Каузальные фермионные системы

Эта статья чрезмерно опирается на ссылки на первичные источники . Пожалуйста, улучшите эту статью, добавив вторичные или третичные источники . Найти источники:  "Causal fermion systems" – новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR ( январь 2021 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить это сообщение )

За пределами стандартной модели
Данные смоделированного детектора частиц CMS Большого адронного коллайдера , демонстрирующие бозон Хиггса, образованный при столкновении протонов, распадающихся на адронные струи и электроны
Стандартная модель
Доказательство Проблема иерархии Темная материя Темная энергия Квинтэссенция Фантомная энергия Темное излучение Темный фотон Проблема космологической постоянной Сильная проблема CP Осцилляция нейтрино
Теории Теория Бранса–Дикке Гипотеза космической цензуры Пятая сила F-теория Теория всего Единая теория поля Теория великого объединения Техниколор Теория Калуцы–Клейна 6D (2,0) суперконформная теория поля Некоммутативная квантовая теория поля Квантовая космология Космология браны Теория струн Теория суперструн М-теория Гипотеза математической вселенной Зеркальная материя Модель Рэндалла–Сундрума N = 4 суперсимметричная теория Янга–Миллса Теория струн твистора Темная жидкость Двойная специальная теория относительности де Ситтер-инвариант специальной теории относительности Каузальные фермионные системы Термодинамика черной дыры Нечастичная физика Гравифотон Гравискалярный Гравитон Гравитино Огромная гравитация Калибровочная теория гравитации Калибровочная теория гравитации CPT-симметрия
Суперсимметрия МССМ НМССМ Теория суперструн М-теория Супергравитация Нарушение суперсимметрии Дополнительные размеры Большие дополнительные размеры
Квантовая гравитация Ложный вакуум Теория струн Спин-пена Квантовая пена Квантовая геометрия Петлевая квантовая гравитация Квантовая космология Петлевая квантовая космология Причинно-следственная динамическая триангуляция Каузальные фермионные системы Причинно-следственные множества Каноническая квантовая гравитация Полуклассическая гравитация Теория сверхтекучего вакуума
Эксперименты ЭННИ Гран Сассо ИНО БАК СНО Супер-К Теватрон Новая звезда
в т е

Теория причинных фермионных систем представляет собой подход к описанию фундаментальной физики . Она обеспечивает объединение слабых , сильных и электромагнитных сил с гравитацией на уровне классической теории поля . ^{[1] [2]} Более того, она дает квантовую механику как предельный случай и выявила тесные связи с квантовой теорией поля . ^{[3] [4]} Поэтому она является кандидатом на единую физическую теорию. Вместо того, чтобы вводить физические объекты в уже существующее пространственно-временное многообразие , общая концепция заключается в том, чтобы вывести пространство-время, а также все объекты в нем как вторичные объекты из структур базовой причинной фермионной системы. Эта концепция также позволяет обобщить понятия дифференциальной геометрии на негладкую установку. ^{[5] [6]} В частности, можно описать ситуации, когда пространство-время больше не имеет многообразной структуры в микроскопическом масштабе (например, решетку пространства-времени или другие дискретные или непрерывные структуры в масштабе Планка ). В результате теория причинных фермионных систем представляет собой предложение для квантовой геометрии и подход к квантовой гравитации .

Причинные фермионные системы были введены Феликсом Финстером и его коллегами.

Физической отправной точкой является тот факт, что уравнение Дирака в пространстве Минковского имеет решения с отрицательной энергией, которые обычно ассоциируются с морем Дирака . Серьёзно принимая концепцию о том, что состояния моря Дирака образуют неотъемлемую часть физической системы, можно обнаружить, что многие структуры (такие как каузальные и метрические структуры, а также бозонные поля) могут быть восстановлены из волновых функций состояний моря. Это приводит к идее, что волновые функции всех занятых состояний (включая состояния моря) следует рассматривать как основные физические объекты, и что все структуры в пространстве-времени возникают в результате коллективного взаимодействия состояний моря друг с другом и с дополнительными частицами и «дырками» в море. Математическая реализация этой картины приводит к структуре каузальных фермионных систем.

