Классификация алгебр Клиффорда

This article includes a list of references, related reading, or external links, but its sources remain unclear because it lacks inline citations. Please help improve this article by introducing more precise citations. (March 2022) (Learn how and when to remove this message)

В абстрактной алгебре , в частности в теории невырожденных квадратичных форм на векторных пространствах , конечномерные действительные и комплексные алгебры Клиффорда для невырожденной квадратичной формы были полностью классифицированы как кольца . В каждом случае алгебра Клиффорда является алгеброй, изоморфной полному кольцу матриц над R , C или H ( кватернионы ), или прямой сумме двух копий такой алгебры, хотя и не каноническим образом. Ниже показано, что различные алгебры Клиффорда могут быть алгебра-изоморфными , как в случае Cl _1,1 ( R ) и Cl _2,0 ( R ), которые обе изоморфны как кольца кольцу матриц два на два над действительными числами.

Произведение Клиффорда является явным кольцевым произведением для алгебры Клиффорда, и все гомоморфизмы алгебр в этой статье относятся к этому кольцевому произведению. Другие произведения, определенные в алгебрах Клиффорда, такие как внешнее произведение , и другие структуры, такие как выделенное подпространство генераторов V , здесь не используются. В этой статье используется соглашение о знаке (+) для умножения Клиффорда, так что для всех векторов v в векторном пространстве генераторов V , где Q — квадратичная форма на векторном пространстве V . Мы будем обозначать алгебру матриц n × n с элементами в алгебре деления K через M _n ( K ) или End( K ⁿ ). Прямая сумма двух таких идентичных алгебр будет обозначаться как M _n ( K ) ⊕ M _n ( K ) , что изоморфно M _n ( K ⊕ K ) .$${\displaystyle v^{2}=Q(v)1}$$

Алгебры Клиффорда демонстрируют 2-кратную периодичность по комплексным числам и 8-кратную периодичность по действительным числам, которая связана с теми же периодичностями для гомотопических групп стабильной унитарной группы и стабильной ортогональной группы и называется периодичностью Ботта . Связь объясняется геометрической моделью пространств петель, приближающихся к периодичности Ботта: их 2-кратные/8-кратные периодические вложения классических групп друг в друга (соответствующие группам изоморфизма алгебр Клиффорда), и их последовательные факторы являются симметричными пространствами , которые гомотопически эквивалентны пространствам петель унитарной/ортогональной группы.

Комплексный случай особенно прост: каждая невырожденная квадратичная форма на комплексном векторном пространстве эквивалентна стандартной диагональной форме

${\displaystyle Q(u)=u_{1}^{2}+u_{2}^{2}+\cdots +u_{n}^{2},}$

где n = dim( V ) , так что по сути существует только одна алгебра Клиффорда для каждого измерения. Это происходит потому, что комплексные числа включают i , по которому − u _k ² = +( iu _k ) ² , и поэтому положительные или отрицательные члены эквивалентны. Мы будем обозначать алгебру Клиффорда на C ⁿ со стандартной квадратичной формой как Cl _n ( C ).

Необходимо рассмотреть два отдельных случая, в зависимости от того, является ли n четным или нечетным. Когда n четное, алгебра Cl _n ( C ) является центрально простой и, следовательно, по теореме Артина–Веддерберна изоморфна матричной алгебре над C .

Когда n нечетно, центр включает не только скаляры, но и псевдоскаляры (элементы степени n ). Мы всегда можем найти нормализованный псевдоскаляр ω такой, что ω ² = 1 . Определим операторы

${\displaystyle P_{\pm }={\frac {1}{2}}(1\pm \omega ).}$

Эти два оператора образуют полный набор ортогональных идемпотентов , и поскольку они являются центральными, они дают разложение Cl _n ( C ) в прямую сумму двух алгебр

${\displaystyle \mathrm {Cl} _{n}(\mathbf {C} )=\mathrm {Cl} _{n}^{+}(\mathbf {C} )\oplus \mathrm {Cl} _{n}^{-}(\mathbf {C} ),}$

где

${\displaystyle \mathrm {Cl} _{n}^{\pm }(\mathbf {C} )=P_{\pm }\mathrm {Cl} _{n}(\mathbf {C} ).}$

