{a}n^{b}+2m^{a}{\bar {m}}^{b}{\Big )}\;\Rightarrow \;R_{ab}l^{a}n^{b}\,=\,R_{ab}m^{a}{\bar {m}}^{b}\,,}

и поэтому сводится к Ф 11 {\displaystyle \Фи _{11}}

Ф 11 := 1 4 Р а б ( л а н б + м а м ¯ б ) = 1 2 Р а б л а н б = 1 2 Р а б м а м ¯ б . {\displaystyle \Phi _{11}:={\frac {1}{4}}R_{ab}(\,l^{a}n^{b}+m^{a}{\bar {m}}^{b})={\frac {1}{2}}R_{ab}l^{a}n^{b}={\frac {1}{2}}R_{ab}m^{a}{\bar {m}}^{b}\,.}

Замечание III: Если принять соглашение , то определения должны принимать противоположные значения; [4] [5] [6] [7] то есть после перехода сигнатуры. { ( + , − , − , − ) ; л а н а = 1 , м а м ¯ а = − 1 } {\displaystyle \{(+,-,-,-);l^{a}n_{a}=1\,,m^{a}{\bar {m}}_{a}=-1\}} Ф я дж {\displaystyle \Phi _{ij}} Ф я дж ↦ − Ф я дж {\displaystyle \Phi _{ij} \mapsto -\Phi _{ij}}

Альтернативные производные

Согласно определениям выше, необходимо найти тензоры Риччи , прежде чем вычислять скаляры Риччи-NP через свертки с соответствующими векторами тетрады. Однако этот метод не в полной мере отражает дух формализма Ньюмена–Пенроуза, и в качестве альтернативы можно вычислить спиновые коэффициенты , а затем вывести скаляры Риччи-NP через соответствующие уравнения поля NP , которые [2] [7] Ф я дж {\displaystyle \Phi _{ij}}

Ф 00 = Д ρ − δ ¯ к − ( ρ 2 + σ σ ¯ ) − ( ε + ε ¯ ) ρ + к ¯ τ + к ( 3 α + β ¯ − π ) , {\displaystyle \Phi _{00}=D\rho - {\bar {\delta }}\kappa -(\rho ^{2}+\sigma {\bar {\sigma }})-(\varepsilon +{\bar {\varepsilon }})\rho +{\bar {\kappa }}\tau +\kappa (3\alpha +{\bar {\beta) }}-\pi )\,,}
Ф 10 = Д α − δ ¯ ε − ( ρ + ε ¯ − 2 ε ) α − β σ ¯ + β ¯ ε + к λ + к ¯ γ − ( ε + ρ ) π , {\displaystyle \Phi _{10}=D\alpha -{\bar {\delta }}\varepsilon -(\rho +{\bar {\varepsilon }}-2\varepsilon )\alpha -\beta {\bar {\sigma }}+{\bar {\beta }}\varepsilon +\kappa \lambda +{\bar {\kappa }}\gamma -(\varepsilon +\rho )\pi \,,}
Φ 02 = δ τ − Δ σ − ( μ σ + λ ¯ ρ ) − ( τ + β − α ¯ ) τ + ( 3 γ − γ ¯ ) σ + κ ν ¯ , {\displaystyle \Phi _{02}=\delta \tau -\Delta \sigma -(\mu \sigma +{\bar {\lambda }}\rho )-(\tau +\beta -{\bar {\alpha }})\tau +(3\gamma -{\bar {\gamma }})\sigma +\kappa {\bar {\nu }}\,,}
Φ 20 = D λ − δ ¯ π − ( ρ λ + σ ¯ μ ) − π 2 − ( α − β ¯ ) π + ν κ ¯ + ( 3 ε − ε ¯ ) λ , {\displaystyle \Phi _{20}=D\lambda -{\bar {\delta }}\pi -(\rho \lambda +{\bar {\sigma }}\mu )-\pi ^{2}-(\alpha -{\bar {\beta }})\pi +\nu {\bar {\kappa }}+(3\varepsilon -{\bar {\varepsilon }})\lambda \,,}
Φ 12 = δ γ − Δ β − ( τ − α ¯ − β ) γ − μ τ + σ ν + ε ν ¯ + ( γ − γ ¯ − μ ) β − α λ ¯ , {\displaystyle \Phi _{12}=\delta \gamma -\Delta \beta -(\tau -{\bar {\alpha }}-\beta )\gamma -\mu \tau +\sigma \nu +\varepsilon {\bar {\nu }}+(\gamma -{\bar {\gamma }}-\mu )\beta -\alpha {\bar {\lambda }}\,,}
Φ 22 = δ ν − Δ μ − ( μ 2 + λ λ ¯ ) − ( γ + γ ¯ ) μ + ν ¯ π − ( τ − 3 β − α ¯ ) ν , {\displaystyle \Phi _{22}=\delta \nu -\Delta \mu -(\mu ^{2}+\lambda {\bar {\lambda }})-(\gamma +{\bar {\gamma }})\mu +{\bar {\nu }}\pi -(\tau -3\beta -{\bar {\alpha }})\nu \,,}
2 Φ 11 = D γ − Δ ε + δ α − δ ¯ β − ( τ + π ¯ ) α − α α ¯ − ( τ ¯ + π ) β − β β ¯ + 2 α β + ( ε + ε ¯ ) γ − ( ρ − ρ ¯ ) γ + ( γ + γ ¯ ) ε − ( μ − μ ¯ ) ε − τ π + ν κ − ( μ ρ − λ σ ) , {\displaystyle 2\Phi _{11}=D\gamma -\Delta \varepsilon +\delta \alpha -{\bar {\delta }}\beta -(\tau +{\bar {\pi }})\alpha -\alpha {\bar {\alpha }}-({\bar {\tau }}+\pi )\beta -\beta {\bar {\beta }}+2\alpha \beta +(\varepsilon +{\bar {\varepsilon }})\gamma -(\rho -{\bar {\rho }})\gamma +(\gamma +{\bar {\gamma }})\varepsilon -(\mu -{\bar {\mu }})\varepsilon -\tau \pi +\nu \kappa -(\mu \rho -\lambda \sigma )\,,}