Точнее, соответствие между вышеприведенной физической ситуацией и математической структурой получается следующим образом. Все занятые состояния охватывают гильбертово пространство волновых функций в пространстве Минковского . Наблюдаемая информация о распределении волновых функций в пространстве-времени закодирована в локальных корреляционных операторах , которые в ортонормированном базисе имеют матричное представление${\displaystyle {\hat {M}}}$ ${\displaystyle F(x),x\in {\hat {M}},}$ ${\displaystyle (\psi _{i})}$

${\displaystyle {\big (}F(x){\big )}_{j}^{i}=-{\overline {\psi _{i}(x)}}\psi _{j}(x)}$

(где — сопряженный спинор ). Для того чтобы превратить волновые функции в основные физические объекты, множество рассматривается как множество линейных операторов в абстрактном гильбертовом пространстве. Все структуры пространства Минковского игнорируются, за исключением меры объема , которая преобразуется в соответствующую меру на линейных операторах ( «универсальная мера» ). Результирующие структуры, а именно гильбертово пространство вместе с мерой на линейных операторах на нем, являются основными ингредиентами каузальной фермионной системы.${\displaystyle {\overline {\psi }}}$${\displaystyle \{F(x)\,|\,x\in {\hat {M}}\}}$${\displaystyle d^{4}x}$

Вышеуказанная конструкция может быть также выполнена в более общих пространствах-временах . Более того, принимая абстрактное определение в качестве отправной точки, каузальные фермионные системы допускают описание обобщенных «квантовых пространств-времен». Физическая картина такова, что одна каузальная фермионная система описывает пространство-время вместе со всеми структурами и объектами в нем (такими как каузальные и метрические структуры, волновые функции и квантовые поля). Чтобы выделить физически допустимые каузальные фермионные системы, необходимо сформулировать физические уравнения. По аналогии с лагранжевой формулировкой классической теории поля , физические уравнения для каузальных фермионных систем формулируются с помощью вариационного принципа, так называемого принципа каузального действия . Поскольку мы работаем с различными базовыми объектами, принцип каузального действия имеет новую математическую структуру, в которой мы минимизируем положительное действие при вариациях универсальной меры. Связь с обычными физическими уравнениями достигается в определенном предельном случае ( континуальный предел ), в котором взаимодействие можно эффективно описать калибровочными полями, связанными с частицами и античастицами , тогда как море Дирака больше не очевидно.

В этом разделе вводится математическая основа причинных фермионных систем.

Причинная фермионная система спиновой размерности представляет собой тройку , где${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$${\displaystyle ({\mathcal {H}},{\mathcal {F}},\rho )}$

• ${\displaystyle ({\mathcal {H}},\langle .|.\rangle _{\mathcal {H}})}$является комплексным гильбертовым пространством .
• ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$— это множество всех самосопряженных линейных операторов конечного ранга , на которых (с учетом кратностей ) имеются не более положительных и не более отрицательных собственных значений.${\displaystyle {\mathcal {H}}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$
• ${\displaystyle \rho }$является мерой по .${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

Мера называется универсальной мерой .${\displaystyle \rho }$

Как будет показано ниже, это определение достаточно богато, чтобы кодировать аналоги математических структур, необходимых для формулирования физических теорий. В частности, каузальная фермионная система порождает пространство-время вместе с дополнительными структурами, которые обобщают такие объекты, как спиноры , метрика и кривизна . Более того, оно включает квантовые объекты, такие как волновые функции и фермионное состояние Фока . ^[7]

Вдохновленная формулировкой Лагранжа классической теории поля, динамика причинной фермионной системы описывается вариационным принципом, определяемым следующим образом.