Алгебры Cl _n ^± ( C ) являются просто положительными и отрицательными собственными пространствами ω , а P _± являются просто проекционными операторами. Поскольку ω нечетно, эти алгебры смешиваются α (линейным отображением на V, определяемым v ↦ − v ):

${\displaystyle \alpha \left(\mathrm {Cl} _{n}^{\pm }(\mathbf {C} )\right)=\mathrm {Cl} _{n}^{\mp }(\mathbf {C} ),}$

и, следовательно, изоморфны (так как α является автоморфизмом ). Эти две изоморфные алгебры каждая центрально просты и, таким образом, снова изоморфны матричной алгебре над C. Размеры матриц можно определить из того факта, что размерность Cl _n ( C ) равна 2 ⁿ . Тогда мы имеем следующую таблицу:

Четная подалгебра Cl^[0]
_н( C ) из Cl _n ( C ) (неканонически) изоморфна Cl _{n −1} ( C ). Когда n четно, четную подалгебру можно отождествить с блочно-диагональными матрицами (при разбиении на блочные матрицы 2 × 2 ). Когда n нечетно, четная подалгебра состоит из тех элементов End( C ^N ) ⊕ End( C ^N ), для которых две части идентичны. Выбор любой из частей тогда дает изоморфизм с Cl _n ^[0] ( C ) ≅ End( C ^N ) .

Классификация позволяет определить спиноры Дирака и спиноры Вейля в четном измерении. ^[1]

В четной размерности n алгебра Клиффорда Cl _n ( C ) изоморфна End( C ^N ), которая имеет свое фундаментальное представление на Δ _n  := C ^N . Комплексный спинор Дирака является элементом Δ _n . Термин комплексный означает, что это элемент пространства представления комплексной алгебры Клиффорда, а не то, что это элемент комплексного векторного пространства.

Четная подалгебра Cl _n ⁰ ( C ) изоморфна End( C ^{N /2} ) ⊕ End( C ^{N /2} ) и, следовательно, разлагается в прямую сумму двух неприводимых пространств представления Δ⁺
_н⊕ Δ⁻
_н, каждый из которых изоморфен C ^{N /2} . Левосторонний (соответственно правосторонний) комплексный спинор Вейля является элементом Δ⁺
_н(соответственно, Δ⁻
_н).

Структурную теорему легко доказать индуктивно. Для базовых случаев Cl ₀ ( C ) — это просто C ≅ End( C ) , тогда как Cl ₁ ( C ) задается алгеброй C ⊕ C ≅ End( C ) ⊕ End( C ) путем определения единственной гамма-матрицы как γ ₁ = (1, −1) .

Нам также понадобится Cl ₂ ( C ) ≅ End( C ² ) . Матрицы Паули можно использовать для генерации алгебры Клиффорда, установив γ ₁ = σ ₁ , γ ₂ = σ ₂ . Оболочка сгенерированной алгебры равна End( C ² ).

Доказательство завершается построением изоморфизма Cl _{n +2} ( C ) ≅ Cl _n ( C ) ⊗ Cl ₂ ( C ) . Пусть γ _a порождает Cl _n ( C ) и порождает Cl ₂ ( C ). Пусть ω = i — элемент хиральности, удовлетворяющий ω ² = 1 и ω + ω = 0 . Их можно использовать для построения гамма-матриц для Cl _{n +2} ( C ), установив Γ _a = γ _a ⊗ ω для 1 ≤ a ≤ n и Γ _a = 1 ⊗ для a = n + 1, n + 2 . Можно показать, что они удовлетворяют требуемой алгебре Клиффорда, и по универсальному свойству алгебр Клиффорда существует изоморфизм Cl _n ( C ) ⊗ Cl ₂ ( C ) → Cl _{n +2} ( C ) .${\displaystyle {\tilde {\gamma }}_{a}}$${\displaystyle {\tilde {\gamma }}_{1}{\tilde {\gamma }}_{2}}$${\displaystyle {\tilde {\gamma }}_{a}}$${\displaystyle {\tilde {\gamma }}_{a}}$${\displaystyle {\tilde {\gamma }}_{a-n}}$

Наконец, в четном случае это означает по индукционной гипотезе Cl _{n +2} ( C ) ≅ End( C ^N ) ⊗ End( C ² ) ≅ End( C ^{N +1} ) . Нечетный случай следует аналогично, поскольку тензорное произведение распределяется по прямым суммам.

