Теорема Кэмерона–Мартина

В математике теорема Камерона–Мартина или формула Камерона–Мартина (названная в честь Роберта Хортона Камерона и У. Т. Мартина ) — теорема теории меры , описывающая, как абстрактная мера Винера изменяется при переносе на определенные элементы гильбертова пространства Камерона–Мартина .

Стандартная гауссовская мера на -мерном евклидовом пространстве не является инвариантной относительно трансляции . (На самом деле, существует единственная инвариантная относительно трансляции мера Радона вплоть до масштаба по теореме Хаара : -мерная мера Лебега , обозначенная здесь .) Вместо этого измеримое подмножество имеет гауссову меру${\displaystyle \гамма ^{n}}$${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbf {R} ^{n}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle dx}$${\displaystyle А}$

${\displaystyle \gamma _{n}(A)={\frac {1}{(2\pi )^{n/2}}}\int _{A}\exp \left(-{\tfrac {1}{2}}\langle x,x\rangle _{\mathbf {R} ^{n}}\right)\,dx.}$

Здесь относится к стандартному евклидову скалярному произведению в . Гауссова мера переноса на вектор равна${\displaystyle \langle x,x\rangle _ {\mathbf {R} ^{n}}}$${\displaystyle \mathbf {R} ^{n}}$${\displaystyle А}$${\displaystyle h\in \mathbf {R} ^{n}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma _{n}(A-h)&={\frac {1}{(2\pi )^{n/2}}}\int _{A}\exp \left(-{\tfrac {1}{2}}\langle x-h,x-h\rangle _{\mathbf {R} ^{n}}\right)\,dx\\[4pt]&={\frac {1}{(2\pi )^{n/2}}}\int _{A}\exp \left({\frac {2\langle x,h\rangle _{\mathbf {R} ^{n}}-\langle h,h\rangle _{\mathbf {R} ^{n}}}{2}}\right)\exp \left(-{\tfrac {1}{2}}\langle x,x\rangle _{\mathbf {R} ^{n}}\right)\,dx.\end{aligned}}}$

Таким образом, при трансляции посредством гауссова мера масштабируется функцией распределения, представленной на последнем дисплее:${\displaystyle h}$

${\displaystyle \exp \left({\frac {2\langle x,h\rangle _{\mathbf {R} ^{n}}-\langle h,h\rangle _{\mathbf {R} ^{n}}}{2}}\right)=\exp \left(\langle x,h\rangle _{\mathbf {R} ^{n}}-{\tfrac {1}{2}}\|h\|_{\mathbf {R} ^{n}}^{2}\right).}$

Мера, которая связывает с множеством число, является прямой мерой , обозначаемой . Здесь имеется в виду карта перевода: . Приведенный выше расчет показывает, что производная Радона–Никодима прямой меры относительно исходной гауссовой меры определяется выражением${\displaystyle A}$${\displaystyle \gamma _{n}(A-h)}$${\displaystyle (T_{h})_{*}(\gamma ^{n})}$${\displaystyle T_{h}:\mathbf {R} ^{n}\to \mathbf {R} ^{n}}$${\displaystyle T_{h}(x)=x+h}$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} (T_{h})_{*}(\gamma ^{n})}{\mathrm {d} \gamma ^{n}}}(x)=\exp \left(\left\langle h,x\right\rangle _{\mathbf {R} ^{n}}-{\tfrac {1}{2}}\|h\|_{\mathbf {R} ^{n}}^{2}\right).}$

Абстрактная мера Винера на сепарабельном банаховом пространстве , где — абстрактное винеровское пространство , также является «гауссовой мерой» в подходящем смысле. Как она изменяется при переносе? Оказывается, что формула, аналогичная приведенной выше, справедлива, если рассматривать только переносы элементами плотного подпространства .${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle E}$${\displaystyle i:H\to E}$ ${\displaystyle i(H)\subseteq E}$