При наличии гильбертова пространства и размерности спина множество определяется как указано выше. Тогда для любого произведение является оператором ранга не более . Он не обязательно является самосопряженным, поскольку в общем случае . Обозначим нетривиальные собственные значения оператора (с учетом алгебраических кратностей ) как${\displaystyle ({\mathcal {H}},\langle .|.\rangle _{\mathcal {H}})}$${\displaystyle n}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle x,y\in {\mathcal {F}}}$${\displaystyle xy}$${\displaystyle 2n}$${\displaystyle (xy)^{*}=yx\neq xy}$${\displaystyle xy}$

${\displaystyle \lambda _{1}^{xy},\ldots ,\lambda _{2n}^{xy}\in {\mathbb {C} }.}$

Более того, спектральный вес определяется как${\displaystyle |.|}$

${\displaystyle |xy|=\sum _{i=1}^{2n}|\lambda _{i}^{xy}|\quad {\text{and}}\quad {\big |}(xy)^{2}{\big |}=\sum _{i=1}^{2n}|\lambda _{i}^{xy}|^{2}{\,}.}$

Лагранжиан вводится как

${\displaystyle {\mathcal {L}}(x,y)={\big |}(xy)^{2}{\big |}-{\frac {1}{2n}}{\,}|xy|^{2}={\frac {1}{4n}}\sum _{i,j=1}^{2n}{\big (}|\lambda _{i}^{xy}|-|\lambda _{j}^{xy}|{\big )}^{2}\geq 0{\,}.}$

Причинно-следственное действие определяется как

${\displaystyle {\mathcal {S}}=\iint _{{\mathcal {F}}\times {\mathcal {F}}}{\mathcal {L}}(x,y){\,}d\rho (x){\,}d\rho (y){\,}.}$

Принцип причинно-следственной связи заключается в минимизации вариаций в пределах класса (положительных) мер Бореля при следующих ограничениях:${\displaystyle {\mathcal {S}}}$${\displaystyle \rho }$

• Ограничение ограниченности: для некоторой положительной константы .${\displaystyle \iint _{{\mathcal {F}}\times {\mathcal {F}}}|xy|^{2}{\,}d\rho (x){\,}d\rho (y)\leq C}$${\displaystyle C}$
• Ограничение трассировки: сохраняется фиксированным.${\displaystyle \;\;\;\int _{\mathcal {F}}{\text{tr}}(x){\,}d\rho (x)}$
• Общий объем сохранен.${\displaystyle \rho ({\mathcal {F}})}$

Здесь рассматривается топология, индуцированная -нормой на ограниченных линейных операторах на .${\displaystyle {\mathcal {F}}\subset {\mathrm {L} }({\mathcal {H}})}$${\displaystyle \sup }$${\displaystyle {\mathcal {H}}}$

Ограничения предотвращают тривиальные минимизаторы и гарантируют существование при условии, что является конечномерным. ^[8] Этот вариационный принцип также имеет смысл в случае, когда общий объем бесконечен, если рассматривать вариации ограниченной вариации с .${\displaystyle {\mathcal {H}}}$${\displaystyle \rho ({\mathcal {F}})}$${\displaystyle \delta \rho }$${\displaystyle (\delta \rho )({\mathcal {F}})=0}$

В современных физических теориях слово пространство-время относится к лоренцеву многообразию . Это означает, что пространство-время представляет собой набор точек, обогащенных топологическими и геометрическими структурами. В контексте каузальных фермионных систем пространство-время не обязательно должно иметь многообразную структуру. Вместо этого пространство-время представляет собой набор операторов в гильбертовом пространстве (подмножестве ). Это подразумевает дополнительные присущие структуры, которые соответствуют и обобщают обычные объекты на многообразии пространства-времени.${\displaystyle (M,g)}$${\displaystyle M}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

Для каузальной фермионной системы мы определяем пространство-время как носитель универсальной меры,${\displaystyle ({\mathcal {H}},{\mathcal {F}},\rho )}$ ${\displaystyle M}$

${\displaystyle M:={\text{supp}}\,\rho \subset {\mathcal {F}}.}$

С топологией , индуцированной , пространство-время является топологическим пространством .${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle M}$

