Дираковское сопряжение

В квантовой теории поля сопряженный элемент Дирака определяет дуальную операцию спинора Дирака . Присоединённый элемент Дирака мотивирован необходимостью формирования хорошо себя ведущих, измеримых величин из спиноров Дирака, заменяя обычную роль эрмитова сопряженного элемента .

Возможно, чтобы избежать путаницы с обычным эрмитовым сопряженным оператором , в некоторых учебниках не приводится название для сопряженного оператора Дирака, а просто указывается его « ψ -бар».

Пусть — спинор Дирака . Тогда его сопряженный по Дираку спинор определяется как${\displaystyle \пси}$

${\displaystyle {\bar {\psi }}\equiv \psi ^{\dagger }\gamma ^{0}}$

где обозначает эрмитово сопряженное спинорное значение , а — времяподобная гамма-матрица .${\displaystyle \psi ^{\dagger}}$${\displaystyle \пси}$${\displaystyle \гамма ^{0}}$

Группа Лоренца специальной теории относительности не является компактной , поэтому спинорные представления преобразований Лоренца, как правило, не являются унитарными . То есть, если — проективное представление некоторого преобразования Лоренца,${\displaystyle \лямбда}$

${\displaystyle \psi \mapsto \lambda \psi}$,

то, в общем,

${\displaystyle \lambda ^{\dagger }\neq \lambda ^{-1}}$.

Эрмитово сопряженное спинорное преобразование происходит согласно

${\displaystyle \psi ^{\dagger }\mapsto \psi ^{\dagger }\lambda ^{\dagger }}$.

Следовательно, не является скаляром Лоренца и даже не является эрмитовым .${\displaystyle \psi ^{\dagger }\psi }$${\displaystyle \psi ^{\dagger }\gamma ^{\mu }\psi }$

Дираковские сопряженные операторы, напротив, преобразуются согласно

${\displaystyle {\bar {\psi }}\mapsto \left(\lambda \psi \right)^{\dagger }\gamma ^{0}}$.

Используя тождество , преобразование сводится к${\displaystyle \gamma ^{0}\lambda ^{\dagger }\gamma ^{0}=\lambda ^{-1}}$

${\displaystyle {\bar {\psi }}\mapsto {\bar {\psi }}\lambda ^{-1}}$,

Таким образом, преобразуется как скаляр Лоренца и как четырехвектор .${\displaystyle {\bar {\psi }}\psi }$${\displaystyle {\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\psi }$

Используя сопряженное выражение Дирака, вероятность 4-тока J для поля частицы со спином 1/2 можно записать как

${\displaystyle J^{\mu }=c{\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\psi }$

где c — скорость света, а компоненты J представляют плотность вероятности ρ и 3-ток вероятности j :

${\displaystyle {\boldsymbol {J}}=(c\rho ,{\boldsymbol {j}})}$.

Принимая μ = 0 и используя соотношение для гамма-матриц

${\displaystyle \left(\гамма ^{0}\right)^{2}=I}$,

плотность вероятности становится

${\displaystyle \rho =\psi ^{\dagger }\psi }$.

• Уравнение Дирака
• Уравнение Рариты–Швингера

• Б. Брансден и К. Джоачейн (2000). Квантовая механика , 2e, Пирсон. ISBN  0-582-35691-1 .
• М. Пескин и Д. Шредер (1995). Введение в квантовую теорию поля , Westview Press. ISBN 0-201-50397-2 . 
• А. Зи (2003). Квантовая теория поля в двух словах , Princeton University Press. ISBN 0-691-01019-6 .