в то время как скаляр кривизны NP можно было бы напрямую и легко вычислить с помощью обычной скалярной кривизны метрики пространства-времени . Λ {\displaystyle \Lambda } Λ = R 24 {\displaystyle \Lambda ={\frac {R}{24}}} R {\displaystyle R} g a b = − l a n b − n a l b + m a m ¯ b + m ¯ a m b {\displaystyle g_{ab}=-l_{a}n_{b}-n_{a}l_{b}+m_{a}{\bar {m}}_{b}+{\bar {m}}_{a}m_{b}}

Электромагнитные скаляры Риччи-NP

Согласно определениям скаляров Риччи-НП выше и тому факту, что можно было бы заменить на в определениях, связаны с распределением энергии-импульса из-за уравнений поля Эйнштейна . В простейшей ситуации, т.е. вакуумном пространстве-времени в отсутствие полей материи с , мы будем иметь . Более того, для электромагнитного поля, в дополнение к вышеупомянутым определениям, можно было бы определить более конкретно [1] Φ i j {\displaystyle \Phi _{ij}} R a b {\displaystyle R_{ab}} G a b {\displaystyle G_{ab}} Φ i j {\displaystyle \Phi _{ij}} G a b = 8 π T a b {\displaystyle G_{ab}=8\pi T_{ab}} T a b = 0 {\displaystyle T_{ab}=0} Φ i j = 0 {\displaystyle \Phi _{ij}=0} Φ i j {\displaystyle \Phi _{ij}}


Φ i j = 2 ϕ i ϕ ¯ j , ( i , j ∈ { 0 , 1 , 2 } ) , {\displaystyle \Phi _{ij}=\,2\,\phi _{i}\,{\overline {\phi }}_{j}\,,\quad (i,j\in \{0,1,2\})\,,}

где обозначают три комплексных скаляра Максвелла-НП [1], которые кодируют шесть независимых компонентов 2-формы Фарадея-Максвелла (т.е. тензора напряженности электромагнитного поля ) ϕ i {\displaystyle \phi _{i}} F a b {\displaystyle F_{ab}}


ϕ 0 := − F a b l a m b , ϕ 1 := − 1 2 F a b ( l a n a − m a m ¯ b ) , ϕ 2 := F a b n a m ¯ b . {\displaystyle \phi _{0}:=-F_{ab}l^{a}m^{b}\,,\quad \phi _{1}:=-{\frac {1}{2}}F_{ab}{\big (}l^{a}n^{a}-m^{a}{\bar {m}}^{b}{\big )}\,,\quad \phi _{2}:=F_{ab}n^{a}{\bar {m}}^{b}\,.}

Замечание: Уравнение для электромагнитного поля, однако, не обязательно справедливо для других видов полей материи. Например, в случае полей Янга–Миллса будет , где есть скаляры Янга–Миллса-NP. [8] Φ i j = 2 ϕ i ϕ ¯ j {\displaystyle \Phi _{ij}=2\,\phi _{i}\,{\overline {\phi }}_{j}} Φ i j = Tr ( ϝ i ϝ ¯ j ) {\displaystyle \Phi _{ij}=\,{\text{Tr}}\,(\digamma _{i}\,{\bar {\digamma }}_{j})} ϝ i ( i ∈ { 0 , 1 , 2 } ) {\displaystyle \digamma _{i}(i\in \{0,1,2\})}

Смотрите также

Ссылки

  1. ^ abc Джереми Брэнсом Гриффитс, Иржи Подольский. Точные пространства-времена в общей теории относительности Эйнштейна . Кембридж: Cambridge University Press, 2009. Глава 2.
  2. ^ abc Валерий П. Фролов, Игорь Д. Новиков. Физика черных дыр: основные концепции и новые разработки . Берлин: Springer, 1998. Приложение E.
  3. ^ Абхай Аштекар, Стивен Фэрхерст, Бадри Кришнан. Изолированные горизонты: гамильтонианская эволюция и первый закон . Physical Review D, 2000, 62 (10): 104025. Приложение B. gr-qc/0005083
  4. ^ Эзра Т. Ньюман, Роджер Пенроуз. Подход к гравитационному излучению методом спиновых коэффициентов . Журнал математической физики, 1962, 3 (3): 566-768.
  5. ^ Эзра Т. Ньюман, Роджер Пенроуз. Errata: An Approach to Gravitational Radiation by a Method of Spin Coefficients . Журнал математической физики, 1963, 4 (7): 998.
  6. ^ Субраманьян Чандрасекар. Математическая теория черных дыр . Чикаго: Издательство Чикагского университета, 1983.
  7. ^ Питер О'Доннелл. Введение в 2-спиноры в общей теории относительности . Сингапур: World Scientific, 2003.
  8. ^ ET Newman, KP Tod. Асимптотически плоские пространства-времена , Приложение A.2. В A Held (редактор): Общая теория относительности и гравитация: сто лет после рождения Альберта Эйнштейна . Том (2), стр. 27. Нью-Йорк и Лондон: Plenum Press, 1980.
Retrieved from "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Ricci_scalars_(Newman–Penrose_formalism)&oldid=910516379"