Для мы обозначаем нетривиальные собственные значения оператора (с учетом алгебраических кратностей ) через . Точки и определяются как пространственноподобно разделенные, если все имеют одинаковое абсолютное значение. Они являются времениподобно разделенными, если не все имеют одинаковое абсолютное значение и все являются действительными. Во всех остальных случаях точки и являются светоподобно разделенными.${\displaystyle x,y\in M}$${\displaystyle xy}$${\displaystyle \lambda _{1}^{xy},\ldots ,\lambda _{2n}^{xy}\in {\mathbb {C} }}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle \lambda _{j}^{xy}}$${\displaystyle \lambda _{j}^{xy}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$

Это понятие причинности согласуется с «причинностью» вышеприведенного причинного действия в том смысле, что если две точки пространства-времени пространственно-подобно разделены, то лагранжиан исчезает. Это соответствует физическому понятию причинности , что пространственно разделенные точки пространства-времени не взаимодействуют. Эта причинная структура является причиной понятия «причинный» в причинной фермионной системе и причинном действии.${\displaystyle x,y\in M}$${\displaystyle {\mathcal {L}}(x,y)}$

Пусть обозначает ортогональную проекцию на подпространство . Тогда знак функционала${\displaystyle \pi _{x}}$${\displaystyle S_{x}:=x({\mathcal {H}})\subset {\mathcal {H}}}$

${\displaystyle i{\text{Tr}}{\big (}x\,y\,\pi _{x}\,\pi _{y}-y\,x\,\pi _{y}\,\pi _{x})}$

отличает будущее от прошлого . В отличие от структуры частично упорядоченного множества , отношение «лежит в будущем» в общем случае не транзитивно. Но оно транзитивно в макроскопическом масштабе в типичных примерах. ^{[5] [6]}

Для каждого спиновое пространство определяется как ; это подпространство размерности не более . Спиновое скалярное произведение определяется как${\displaystyle x\in M}$${\displaystyle S_{x}=x({\mathcal {H}})}$${\displaystyle {\mathcal {H}}}$${\displaystyle 2n}$ ${\displaystyle {\prec }\cdot |\cdot {\succ }_{x}}$

${\displaystyle {\prec }u|v{\succ }_{x}=-{\langle }u|xv{\rangle }_{\mathcal {H}}\qquad {\text{for all }}u,v\in S_{x}}$

является неопределенным внутренним произведением подписи с .${\displaystyle S_{x}}$ ${\displaystyle (p,q)}$${\displaystyle p,q\leq n}$

Волновая функция — это отображение${\displaystyle \psi }$

${\displaystyle \psi {\,}:{\,}M\rightarrow {\mathcal {H}}\qquad {\text{with}}\qquad \psi (x)\in S_{x}\quad {\text{for all }}x\in M{\,}.}$

О волновых функциях, для которых норма определяется как${\displaystyle {|\!|\!|}\cdot {|\!|\!|}}$

${\displaystyle {|\!|\!|}\psi {|\!|\!|}^{2}=\int _{M}\left\langle \psi (x){\bigg |}\,|x|\,\psi (x)\right\rangle _{\mathcal {H}}{\,}d\rho (x)}$

конечен (где — абсолютное значение симметричного оператора ), можно определить скалярное произведение${\displaystyle |x|={\sqrt {x^{2}}}}$${\displaystyle x}$

${\displaystyle {\mathopen {<}}\psi |\phi {\mathclose {>}}=\int _{M}{\prec }\psi (x)|\phi (x){\succ }_{x}{\,}d\rho (x){\,}.}$

Вместе с топологией, индуцированной нормой , получается пространство Крейна .${\displaystyle {|\!|\!|}\cdot {|\!|\!|}}$ ${\displaystyle ({\mathcal {K}},{\mathopen {<}}\cdot |\cdot {\mathclose {>}})}$

Любому вектору мы можем сопоставить волновую функцию${\displaystyle u\in {\mathcal {H}}}$

${\displaystyle \psi ^{u}(x):=\pi _{x}u}$

(где снова ортогональная проекция на спиновое пространство). Это приводит к выделенному семейству волновых функций, называемых волновыми функциями занятых состояний .${\displaystyle \pi _{x}:{\mathcal {H}}\rightarrow S_{x}}$

