Hom-функтор

В математике , в частности в теории категорий , hom-множества (т.е. множества морфизмов между объектами ) порождают важные функторы в категории множеств . Эти функторы называются hom-функторами и имеют многочисленные приложения в теории категорий и других разделах математики.

Пусть C — локально малая категория (т.е. категория , для которой hom-классы на самом деле являются множествами , а не собственными классами ).

Для всех объектов A и B в C мы определяем два функтора в категории множеств следующим образом:

Hom( A , –) : C → Установить	Hom(–, B ) : C → Set [1]
Это ковариантный функтор, заданный формулой: Hom( A , –) отображает каждый объект X в C в набор морфизмов, Hom( A , X ) Hom( A , –) отображает каждый морфизм f  : X → Y в функцию Hom( A , f ) : Hom( A , X ) → Hom( A , Y ) задано формулой ${\displaystyle g\mapsto f\circ g}$для каждого g в Hom( A , X ).	Это контравариантный функтор, заданный формулой: Hom(–, B ) отображает каждый объект X в C в набор морфизмов Hom( X , B ) Hom(–, B ) отображает каждый морфизм h  : X → Y в функцию Hom( h , B ) : Hom( Y , B ) → Hom( X , B ) задано формулой ${\displaystyle g\mapsto g\circ h}$для каждого g в Hom( Y , B ).

Функтор Hom(–, B ) также называется функтором точек объекта B .

Обратите внимание, что фиксация первого аргумента Hom естественным образом приводит к ковариантному функтору, а фиксация второго аргумента естественным образом приводит к контравариантному функтору. Это артефакт того способа, которым нужно составлять морфизмы.

Пара функторов Hom( A , –) и Hom(–, B ) связаны естественным образом . Для любой пары морфизмов f  : B → B ′ и h  : A ′ → A следующая диаграмма коммутирует :

Оба пути отправляют g  : A → B в f  ∘  g  ∘  h  : A ′ → B ′.

Коммутативность приведенной выше диаграммы подразумевает, что Hom(–, –) является бифунктором из C × C в Set , который контравариантен по первому аргументу и ковариантен по второму. Эквивалентно, мы можем сказать, что Hom(–, –) является бифунктором

Hom(–, –) : C ^op × C → Set

где C ^op — противоположная категория по отношению к C. Обозначение Hom _C (–, –) иногда используется для Hom(–, –), чтобы подчеркнуть категорию, образующую область.

Ссылаясь на приведенную выше коммутативную диаграмму, можно заметить, что каждый морфизм

ч  : А ′ → А

приводит к естественной трансформации

Hom( h , –) : Hom( A , –) → Hom( A ′, –)

и каждый морфизм

ф  : В → В ′

приводит к естественной трансформации

Hom(–, f ): Hom(–, B ) → Hom(–, B ′)

Из леммы Йонеды следует, что всякое естественное преобразование между функторами Hom имеет эту форму. Другими словами, функторы Hom порождают полное и точное вложение категории C в категорию функторов Set ^{C op} (ковариантное или контравариантное в зависимости от того, какой функтор Hom используется).

Некоторые категории могут обладать функтором, который ведет себя как функтор Hom, но принимает значения в самой категории C , а не в Set . Такой функтор называется внутренним функтором Hom и часто записывается как

${\displaystyle \left[-\ -\right]:C^{\text{op}}\times C\to C}$

чтобы подчеркнуть его продуктоподобную природу, или как

${\displaystyle \mathop {\Rightarrow } :C^{\text{op}}\times C\to C}$

чтобы подчеркнуть его функториальный характер, а иногда просто в нижнем регистре:

${\displaystyle \operatorname {hom} (-,-):C^{\text{op}}\times C\to C.}$Примеры см. в разделе Категория отношений .

Категории, обладающие внутренним функтором Hom, называются закрытыми категориями . Одна из них имеет то, что

${\displaystyle \operatorname {Hom} (I,\operatorname {hom} (-,-))\simeq \operatorname {Hom} (-,-)}$,

где I — единичный объект замкнутой категории. Для случая замкнутой моноидальной категории это распространяется на понятие каррирования , а именно, что

${\displaystyle \operatorname {Hom} (X,Y\Rightarrow Z)\simeq \operatorname {Hom} (X\otimes Y,Z)}$

где — бифунктор , функтор внутреннего произведения , определяющий моноидальную категорию . Изоморфизм естественен как в X, так и в Z. Другими словами, в замкнутой моноидальной категории внутренний функтор Hom является сопряженным функтором к функтору внутреннего произведения. Объект называется внутренним Hom . Когда — декартово произведение , объект называется экспоненциальным объектом и часто записывается как .${\displaystyle \otimes}$${\displaystyle Y\Rightarrow Z}$${\displaystyle \otimes}$ ${\displaystyle \times}$${\displaystyle Y\Rightarrow Z}$${\displaystyle Z^{Y}}$

Внутренние Homs, когда они соединены вместе, образуют язык, называемый внутренним языком категории. Наиболее известными из них являются просто типизированное лямбда-исчисление , которое является внутренним языком декартовых замкнутых категорий , и линейная система типов , которая является внутренним языком замкнутых симметричных моноидальных категорий .

Обратите внимание, что функтор вида

Hom(–, A ) : C ^op → Установить

является предпучком ; аналогично, Hom( A , –) является копручком.

Функтор F  : C → Set , который естественно изоморфен Hom( A , –) для некоторого A из C , называется представимым функтором (или представимым копредпучком); аналогично, контравариантный функтор, эквивалентный Hom(–, A ), можно назвать корепредставимым.

Обратите внимание, что Hom(–, –) : C ^op × C → Set является профунктором , и, в частности, это тождественный профунктор .${\displaystyle \operatorname {id} _{C}\colon C\nrightarrow C}$

Внутренний функтор hom сохраняет пределы ; то есть, отправляет пределы в пределы, в то время как пределы в , то есть копределы в , в пределы. В определенном смысле это можно рассматривать как определение предела или копредела.${\displaystyle \operatorname {hom} (X,-)\двоеточие C\to C}$${\displaystyle \operatorname {hom} (-,X)\colon C^{\text{op}}\to C}$${\displaystyle C^{\text{op}}}$${\displaystyle С}$

Эндофунктору Hom( E , –) : Set → Set можно придать структуру монады ; эта монада называется монадой окружения (или читателя) .

Если A — абелева категория и A — объект A , то Hom _A ( A , –) — ковариантный левоточный функтор из A в категорию Ab абелевых групп . Он точен тогда и только тогда, когда A проективен . ^[2]

Пусть R — кольцо , а M — левый R - модуль . Функтор Hom _R ( M , –): Mod - R → Ab ^{[ необходимо разъяснение ]} сопряжен к функтору тензорного произведения – _R M : Ab → Mod - R .${\displaystyle \otimes}$

• Ext-функтор
• Категория функторов
• Представимый функтор

• Hom функтор в n Lab
• Внутренний дом в n Lab