Действительный случай значительно сложнее, он демонстрирует периодичность 8, а не 2, и существует 2-параметрическое семейство алгебр Клиффорда.

Во-первых, существуют неизоморфные квадратичные формы заданной степени, классифицированные по сигнатуре.

Каждая невырожденная квадратичная форма на действительном векторном пространстве эквивалентна изотропной квадратичной форме :

${\displaystyle Q(u)=u_{1}^{2}+\cdots +u_{p}^{2}-u_{p+1}^{2}-\cdots -u_{p+q}^{2}}$

где n = p + q — размерность векторного пространства. Пара целых чисел ( p , q ) называется сигнатурой квадратичной формы. Действительное векторное пространство с этой квадратичной формой часто обозначается R ^{p , q} . Алгебра Клиффорда на R ^{p , q} обозначается Cl _{p , q} ( R ).

Стандартный ортонормированный базис { ei } для R ^{p , q} состоит из n = p + q взаимно _{ортогональных} векторов, p из которых имеют норму +1, а q — норму −1.

Учитывая стандартный базис { ei } _, определенный в предыдущем подразделе, единичный псевдоскаляр в Cl _{p , q} ( R ) определяется как

${\displaystyle \omega =e_{1}e_{2}\cdots e_{n}.}$

Это и элемент Коксетера своего рода (произведение отражений), и самый длинный элемент группы Коксетера в порядке Брюа ; это аналогия. Он соответствует и обобщает форму объема (во внешней алгебре ; для тривиальной квадратичной формы единичный псевдоскаляр является формой объема), и поднимает отражение через начало координат (имея в виду, что изображение единичного псевдоскаляра является отражением через начало координат в ортогональной группе ).

Чтобы вычислить квадрат ω ² = ( e ₁ e ₂ ⋅⋅⋅ e _n )( e ₁ e ₂ ⋅⋅⋅ e _n ) , можно либо поменять порядок второй группы на обратный, получив sgn( σ ) e ₁ e ₂ ⋅⋅⋅ e _n e _n ⋅⋅⋅ e ₂ e ₁ , либо применить идеальную перетасовку , получив sgn( σ ) e ₁ e ₁ e ₂ e ₂ ⋅⋅⋅ e _n e _n . Оба они имеют знак (−1) ^{⌊ n /2⌋} = (−1) ^{n ( n −1)/2} , который является 4-периодическим ( доказательство ), и в сочетании с e _i e _i = ±1 это показывает, что квадрат ω задается выражением

${\displaystyle \omega ^{2}=(-1)^{\frac {n(n-1)}{2}}(-1)^{q}=(-1)^{\frac {(p-q)(p-q-1)}{2}}={\begin{cases}+1&p-q\equiv 0,1\mod {4}\\-1&p-q\equiv 2,3\mod {4}.\end{cases}}}$

Обратите внимание, что, в отличие от комплексного случая, в общем случае невозможно найти псевдоскаляр, квадрат которого равен +1.

Если n (эквивалентно, p − q ) четно, алгебра Cl _{p , q} ( R ) является центрально простой и, следовательно, изоморфна матричной алгебре над R или H по теореме Артина–Веддерберна .

Если n (эквивалентно, p − q ) нечетно, то алгебра больше не является центрально простой, а имеет центр, который включает псевдоскаляры, а также скаляры. Если n нечетно и ω ² = +1 (эквивалентно, если p − q ≡ 1 (mod 4) ), то, как и в комплексном случае, алгебра Cl _{p , q} ( R ) разлагается в прямую сумму изоморфных алгебр

${\displaystyle \operatorname {Cl} _{p,q}(\mathbf {R} )=\operatorname {Cl} _{p,q}^{+}(\mathbf {R} )\oplus \operatorname {Cl} _{p,q}^{-}(\mathbf {R} ),}$

каждая из которых является центрально простой и, таким образом , изоморфна матричной алгебре над R или H.

