Сложное пространство-время

Комплексное пространство-время — это математическая структура, которая объединяет концепции комплексных чисел и пространства-времени в физике. В этой структуре обычные действительные координаты пространства-времени заменяются комплексными координатами. Это позволяет включать мнимые компоненты в описание пространства-времени, что может иметь интересные последствия в определенных областях физики, таких как квантовая теория поля и теория струн .

Это понятие полностью математическое и не подразумевает никакой физики, но его следует рассматривать как инструмент, например, как показано на примере вращения Вика .

Реальные и сложные пространства

Математика

Усложнение действительного векторного пространства приводит к комплексному векторному пространству (над полем комплексных чисел ). «Усложнить» пространство означает расширить обычное скалярное умножение векторов на действительные числа до скалярного умножения на комплексные числа . Для усложненных пространств скалярного произведения комплексное скалярное произведение векторов заменяет обычное вещественное скалярное произведение , примером последнего является скалярное произведение .

В математической физике, когда мы комплексируем действительное координатное пространство , мы создаем комплексное координатное пространство , называемое в дифференциальной геометрии « комплексным многообразием ». Пространство может быть связано с , поскольку каждое комплексное число представляет собой два действительных числа. Р н {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} С н {\displaystyle \mathbb {C} ^{n}} С н {\displaystyle \mathbb {C} ^{n}} Р 2 н {\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}

Сложная геометрия пространства-времени подразумевает, что комплексным является метрический тензор , а не само пространство-время.

Физика

Пространство Минковского специальной теории относительности (СТО) и общей теории относительности (ОТО) является 4-мерным псевдоевклидовым пространством . Пространство-время, лежащее в основе уравнений поля Альберта Эйнштейна , которые математически описывают гравитацию , является реальным 4-мерным псевдоримановым многообразием .

В квантовой механике волновые функции , описывающие частицы, являются комплекснозначными функциями реальных пространственных и временных переменных. Набор всех волновых функций для данной системы представляет собой бесконечномерное комплексное гильбертово пространство .

История

Понятие пространства-времени, имеющего более четырех измерений, представляет интерес само по себе с точки зрения математики. Его появление в физике может быть связано с попытками объединения фундаментальных взаимодействий , изначально гравитации и электромагнетизма . Эти идеи преобладают в теории струн и за ее пределами. Идея комплексного пространства-времени получила значительно меньше внимания, но она рассматривалась в сочетании с уравнением Лоренца-Дирака и уравнениями Максвелла. [1] [2] Другие идеи включают отображение реального пространства-времени в комплексное пространство представления SU(2, 2) , см. теорию твисторов . [3]

В 1919 году Теодор Калуца ​​отправил свое 5-мерное расширение общей теории относительности Альберту Эйнштейну [4], который был впечатлен тем, как уравнения электромагнетизма возникли из теории Калуцы. В 1926 году Оскар Клейн предположил [5] , что дополнительное измерение Калуцы может быть « свернуто » в чрезвычайно малый круг, как будто круговая топология скрыта в каждой точке пространства. Вместо того, чтобы быть еще одним пространственным измерением, дополнительное измерение можно было бы рассматривать как угол, который создавал гиперизмерение , вращаясь на 360°. Эта 5-мерная теория называется теорией Калуцы–Клейна .

В 1932 году Хсин П. Сох из Массачусетского технологического института , по совету Артура Эддингтона , опубликовал теорию, пытающуюся объединить гравитацию и электромагнетизм в рамках сложной 4-мерной римановой геометрии . Линейный элемент ds 2 является комплекснозначным, так что действительная часть соответствует массе и гравитации, а мнимая часть — заряду и электромагнетизму. Обычные пространственные координаты x , y , z и время t сами по себе являются действительными, а пространство-время не является комплексным, но касательные пространства могут быть таковыми. [6]

В течение нескольких десятилетий после публикации своей общей теории относительности в 1915 году Альберт Эйнштейн пытался объединить гравитацию с электромагнетизмом , чтобы создать единую теорию поля, объясняющую оба взаимодействия. В последние годы Второй мировой войны Альберт Эйнштейн начал рассматривать сложные геометрии пространства-времени различных видов. [7]

В 1953 году Вольфганг Паули обобщил [8] теорию Калуцы –Клейна на шестимерное пространство и (используя размерную редукцию ) вывел основы калибровочной теории SU(2) (применяемой в квантовой механике к электрослабому взаимодействию ), как если бы «свернутый» круг Клейна стал поверхностью бесконечно малой гиперсферы .

