Метрика около горизонта
Предел окологоризонтной глобальной метрики черной дыры

Метрика около горизонта ( NHM ) относится к пределу около горизонта глобальной метрики черной дыры . NHM играют важную роль в изучении геометрии и топологии черных дыр, но хорошо определены только для экстремальных черных дыр. [1] [2] [3] NHM выражаются в гауссовых нулевых координатах, и одним из важных свойств является то, что зависимость от координаты фиксируется в пределе около горизонта. г {\displaystyle r}

NHM экстремальных черных дыр Рейсснера-Нордстрема

Метрика экстремальной черной дыры Рейсснера–Нордстрема равна

г с 2 = − ( 1 − М г ) 2 г т 2 + ( 1 − М г ) − 2 г г 2 + г 2 ( г θ 2 + грех 2 ⁡ θ г ϕ 2 ) . {\displaystyle ds^{2}\,=\,-{\Big (}1-{\frac {M}{r}}{\Big )}^{2}\,dt^{2}+{\Big (}1-{\frac {M}{r}}{\Big )}^{-2}dr^{2}+r^{2}\,{\big (}d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \,d\phi ^{2}{\big )}\,.}

Преодоление предела, граничащего с горизонтом

т ↦ т ~ ϵ , г ↦ М + ϵ г ~ , ϵ → 0 , {\displaystyle t\mapsto {\frac {\tilde {t}}{\epsilon }}\,,\quad r\mapsto M+\epsilon \,{\tilde {r}}\,,\quad \epsilon \to 0\,,}

и затем, опуская тильды, получаем метрику вблизи горизонта

г с 2 = − г 2 М 2 г т 2 + М 2 г 2 г г 2 + М 2 ( г θ 2 + грех 2 ⁡ θ г ϕ 2 ) {\displaystyle ds^{2}=-{\frac {r^{2}}{M^{2}}}\,dt^{2}+{\frac {M^{2}}{r^{2}}}\,dr^{2}+M^{2}\,{\big (}d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \,d\phi ^{2}{\big )}}

NHM экстремальных черных дыр Керра

Метрика экстремальной черной дыры Керра ( ) в координатах Бойера–Линдквиста может быть записана в следующих двух поясняющих формах: [4] [5] М = а = Дж. / М {\displaystyle М=а=Дж/М}

г с 2 = − ρ К 2 Δ К Σ 2 г т 2 + ρ К 2 Δ К г г 2 + ρ К 2 г θ 2 + Σ 2 грех 2 ⁡ θ ρ К 2 ( г ϕ − ω К г т ) 2 , {\displaystyle ds^{2}\,=\,-{\frac {\rho _{K}^{2}\Delta _{K}}{\Sigma ^{2}}}\,dt^{2}+{\frac {\rho _{K}^{2}}{\Delta _{K}}}\,dr^{2}+\rho _{K}^{2}d\theta ^{2}+{\frac {\Sigma ^{2}\sin ^{2}\theta }{\rho _{K}^{2}}}{\big (}d\phi -\omega _{K}\,dt{\big )}^{2}\,,}
г с 2 = − Δ К ρ К 2 ( г т − М грех 2 ⁡ θ г ϕ ) 2 + ρ К 2 Δ К г г 2 + ρ К 2 г θ 2 + грех 2 ⁡ θ ρ К 2 ( М г т − ( г 2 + М 2 ) г ϕ ) 2 , {\displaystyle ds^{2}\,=\,-{\frac {\Delta _{K}}{\rho _{K}^{2}}}\,{\big (}dt-M\sin ^{2}\theta d\phi {\big )}^{2}+{\frac {\rho _{K}^{2}}{\Delta _{K}}}\,dr^{2}+\rho _{K}^{2}d\theta ^{2}+{\frac {\sin ^{2}\theta }{\rho _{K}^{2}}}{\Big (}Mdt-(r^{2}+M^{2})d\phi {\Big )}^{2}\,,}

где

ρ К 2 := г 2 + М 2 потому что 2 ⁡ θ , Δ К := ( г − М ) 2 , Σ 2 := ( г 2 + М 2 ) 2 − М 2 Δ К грех 2 ⁡ θ , ω К := 2 М 2 г Σ 2 . {\displaystyle \rho _{K}^{2}:=r^{2}+M^{2}\cos ^{2}\theta \,,\;\;\Delta _{K}:={\big (}rM{\big )}^{2}\,,\;\;\Sigma ^{2}:={\big (}r^{2}+M^{2}{\big )}^{2}-M^{2}\Delta _{K}\sin ^{2}\theta \,,\;\;\omega _{K}:={\frac {2M^{2}r}{\Sigma ^{2}}}\,.}

Принимая предел около горизонта [6] [7]

