Закрытая моноидальная категория

В математике , особенно в теории категорий , замкнутая моноидальная категория (или моноидально замкнутая категория ) — это категория , которая является одновременно моноидальной и замкнутой категорией таким образом, что их структуры совместимы.

Классическим примером является категория множеств Set , где моноидальное произведение множеств и является обычным декартовым произведением , а внутреннее Hom является множеством функций из в . Недекартовым примером является категория векторных пространств K -Vect над полем . Здесь моноидальное произведение является обычным тензорным произведением векторных пространств , а внутреннее Hom является векторным пространством линейных отображений из одного векторного пространства в другое.${\displaystyle А}$${\displaystyle Б}$ ${\displaystyle A\times B}$ ${\displaystyle B^{A}}$${\displaystyle А}$${\displaystyle Б}$ ${\displaystyle К}$

Внутренний язык замкнутых симметричных моноидальных категорий — линейная логика , а система типов — линейная система типов . Многие примеры замкнутых моноидальных категорий симметричны . Однако это не всегда так, поскольку несимметричные моноидальные категории могут встречаться в теоретико-категорных формулировках лингвистики ; грубо говоря, это происходит потому, что порядок слов в естественном языке имеет значение.

Замкнутая моноидальная категория — это моноидальная категория , такая что для каждого объекта функтор , заданный правым тензором с${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle Б}$${\displaystyle Б}$

${\displaystyle A\mapsto A\otimes B}$

имеет правый сопряженный , записанный

${\displaystyle A\mapsto (B\Стрелка вправо A).}$

Это означает, что существует биекция, называемая « каррированием », между множествами Hom

${\displaystyle {\text{Hom}}_{\mathcal {C}}(A\otimes B,C)\cong {\text{Hom}}_{\mathcal {C}}(A,B\Rightarrow C)}$

это естественно как в A , так и в C. В другой, но общепринятой нотации можно сказать, что функтор

${\displaystyle -\otimes B:{\mathcal {C}}\to {\mathcal {C}}}$

имеет правый сопряженный

${\displaystyle [B,-]:{\mathcal {C}}\to {\mathcal {C}}}$

Эквивалентно, замкнутая моноидальная категория — это категория, снабженная для каждых двух объектов A и B${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

• объект ,${\displaystyle A\Rightarrow B}$
• морфизм ,${\displaystyle \mathrm {eval} _{A,B}:(A\Rightarrow B)\otimes A\to B}$

удовлетворяющий следующему универсальному свойству: для любого морфизма

${\displaystyle f:X\otimes A\to B}$

существует уникальный морфизм

${\displaystyle h:X\to A\Rightarrow B}$

такой что

${\displaystyle f=\mathrm {eval} _{A,B}\circ (h\otimes \mathrm {id} _{A}).}$

Можно показать ^{[ требуется ссылка ]} , что эта конструкция определяет функтор . Этот функтор называется внутренним функтором Hom , а объект называется внутренним Hom и . Для внутреннего Hom широко используются многие другие обозначения. Когда тензорное произведение на является декартовым произведением, обычное обозначение есть и этот объект называется экспоненциальным объектом .${\displaystyle \Rightarrow :{\mathcal {C}}^{op}\times {\mathcal {C}}\to {\mathcal {C}}}$${\displaystyle A\Rightarrow B}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle B^{A}}$

Строго говоря, мы определили замкнутую справа моноидальную категорию, поскольку потребовали, чтобы правый тензор с любым объектом имел правый сопряженный. В замкнутой слева моноидальной категории мы вместо этого требуем, чтобы функтор левого тензора с любым объектом${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$

${\displaystyle B\mapsto A\otimes B}$

иметь правый сопряженный

${\displaystyle B\mapsto (B\Leftarrow A)}$

Бизамкнутая моноидальная категория — это моноидальная категория, которая замкнута как слева, так и справа.

Симметричная моноидальная категория замкнута слева тогда и только тогда, когда она замкнута справа. Таким образом, мы можем смело говорить о «симметричной моноидальной замкнутой категории», не уточняя, замкнута ли она слева или справа. Фактически, то же самое справедливо в более общем случае для сплетенных моноидальных категорий : поскольку сплетение делает естественным изоморфным , различие между тензорным умножением слева и тензорным умножением справа становится несущественным, поэтому каждая замкнутая справа сплетенная моноидальная категория становится замкнутой слева каноническим образом, и наоборот.${\displaystyle A\otimes B}$${\displaystyle B\otimes A}$

Мы описали замкнутые моноидальные категории как моноидальные категории с дополнительным свойством. Можно эквивалентно определить замкнутую моноидальную категорию как замкнутую категорию с дополнительным свойством. А именно, мы можем потребовать существования тензорного произведения , которое является левым сопряженным к внутреннему функтору Hom . В этом подходе замкнутые моноидальные категории также называются моноидальными замкнутыми категориями . ^{[ необходима цитата ]}

• Каждая декартово замкнутая категория является симметричной моноидально замкнутой категорией, когда моноидальная структура является структурой декартового произведения. Внутренний функтор Hom задается экспоненциальным объектом .${\displaystyle B^{A}}$
  • В частности, категория множеств Set является симметричной, замкнутой моноидальной категорией. Здесь внутренний Hom — это просто множество функций из в .${\displaystyle A\Rightarrow B}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$
• Категория модулей , R -Mod над коммутативным кольцом R является недекартовой, симметричной, моноидальной замкнутой категорией. Моноидальное произведение задается тензорным произведением модулей , а внутреннее Hom задается пространством R -линейных отображений с его естественной структурой R -модуля.${\displaystyle M\Rightarrow N}$ ${\displaystyle \operatorname {Hom} _{R}(M,N)}$
  • В частности, категория векторных пространств над полем является симметричной замкнутой моноидальной категорией.${\displaystyle K}$
  • Абелевы группы можно рассматривать как Z -модули, поэтому категория абелевых групп также является симметричной замкнутой моноидальной категорией.
• Симметричная компактная замкнутая категория — это симметричная моноидальная замкнутая категория, в которой внутренний функтор Hom задается как . Каноническим примером является категория конечномерных векторных пространств FdVect .${\displaystyle A\Rightarrow B}$${\displaystyle A^{*}\otimes B}$

• Категория колец является симметричной, моноидальной категорией относительно тензорного произведения колец , с выступающим в качестве единичного объекта. Эта категория не замкнута. Если бы это было так, то между любой парой колец был бы ровно один гомоморфизм: . То же самое справедливо для категории R - алгебр над коммутативным кольцом R .${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle \operatorname {Hom} (R,S)\cong \operatorname {Hom} (\mathbb {Z} \otimes R,S)\cong \operatorname {Hom} (\mathbb {Z} ,R\Rightarrow S)\cong \{\bullet \}}$

• спряжение Исбелла

• Келли, GM (1982). Основные понятия обогащенной теории категорий (PDF) . Серия заметок лекций Лондонского математического общества. Том 64. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-28702-9. OCLC  1015056596.
• Мельес, Поль-Андре (2009). «Категорическая семантика линейной логики» (PDF) . Панорамы и синтезы . 27 : 1– 197. CiteSeerX  10.1.1.62.5117 .
• Закрытая моноидальная категория в n Lab