В 1975 году Ежи Плебански опубликовал «Некоторые решения сложных уравнений Альберта Эйнштейна». [9]

Были попытки сформулировать уравнение Дирака в комплексном пространстве-времени с помощью аналитического продолжения . [10]

Смотрите также

Ссылки

  1. ^ Траутман, А. (1962). «Обсуждение современного состояния теории относительности — Аналитические решения лоренц-инвариантных линейных уравнений». Proc. R. Soc. A. 270 ( 1342): 326–328. Bibcode :1962RSPSA.270..326T. doi :10.1098/rspa.1962.0222. S2CID  120301116.
  2. ^ Newman, ET (1973). «Уравнения Максвелла и комплексное пространство Минковского». J. Math. Phys . 14 (1). Американский институт физики: 102–103. Bibcode : 1973JMP....14..102N. doi : 10.1063/1.1666160.
  3. ^ Пенроуз, Роджер (1967), "Твисторная алгебра", Журнал математической физики , 8 (2): 345–366, Bibcode : 1967JMP.....8..345P, doi : 10.1063/1.1705200, MR  0216828, архивировано из оригинала 2013-01-12 , извлечено 2015-06-14
  4. ^ Пайс, Авраам (1982). Тонкий Господь...: Наука и жизнь Альберта Эйнштейна . Оксфорд: Oxford University Press. С. 329–330.
  5. ^ Оскар Кляйн (1926). «Квантовая теория и многомерная теория относительности». Zeitschrift für Physik A. 37 (12): 895–906. Бибкод : 1926ZPhy...37..895K. дои : 10.1007/BF01397481.
  6. ^ Soh, HP (1932). «Теория гравитации и электричества». J. Math. Phys. (MIT) . 12 (1–4): 298–305. doi :10.1002/sapm1933121298.
  7. ^ Эйнштейн, А. (1945), «Обобщение релятивистской теории гравитации», Ann. of Math. , 46 (4): 578–584, doi :10.2307/1969197, JSTOR  1969197
  8. ^ Н. Штрауманн (2000). «Об изобретении Паули неабелевой теории Калуцы–Клейна в 1953 году». arXiv : gr-qc/0012054 . Bibcode :2000gr.qc....12054S. {{cite journal}}: Цитировать журнал требует |journal=( помощь )
  9. ^ Плебанский, Дж. (1975). «Некоторые решения сложных уравнений Эйнштейна». Журнал математической физики . 16 (12): 2395–2402. Bibcode :1975JMP....16.2395P. doi : 10.1063/1.522505 . S2CID  122814301.
  10. ^ Марк Дэвидсон (2012). «Исследование уравнения Лоренца–Дирака в комплексном пространстве-времени для ключей к возникновению квантовой механики». Журнал физики: Серия конференций . 361 (1): 012005. Bibcode : 2012JPhCS.361a2005D. doi : 10.1088/1742-6596/361/1/012005 .

Дальнейшее чтение

  • Goenner, Hubert FM (2014). "Об истории единых теорий поля, часть II (ок. 1930 — ок. 1965)". Living Reviews in Relativity . 17 (5): 5. Bibcode :2014LRR....17....5G. doi : 10.12942/lrr-2014-5 . PMC  5255905 . PMID  28179849.
  • Кайзер, Джеральд (2009). «Квантовая физика, теория относительности и комплексное пространство-время: на пути к новому синтезу». arXiv : 0910.0352 [math-ph].
Взято с "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Complex_spacetime&oldid=1230345352"