Ядро фермионного проектора определяется как${\displaystyle P(x,y)}$

${\displaystyle P(x,y)=\pi _{x}\,y|_{S_{y}}{\,}:{\,}S_{y}\rightarrow S_{x}}$

(где снова ортогональная проекция на спиновое пространство, а обозначает ограничение на ). Фермионный проектор — это оператор${\displaystyle \pi _{x}:{\mathcal {H}}\rightarrow S_{x}}$${\displaystyle |_{S_{y}}}$${\displaystyle S_{y}}$ ${\displaystyle P}$

${\displaystyle P{\,}:{\,}{\mathcal {K}}\rightarrow {\mathcal {K}}{\,},\qquad (P\psi )(x)=\int _{M}P(x,y)\,\psi (y)\,d\rho (y){\,},}$

которая имеет плотную область определения, заданную всеми векторами, удовлетворяющими условиям${\displaystyle \psi \in {\mathcal {K}}}$

${\displaystyle \phi :=\int _{M}x\,\psi (x)\,d\rho (x){\,}\in {\,}{\mathcal {H}}\quad {\text{and}}\quad {|\!|\!|}\phi {|\!|\!|}<\infty {\,}.}$

Вследствие принципа причинно-следственной связи ядро ​​фермионного проектора обладает дополнительными свойствами нормализации ^[9], которые оправдывают название «проектор» .

Будучи оператором из одного спинового пространства в другое, ядро ​​фермионного проектора задает соотношения между различными точками пространства-времени. Этот факт можно использовать для введения спиновой связи

${\displaystyle D_{x,y}\,:\,S_{y}\rightarrow S_{x}\quad {\text{unitary}}\,.}$

Основная идея заключается в том, чтобы взять полярное разложение . Конструкция становится более сложной из-за того, что спиновая связь должна индуцировать соответствующую метрическую связь${\displaystyle P(x,y)}$

${\displaystyle \nabla _{x,y}\,:\,T_{y}\rightarrow T_{x}\quad {\text{isometric}}\,,}$

где касательное пространство — это определенное подпространство линейных операторов на , снабженное лоренцевой метрикой. Спиновая кривизна определяется как голономия спиновой связности,${\displaystyle T_{x}}$${\displaystyle S_{x}}$

${\displaystyle {\mathfrak {R}}(x,y,z)=D_{x,y}\,D_{y,z}\,D_{z,x}\,:\,S_{x}\rightarrow S_{x}\,.}$

Аналогично, метрическая связь порождает метрическую кривизну . Эти геометрические структуры порождают предложение о квантовой геометрии . ^[5]

Минимизатор причинного действия удовлетворяет соответствующим уравнениям Эйлера–Лагранжа . ^[10] Они утверждают, что функция, определяемая как${\displaystyle \rho }$${\displaystyle \ell _{\kappa }}$

${\displaystyle \ell _{\kappa }(x):=\int _{M}{\big (}{\mathcal {L}}_{\kappa }(x,y)+\kappa \,|xy|^{2}{\big )}\,d\rho (y)\,-\,{\mathfrak {s}}}$

(с двумя параметрами Лагранжа и ) исчезает и минимален на носителе ,${\displaystyle \kappa }$${\displaystyle {\mathfrak {s}}}$${\displaystyle \rho }$

${\displaystyle \ell _{\kappa }|_{M}\equiv \inf _{x\in {\mathcal {F}}}\ell _{\kappa }(x)=0\,.}$

Для анализа удобно ввести струи, состоящие из действительной функции на и векторного поля  на вдоль , а комбинацию умножения и производной по направлению обозначить как . Тогда уравнения Эйлера–Лагранжа подразумевают, что слабые уравнения Эйлера–Лагранжа${\displaystyle {\mathfrak {u}}:=(a,u)}$${\displaystyle a}$${\displaystyle M}$${\displaystyle u}$${\displaystyle T{\mathcal {F}}}$${\displaystyle M}$${\displaystyle \nabla _{\mathfrak {u}}g(x):=a(x)\,g(x)+{\big (}D_{u}g{\big )}(x)}$

${\displaystyle \nabla _{\mathfrak {u}}\ell |_{M}=0}$

удерживайте для любого тестового струйного сигнала .${\displaystyle {\mathfrak {u}}}$