Если n нечетно и ω ² = −1 (эквивалентно, если p − q ≡ −1 (mod 4) ), то центр Cl _{p , q} ( R ) изоморфен C и может рассматриваться как комплексная алгебра. Как комплексная алгебра, она является центрально простой и, таким образом, изоморфна матричной алгебре над C .

Всего существует три свойства, которые определяют класс алгебры Cl _{p , q} ( R ):

• сигнатура mod 2: n четное/нечетное: центральное простое или нет
• сигнатура mod 4: ω ² = ±1 : если не центральный простой, то центр — R ⊕ R или C
• сигнатура mod 8: класс Брауэра алгебры ( n четное) или четной подалгебры ( n нечетное) равен R или H

Каждое из этих свойств зависит только от сигнатуры p − q по модулю 8. Полная таблица классификации приведена ниже. Размер матриц определяется требованием, чтобы Cl _{p , q} ( R ) имели размерность 2 ^{p + q} .

Можно заметить, что из всех упомянутых типов колец матриц есть только один тип, общий для комплексных и действительных алгебр: тип M _{2 ^m} ( C ). Например, Cl ₂ ( C ) и Cl _3,0 ( R ) оба определяются как M ₂ ( C ). Важно отметить, что существует разница в используемых классифицирующих изоморфизмах. Поскольку Cl ₂ ( C ) является алгеброй, изоморфной посредством C -линейного отображения (которое обязательно является R -линейным), а Cl _3,0 ( R ) является алгеброй, изоморфной посредством R -линейного отображения, Cl ₂ ( C ) и Cl _3,0 ( R ) являются R -алгебрами, изоморфными.

Ниже приведена таблица этой классификации для p + q ≤ 8. Здесь p + q располагается вертикально, а p − q располагается горизонтально (например, алгебра Cl _1,3 ( R ) ≅ M ₂ ( H ) находится в строке 4, столбце −2).

В приведенной выше таблице представлена ​​запутанная сеть симметрий и взаимосвязей.

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Cl} _{p+1,q+1}(\mathbf {R} )&=\mathrm {M} _{2}(\operatorname {Cl} _{p,q}(\mathbf {R} ))\\\operatorname {Cl} _{p+4,q}(\mathbf {R} )&=\operatorname {Cl} _{p,q+4}(\mathbf {R} )\end{aligned}}}$

Переход к 4 позициям в любой строке даёт идентичную алгебру.

Из этих периодов Ботта следует:

${\displaystyle \operatorname {Cl} _{p+8,q}(\mathbf {R} )=\operatorname {Cl} _{p+4,q+4}(\mathbf {R} )=M_{2^{4}}(\operatorname {Cl} _{p,q}(\mathbf {R} )).}$

Если сигнатура удовлетворяет p − q ≡ 1 (mod 4), то

${\displaystyle \operatorname {Cl} _{p+k,q}(\mathbf {R} )=\operatorname {Cl} _{p,q+k}(\mathbf {R} ).}$

(Таблица симметрична относительно столбцов с подписями ..., −7, −3, 1, 5, ...)

Таким образом, если сигнатура удовлетворяет p − q ≡ 1 (mod 4) ,

${\displaystyle \operatorname {Cl} _{p+k,q}(\mathbf {R} )=\operatorname {Cl} _{p,q+k}(\mathbf {R} )=\operatorname {Cl} _{p-k+k,q+k}(\mathbf {R} )=\mathrm {M} _{2^{k}}(\operatorname {Cl} _{p-k,q}(\mathbf {R} ))=\mathrm {M} _{2^{k}}(\operatorname {Cl} _{p,q-k}(\mathbf {R} )).}$

• Алгебра Дирака Cl _1,3 ( C )
• Алгебра Паули Cl _3,0 ( R )
• Алгебра пространства-времени Cl _1,3 ( R )
• модуль Клиффорда
• Спиновое представление

• Будинич, Паоло; Траутман, Анджей (1988). Спинориальная шахматная доска . Спрингер Верлаг. ISBN 978-3-540-19078-3.
• Лоусон, Х. Блейн; Михельсон, Мари-Луиз (2016). Геометрия спина. Princeton Mathematical Series. Том 38. Princeton University Press. ISBN 978-1-4008-8391-2.
• Porteous, Ian R. (1995). Алгебры Клиффорда и классические группы . Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Том 50. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-55177-9.