Пусть будет абстрактным пространством Винера с абстрактной мерой Винера . Для , определим как . Тогда эквивалентно с производной Радона–Никодима${\displaystyle i:H\to E}$${\displaystyle \gamma :\operatorname {Borel} (E)\to [0,1]}$${\displaystyle h\in H}$${\displaystyle T_{h}:E\to E}$${\displaystyle T_{h}(x)=x+i(h)}$${\displaystyle (T_{h})_{*}(\gamma )}$${\displaystyle \gamma }$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} (T_{h})_{*}(\gamma )}{\mathrm {d} \gamma }}(x)=\exp \left(\langle h,x\rangle ^{\sim }-{\tfrac {1}{2}}\|h\|_{H}^{2}\right),}$

где

${\displaystyle \langle h,x\rangle ^{\sim }=i(h)(x)}$

обозначает интеграл Пэли–Винера .

Формула Камерона–Мартина верна только для переносов элементами плотного подпространства , называемого пространством Камерона–Мартина , а не произвольными элементами . Если бы формула Камерона–Мартина верна для произвольных переносов, это противоречило бы следующему результату:${\displaystyle i(H)\subseteq E}$${\displaystyle E}$

Если — сепарабельное банахово пространство и — локально конечная борелевская мера на , эквивалентная своему собственному переносу при любом сдвиге, то либо имеет конечную размерность, либо является тривиальной (нулевой) мерой . (См. квазиинвариантная мера .)${\displaystyle E}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle E}$${\displaystyle E}$${\displaystyle \mu }$

Фактически, является квазиинвариантным относительно сдвига на элемент тогда и только тогда, когда . Векторы в иногда называют направлениями Кэмерона–Мартина .${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle v}$ ${\displaystyle v\in i(H)}$${\displaystyle i(H)}$

Рассмотрим локально выпуклое векторное пространство с гауссовой мерой на цилиндрической σ-алгебре и обозначим перенос через . Для элемента в топологическом сопряженном определим расстояние до среднего и обозначим замыкание в как . Определим оператор ковариации, расширенный до замыкания, как${\displaystyle E}$${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \sigma ({\mathfrak {A}}(E,E'))}$${\displaystyle \gamma _{m}:=\gamma (\cdot -m)}$${\displaystyle m\in E}$${\displaystyle f\in E'}$${\displaystyle t_{\gamma }(f):=f-\mathbb {E} _{\gamma }[f],}$${\displaystyle L^{2}(E,\gamma )}$${\displaystyle E_{a}^{\gamma }:=\operatorname {clos} \left\{(t_{\gamma }(f_{n}))_{n}\colon \ f\in E'\right\}}$${\displaystyle {\overline {R_{\gamma }}}:E_{a}^{\gamma }\to (E')^{*}}$

${\displaystyle {\overline {R_{\gamma }}}(f)(g)=\langle f,g-\mathbb {E} _{\gamma }[g]\rangle _{L^{2}(\gamma )}}$.

Определите норму

${\displaystyle \|h\|_{H_{\gamma }}:=\sup\{f(h)\colon f\in E',\;{\overline {R_{\gamma }}}(f)(f)\leq 1\},}$

тогда пространство Кэмерона- Мартина в равно${\displaystyle H_{\gamma }}$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle E}$

${\displaystyle H_{\gamma }=\{h\in E\colon \|h\|_{H_{\gamma }}<\infty \}}$.