Семейства решений уравнений Эйлера–Лагранжа генерируются бесконечно малой струей , которая удовлетворяет линеаризованным уравнениям поля${\displaystyle {\mathfrak {v}}}$

${\displaystyle \langle {\mathfrak {u}},\Delta {\mathfrak {v}}\rangle |_{M}=0\,,}$

для всех тестовых струй , где Лапласиан определяется как  ${\displaystyle {\mathfrak {u}}}$${\displaystyle \Delta }$

${\displaystyle \langle {\mathfrak {u}},\Delta {\mathfrak {v}}\rangle (x):=\nabla _{\mathfrak {u}}{\bigg (}\int _{M}{\big (}\nabla _{1,{\mathfrak {v}}}+\nabla _{2,{\mathfrak {v}}}{\big )}{\mathcal {L}}(x,y)\,d\rho (y)-\nabla _{\mathfrak {v}}{\mathfrak {s}}{\bigg )}\,.}$

Уравнения Эйлера–Лагранжа описывают динамику причинной фермионной системы, тогда как малые возмущения системы описываются линеаризованными уравнениями поля.

В случае каузальных фермионных систем пространственные интегралы выражаются так называемыми интегралами поверхностного слоя . ^{[9] [10] [11]} В общих чертах, интеграл поверхностного слоя представляет собой двойной интеграл вида

${\displaystyle \int _{\Omega }{\bigg (}\int _{M\setminus \Omega }\cdots {\mathcal {L}}(x,y)\,d\rho (y){\bigg )}\,d\rho (x)\,,}$

где одна переменная интегрируется по подмножеству , а другая переменная интегрируется по дополнению . Можно выразить обычные законы сохранения для заряда, энергии, ... в терминах интегралов поверхностного слоя. Соответствующие законы сохранения являются следствием уравнений Эйлера–Лагранжа принципа причинного действия и линеаризованных уравнений поля. Для приложений наиболее важными интегралами поверхностного слоя являются интеграл тока , симплектическая форма , скалярное произведение поверхностного слоя и нелинейный интеграл поверхностного слоя .${\displaystyle \Omega \subset M}$${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \gamma _{\rho }^{\Omega }({\mathfrak {v}})}$ ${\displaystyle \sigma _{\rho }^{\Omega }({\mathfrak {u}},{\mathfrak {v}})}$ ${\displaystyle \langle {\mathfrak {u}},{\mathfrak {v}}\rangle _{\rho }^{\Omega }}$ ${\displaystyle \gamma ^{\Omega }({\tilde {\rho }},\rho )}$

На основе законов сохранения для вышеуказанных интегралов поверхностного слоя динамика каузальной фермионной системы, описываемая уравнениями Эйлера–Лагранжа, соответствующими принципу причинного действия, может быть переписана как линейная, сохраняющая норму динамика на бозонном пространстве Фока, построенная из решений линеаризованных уравнений поля. ^[4] В так называемом голоморфном приближении временная эволюция учитывает сложную структуру, что приводит к унитарной временной эволюции на бозонном пространстве Фока.

Если имеет конечную размерность , выбираем ортонормированный базис и берем клиновое произведение соответствующих волновых функций${\displaystyle {\mathcal {H}}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle u_{1},\ldots ,u_{f}}$${\displaystyle {\mathcal {H}}}$

${\displaystyle {\big (}\psi ^{u_{1}}\wedge \cdots \wedge \psi ^{u_{f}}{\big )}(x_{1},\ldots ,x_{f})}$

дает состояние -частичного фермионного пространства Фока . Вследствие полной антисимметризации это состояние зависит от выбора базиса только фазовым множителем. ^[12] Это соответствие объясняет, почему векторы в пространстве частиц следует интерпретировать как фермионы . Это также мотивирует название причинная фермионная система.${\displaystyle f}$${\displaystyle {\mathcal {H}}}$

Причинные фермионные системы включают в себя несколько физических принципов определенным образом:

• Локальный принцип калибровки : для представления волновых функций в компонентах выбираются базисы спиновых пространств. Обозначая сигнатуру спинового скалярного произведения в через , псевдоортонормальный базис задается как${\displaystyle x}$${\displaystyle ({\mathfrak {p}}_{x},{\mathfrak {q}}_{x})}$${\displaystyle ({\mathfrak {e}}_{\alpha }(x))_{\alpha =1,\ldots ,{\mathfrak {p}}_{x}+{\mathfrak {q}}_{x}}}$${\displaystyle S_{x}}$

${\displaystyle {\prec }{\mathfrak {e}}_{\alpha }|{\mathfrak {e}}_{\beta }{\succ }=s_{\alpha }{\,}\delta _{\alpha \beta }\quad {\text{with}}\quad s_{1},\ldots ,s_{{\mathfrak {p}}_{x}}=1,\;\;s_{{\mathfrak {p}}_{x}+1},\ldots ,s_{{\mathfrak {p}}_{x}+{\mathfrak {q}}_{x}}=-1{\,}.}$

Тогда волновую функцию можно представить с помощью компонентных функций,${\displaystyle \psi }$

${\displaystyle \psi (x)=\sum _{\alpha =1}^{{\mathfrak {p}}_{x}+{\mathfrak {q}}_{x}}\psi ^{\alpha }(x){\,}{\mathfrak {e}}_{\alpha }(x){\,}.}$

Свобода выбора базисов независимо в каждой точке пространства-времени соответствует локальным унитарным преобразованиям волновых функций,${\displaystyle ({\mathfrak {e}}_{\alpha }(x))}$

${\displaystyle \psi ^{\alpha }(x)\rightarrow \sum _{\beta =1}^{{\mathfrak {p}}_{x}+{\mathfrak {q}}_{x}}U(x)_{\beta }^{\alpha }\,\,\psi ^{\beta }(x)\quad {\text{with}}\quad U(x)\in {\text{U}}({\mathfrak {p}}_{x},{\mathfrak {q}}_{x}){\,}.}$

Эти преобразования имеют интерпретацию как локальные калибровочные преобразования . Калибровочная группа определяется как группа изометрий спинового скалярного произведения. Причинное действие калибровочно-инвариантно в том смысле, что оно не зависит от выбора спинорных базисов.

• Принцип эквивалентности : Для явного описания пространства-времени необходимо работать с локальными координатами. Свобода выбора таких координат обобщает свободу выбора общих систем отсчета в пространственно-временном многообразии. Следовательно, принцип эквивалентности общей теории относительности соблюдается. Причинное действие общековариантно в том смысле, что оно не зависит от выбора координат.
• Принцип исключения Паули : Фермионное состояние Фока, связанное с каузальной фермионной системой, позволяет описать многочастичное состояние полностью антисимметричной волновой функцией. Это согласуется с принципом исключения Паули .
• Принцип причинности заложен в форме причинного действия в том смысле, что точки пространства-времени с пространственно-подобным разделением не взаимодействуют.

Причинные фермионные системы имеют математически обоснованные предельные случаи, которые обеспечивают связь с традиционными физическими структурами.

Начиная с любого глобально гиперболического лоренцева спинового многообразия со спинорным расслоением , попадаем в рамки каузальных фермионных систем, выбрав в качестве подпространства пространства решений уравнения Дирака . Определяя так называемый локальный корреляционный оператор для с помощью${\displaystyle ({\hat {M}},g)}$${\displaystyle S{\hat {M}}}$${\displaystyle ({\mathcal {H}},{\langle }.|.{\rangle }_{\mathcal {H}})}$ ${\displaystyle F(p)}$${\displaystyle p\in {\hat {M}}}$

${\displaystyle {\langle }\psi |F(p)\phi {\rangle }_{\mathcal {H}}=-{\prec }\psi |\phi {\succ }_{p}}$

(где — внутренний продукт на волокне ) и введение универсальной меры как переноса меры объема на ,${\displaystyle {\prec }\psi |\phi {\succ }_{p}}$${\displaystyle S_{p}{\hat {M}}}$${\displaystyle {\hat {M}}}$

