Закрытая категория

В теории категорий , разделе математики , замкнутая категория — это особый вид категории .

В локально малом внешний hom ( x , y ) отображает пару объектов в набор морфизмов . Так что в категории множеств это объект самой категории. В том же духе, в закрытой категории (объект) морфизмов от одного объекта к другому можно рассматривать как лежащий внутри категории. Это внутренний hom [ x , y ].

Каждая замкнутая категория имеет забывающий функтор для категории множеств, который, в частности, переводит внутренний hom во внешний hom.

Закрытую категорию можно определить как категорию с так называемым внутренним функтором Hom${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

${\displaystyle \left[-\ -\right]:{\mathcal {C}}^{op}\times {\mathcal {C}}\to {\mathcal {C}}}$

с левыми стрелками Йонеды

${\displaystyle L:\left[B\ C\right]\to \left[\left[A\ B\right]\left[A\ C\right]\right]}$

естественный в и и динатуральный в , и фиксированный объект с естественным изоморфизмом${\displaystyle Б}$${\displaystyle С}$${\displaystyle А}$${\displaystyle Я}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

${\displaystyle i_{A}:A\cong \left[I\ A\right]}$

и неестественная трансформация

${\displaystyle j_{A}:I\to \left[A\ A\right]}$,

все они удовлетворяют определенным условиям согласованности.

• Декартовы замкнутые категории — это замкнутые категории. В частности, любой топос замкнут. Каноническим примером является категория множеств.
• Компактные замкнутые категории — это замкнутые категории. Каноническим примером является категория FdVect с конечномерными векторными пространствами в качестве объектов и линейными отображениями в качестве морфизмов.
• В более общем смысле, любая моноидальная замкнутая категория является замкнутой категорией. В этом случае объектом является моноидальная единица .${\displaystyle Я}$

• Эйленберг, С.; Келли , ГМ (2012) [1966]. «Закрытые категории». Труды конференции по категорной алгебре. (Ла-Хойя, 1965. Springer. стр.  421–562 . doi :10.1007/978-3-642-99902-4_22. ISBN 978-3-642-99902-4.
• Закрытая категория в n Lab