т ↦ т ~ ϵ , г ↦ М + ϵ г ~ , ϕ ↦ ϕ ~ + 1 2 М ϵ т ~ , ϵ → 0 , {\displaystyle t\mapsto {\frac {\tilde {t}}{\epsilon }}\,,\quad r\mapsto M+\epsilon \,{\tilde {r}}\,,\quad \phi \mapsto {\tilde {\phi }}+{\frac {1}{2M\epsilon }}{\tilde {t}}\,,\quad \epsilon \to 0\,,}

и опуская тильды, получаем метрику вблизи горизонта (ее также называют экстремальной горловиной Керра [6] )

d s 2 ≃ 1 + cos 2 ⁡ θ 2 ( − r 2 2 M 2 d t 2 + 2 M 2 r 2 d r 2 + 2 M 2 d θ 2 ) + 4 M 2 sin 2 ⁡ θ 1 + cos 2 ⁡ θ ( d ϕ + r d t 2 M 2 ) 2 . {\displaystyle ds^{2}\simeq {\frac {1+\cos ^{2}\theta }{2}}\,{\Big (}-{\frac {r^{2}}{2M^{2}}}\,dt^{2}+{\frac {2M^{2}}{r^{2}}}\,dr^{2}+2M^{2}d\theta ^{2}{\Big )}+{\frac {4M^{2}\sin ^{2}\theta }{1+\cos ^{2}\theta }}\,{\Big (}d\phi +{\frac {rdt}{2M^{2}}}{\Big )}^{2}\,.}

NHM экстремальных черных дыр Керра-Ньюмена

Экстремальные черные дыры Керра–Ньюмена ( ) описываются метрикой [4] [5] r + 2 = M 2 + Q 2 {\displaystyle r_{+}^{2}=M^{2}+Q^{2}}

d s 2 = − ( 1 − 2 M r − Q 2 ρ K N ) d t 2 − 2 a sin 2 θ ( 2 M r − Q 2 ) ρ K N d t d ϕ + ρ K N ( d r 2 Δ K N + d θ 2 ) + Σ 2 ρ K N d ϕ 2 , {\displaystyle ds^{2}=-{\Big (}1-{\frac {2Mr-Q^{2}}{\rho _{KN}}}\!{\Big )}dt^{2}-{\frac {2a\sin ^{2}\!\theta \,(2Mr-Q^{2})}{\rho _{KN}}}dtd\phi +\rho _{KN}{\Big (}{\frac {dr^{2}}{\Delta _{KN}}}+d\theta ^{2}{\Big )}+{\frac {\Sigma ^{2}}{\rho _{KN}}}d\phi ^{2},}

где

Δ K N := r 2 − 2 M r + a 2 + Q 2 , ρ K N := r 2 + a 2 cos 2 θ , Σ 2 := ( r 2 + a 2 ) 2 − Δ K N a 2 sin 2 ⁡ θ . {\displaystyle \Delta _{KN}\,:=\,r^{2}-2Mr+a^{2}+Q^{2}\,,\;\;\rho _{KN}\,:=\,r^{2}+a^{2}\cos ^{2}\!\theta \,,\;\;\Sigma ^{2}\,:=\,(r^{2}+a^{2})^{2}-\Delta _{KN}a^{2}\sin ^{2}\theta \,.}

Принимая трансформацию на грани горизонта

t ↦ t ~ ϵ , r ↦ M + ϵ r ~ , ϕ ↦ ϕ ~ + a r 0 2 ϵ t ~ , ϵ → 0 , ( r 0 2 := M 2 + a 2 ) {\displaystyle t\mapsto {\frac {\tilde {t}}{\epsilon }}\,,\quad r\mapsto M+\epsilon \,{\tilde {r}}\,,\quad \phi \mapsto {\tilde {\phi }}+{\frac {a}{r_{0}^{2}\epsilon }}{\tilde {t}}\,,\quad \epsilon \to 0\,,\quad {\Big (}r_{0}^{2}\,:=\,M^{2}+a^{2}{\Big )}}

и опуская тильды, получаем NHM [7]

d s 2 ≃ ( 1 − a 2 r 0 2 sin 2 θ ) ( − r 2 r 0 2 d t 2 + r 0 2 r 2 d r 2 + r 0 2 d θ 2 ) + r 0 2 sin 2 θ ( 1 − a 2 r 0 2 sin 2 θ ) − 1 ( d ϕ + 2 a r M r 0 4 d t ) 2 . {\displaystyle ds^{2}\simeq {\Big (}1-{\frac {a^{2}}{r_{0}^{2}}}\sin ^{2}\!\theta {\Big )}\left(-{\frac {r^{2}}{r_{0}^{2}}}dt^{2}+{\frac {r_{0}^{2}}{r^{2}}}dr^{2}+r_{0}^{2}d\theta ^{2}\right)+r_{0}^{2}\sin ^{2}\!\theta \,{\Big (}1-{\frac {a^{2}}{r_{0}^{2}}}\sin ^{2}\!\theta {\Big )}^{-1}\left(d\phi +{\frac {2arM}{r_{0}^{4}}}dt\right)^{2}\,.}