${\displaystyle \rho =F_{*}d\mu {\,},}$

получается каузальная фермионная система. Для того, чтобы локальные корреляционные операторы были хорошо определены, должны состоять из непрерывных секций, что обычно делает необходимым введение регуляризации на микроскопическом уровне . В пределе все внутренние структуры каузальной фермионной системы (такие как каузальная структура, связь и кривизна) переходят в соответствующие структуры на лоренцевом спиновом многообразии. ^[5] Таким образом, геометрия пространства-времени полностью закодирована в соответствующих каузальных фермионных системах.${\displaystyle {\mathcal {H}}}$${\displaystyle \varepsilon }$${\displaystyle \varepsilon \searrow 0}$

Уравнения Эйлера–Лагранжа, соответствующие принципу причинного действия, имеют четко определенный предел, если пространства-времена причинных фермионных систем переходят в пространство Минковского . Более конкретно, рассматривается последовательность причинных фермионных систем (например, с конечномерными, чтобы гарантировать существование фермионного состояния Фока, а также минимизаторов причинного действия), так что соответствующие волновые функции переходят в конфигурацию взаимодействующих морей Дирака, включающую дополнительные состояния частиц или «дырки» в морях. Эта процедура, называемая пределом континуума , дает эффективные уравнения, имеющие структуру уравнения Дирака, связанного с классическими уравнениями поля . Например, для упрощенной модели, включающей три элементарных фермионных частицы в спиновом измерении два, получается взаимодействие через классическое аксиальное калибровочное поле ^[2], описываемое связанными уравнениями Дирака и Янга–Миллса${\displaystyle M:={\text{supp}}\,\rho }$${\displaystyle {\mathcal {H}}}$${\displaystyle A}$

${\displaystyle {\begin{aligned}(i\partial \!\!\!/\ +\gamma ^{5}A\!\!\!/\ -m)\psi &=0\\C_{0}(\partial _{j}^{k}A^{j}-\Box A^{k})-C_{2}A^{k}&=12\pi ^{2}{\bar {\psi }}\gamma ^{5}\gamma ^{k}\psi \,.\end{aligned}}}$

Принимая нерелятивистский предел уравнения Дирака, получаем уравнение Паули или уравнение Шредингера , давая соответствие квантовой механике . Здесь и зависят от регуляризации и определяют константу связи, а также массу покоя.${\displaystyle C_{0}}$${\displaystyle C_{2}}$

Аналогично, для системы, включающей нейтрино в спиновой размерности 4, мы получаем эффективное массивное калибровочное поле, связанное с левой компонентой спиноров Дирака. ^[2] Конфигурация фермионов стандартной модели может быть описана в спиновой размерности 16. ^[1]${\displaystyle SU(2)}$

Для только что упомянутой системы, включающей нейтрино, ^[2] предел непрерывности также приводит к уравнениям поля Эйнштейна, связанным со спинорами Дирака,

${\displaystyle R_{jk}-{\frac {1}{2}}\,R\,g_{jk}+\Lambda \,g_{jk}=\kappa \,T_{jk}[\Psi ,A]\,,}$

с точностью до поправок более высокого порядка в тензоре кривизны. Здесь космологическая постоянная не определена и обозначает тензор энергии-импульса спиноров и калибровочного поля. Гравитационная постоянная зависит от длины регуляризации.${\displaystyle \Lambda }$${\displaystyle T_{jk}}$${\displaystyle SU(2)}$${\displaystyle \kappa }$

Начиная с связанной системы уравнений, полученной в пределе континуума, и расширяя по степеням константы связи, получаем интегралы, которые соответствуют диаграммам Фейнмана на уровне дерева. Диаграммы фермионных петель возникают из-за взаимодействия с состояниями моря, тогда как диаграммы бозонных петель появляются при усреднении по микроскопической (в общем случае негладкой) пространственно-временной структуре каузальной фермионной системы (так называемое микроскопическое смешивание ). ^[3] Детальный анализ и сравнение со стандартной квантовой теорией поля находятся в процессе разработки. ^[4]

• Веб-платформа по каузальным фермионным системам