Если для существует такое, что то и . Далее имеет место эквивалентность с плотностью Радона-Никодима${\displaystyle h\in E}$${\displaystyle g\in E_{a}^{\gamma }}$${\displaystyle h={\overline {R_{\gamma }}}(g)}$${\displaystyle h\in H_{\gamma }}$${\displaystyle \|h\|_{H_{\gamma }}=\|g\|_{L^{2}(\gamma )}}$ ${\displaystyle \gamma _{h}\sim \gamma }$

${\displaystyle {\frac {d\gamma _{h}}{d\gamma }}=\exp \left(g(x)-{\frac {1}{2}}\|h\|_{H_{\gamma }}^{2}\right).}$

Если две меры являются единичными . ^[1]${\displaystyle h\not \in H_{\gamma }}$

Формула Камерона–Мартина приводит к формуле интегрирования по частям на : если имеет ограниченную производную Фреше , интегрирование формулы Камерона–Мартина по мере Винера с обеих сторон дает${\displaystyle E}$${\displaystyle F:E\to \mathbf {R} }$ ${\displaystyle \mathrm {D} F:E\to \operatorname {Lin} (E;\mathbf {R} )=E^{*}}$

${\displaystyle \int _{E}F(x+ti(h))\,\mathrm {d} \gamma (x)=\int _{E}F(x)\exp \left(t\langle h,x\rangle ^{\sim }-{\tfrac {1}{2}}t^{2}\|h\|_{H}^{2}\right)\,\mathrm {d} \gamma (x)}$

для любого . Формальное дифференцирование по и оценка при дает формулу интегрирования по частям${\displaystyle t\in \mathbf {R} }$${\displaystyle t}$${\displaystyle t=0}$

${\displaystyle \int _{E}\mathrm {D} F(x)(i(h))\,\mathrm {d} \gamma (x)=\int _{E}F(x)\langle h,x\rangle ^{\sim }\,\mathrm {d} \gamma (x).}$

Сравнение с теоремой о расходимости векторного исчисления показывает,

${\displaystyle \mathop {\mathrm {div} } [V_{h}](x)=-\langle h,x\rangle ^{\sim },}$

где — постоянное « векторное поле » для всех . Желание рассмотреть более общие векторные поля и думать о стохастических интегралах как о «расходимостях» приводит к изучению стохастических процессов и исчисления Маллявэна , и, в частности, теоремы Кларка–Окона и связанной с ней формулы интегрирования по частям.${\displaystyle V_{h}:E\to E}$${\displaystyle V_{h}(x)=i(h)}$${\displaystyle x\in E}$

Используя теорему Камерона–Мартина, можно установить (см. Липцер и Ширяев, 1977, стр. 280), что для симметричной неотрицательно определенной матрицы , элементы которой непрерывны и удовлетворяют условию${\displaystyle q\times q}$ ${\displaystyle H(t)}$${\displaystyle H_{j,k}(t)}$

${\displaystyle \int _{0}^{T}\sum _{j,k=1}^{q}|H_{j,k}(t)|\,dt<\infty ,}$

это справедливо для −мерного винеровского процесса , который${\displaystyle q}$ ${\displaystyle w(t)}$

${\displaystyle E\left[\exp \left(-\int _{0}^{T}w(t)^{*}H(t)w(t)\,dt\right)\right]=\exp \left[{\tfrac {1}{2}}\int _{0}^{T}\operatorname {tr} (G(t))\,dt\right],}$

где — неположительно определенная матрица, которая является единственным решением матричнозначного дифференциального уравнения Риккати${\displaystyle G(t)}$${\displaystyle q\times q}$

${\displaystyle {\frac {dG(t)}{dt}}=2H(t)-G^{2}(t)}$

с граничным условием .${\displaystyle G(T)=0}$

В частном случае одномерного броуновского движения, когда , единственным решением является , и мы имеем исходную формулу, установленную Кэмероном и Мартином:${\displaystyle H(t)=1/2}$${\displaystyle G(t)=\tanh(t-T)}$$${\displaystyle E\left[\exp \left(-{\tfrac {1}{2}}\int _{0}^{T}w(t)^{2}\,dt\right)\right]={\frac {1}{\sqrt {\cosh T}}}.}$$

• Теорема Гирсанова  – Теорема об изменениях в случайных процессах
• Теорема Сазонова