НХМ общих черных дыр

В дополнение к NHM экстремальных метрик семейства Керра–Ньюмена, обсуждавшимся выше, все стационарные NHM могут быть записаны в виде [1] [2] [3] [8]

d s 2 = ( h ^ A B G A G B − F ) r 2 d v 2 + 2 d v d r − h ^ A B G B r d v d y A − h ^ A B G A r d v d y B + h ^ A B d y A d y B {\displaystyle ds^{2}=({\hat {h}}_{AB}G^{A}G^{B}-F)r^{2}dv^{2}+2dvdr-{\hat {h}}_{AB}G^{B}rdvdy^{A}-{\hat {h}}_{AB}G^{A}rdvdy^{B}+{\hat {h}}_{AB}dy^{A}dy^{B}}
= − F r 2 d v 2 + 2 d v d r + h ^ A B ( d y A − G A r d v ) ( d y B − G B r d v ) , {\displaystyle =-F\,r^{2}dv^{2}+2dvdr+{\hat {h}}_{AB}{\big (}dy^{A}-G^{A}\,rdv{\big )}{\big (}dy^{B}-G^{B}\,rdv{\big )}\,,}

где метрические функции не зависят от координаты r, обозначает внутреннюю метрику горизонта, а являются изотермическими координатами на горизонте. { F , G A } {\displaystyle \{F,G^{A}\}} h ^ A B {\displaystyle {\hat {h}}_{AB}} y A {\displaystyle y^{A}}

Примечание: В гауссовых нулевых координатах горизонт черной дыры соответствует . r = 0 {\displaystyle r=0}

Смотрите также

Ссылки

  1. ^ ab Kunduri, Hari K.; Lucietti, James (2009). "Классификация геометрий вблизи горизонта экстремальных вакуумных черных дыр". Journal of Mathematical Physics . 50 (8): 082502. arXiv : 0806.2051 . Bibcode :2009JMP....50h2502K. doi :10.1063/1.3190480. ISSN  0022-2488. S2CID  15173886.
  2. ^ ab Kunduri, Hari K; Lucietti, James (2009-11-25). "Статические геометрии вблизи горизонта в пяти измерениях". Classical and Quantum Gravity . 26 (24). IOP Publishing: 245010. arXiv : 0907.0410 . Bibcode : 2009CQGra..26x5010K. doi : 10.1088/0264-9381/26/24/245010. ISSN  0264-9381. S2CID  55272059.
  3. ^ ab Kunduri, Hari K (2011-05-20). "Электровакуумные геометрии вблизи горизонта в четырех и пяти измерениях". Классическая и квантовая гравитация . 28 (11): 114010. arXiv : 1104.5072 . Bibcode : 2011CQGra..28k4010K. doi : 10.1088/0264-9381/28/11/114010. ISSN  0264-9381. S2CID  118609264.
  4. ^ ab Hobson, Michael Paul; Efstathiou, George; Lasenby., Anthony N (2006). Общая теория относительности: введение для физиков . Кембридж, Великобритания, Нью-Йорк: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-82951-9. OCLC  61757089.
  5. ^ ab Фролов, Валерий П; Новиков, Игорь Д (1998). Физика черных дыр: основные концепции и новые разработки . Дордрехт Бостон: Kluwer. ISBN 978-0-7923-5145-0. OCLC  39189783.
  6. ^ ab Бардин, Джеймс; Горовиц, Гэри Т. (1999-10-26). "Экстремальная геометрия горловины Керра: вакуумный аналог AdS 2 ×S 2 ". Physical Review D . 60 (10): 104030. arXiv : hep-th/9905099 . Bibcode :1999PhRvD..60j4030B. doi :10.1103/physrevd.60.104030. ISSN  0556-2821. S2CID  17389870.
  7. ^ ab Amsel, Aaron J.; Horowitz, Gary T.; Marolf, Donald; Roberts, Matthew M. (2010-01-22). "Уникальность экстремальных черных дыр Керра и Керра-Ньюмена". Physical Review D. 81 ( 2): 024033. arXiv : 0906.2367 . Bibcode : 2010PhRvD..81b4033A. doi : 10.1103/physrevd.81.024033. ISSN  1550-7998. S2CID  15540019.
  8. ^ Компэр, Джеффри (2012-10-22). "The Kerr/CFT Correspondence and its Extensions". Living Reviews in Relativity . 15 (1). Springer Science and Business Media LLC: 11. arXiv : 1203.3561 . Bibcode : 2012LRR....15...11C. doi : 10.12942/lrr-2012-11 . ISSN  2367-3613. PMC 5255558. PMID 28179839  . 
Retrieved from "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Near-horizon_metric&oldid=1182521960"