Теорема Кларка–Окона

В математике теорема Кларка–Окона (также известная как теорема или формула Кларка–Окона–Хауссмана ) — теорема стохастического анализа . Она выражает значение некоторой функции F, определенной на классическом винеровском пространстве непрерывных путей, начинающихся в начале координат, как сумму ее среднего значения и интеграла Ито относительно этого пути. Она названа в честь вклада математиков Дж. М. К. Кларка (1970), Дэниела Окона (1984) и У. Г. Хауссмана (1978).

Пусть C ₀ ([0,  T ];  R ) (или просто C ₀ для краткости) — классическое пространство Винера с мерой Винера γ . Пусть F  :  C ₀  →  R — функция BC ¹ , т. е. F ограничена и дифференцируема по Фреше с ограниченной производной D F  :  C ₀  → Lin( C ₀ ;  R ). Тогда

${\displaystyle F(\sigma)=\int _{C_{0}}F(p)\,\mathrm {d} \gamma (p)+\int _{0}^{T}\mathbf {E} \left[\left.{\frac {\partial }{\partial t}}\nabla _{H}F(-)\right|\Sigma _{t}\right](\sigma )\,\mathrm { d} \sigma _{t}.}$

В вышеизложенном

• F ( σ ) — значение функции F на некотором конкретном интересующем пути, σ ;
• первый интеграл,

${\displaystyle \int _{C_{0}}F(p)\,\mathrm {d} \gamma (p)=\mathbf {E} [F]}$

— ожидаемое значение F по всему винеровскому пространству C ₀ ;

• второй интеграл,

${\displaystyle \int _{0}^{T}\cdots \,\mathrm {d} \sigma (t)}$

является интегралом Ито ;

• Σ _∗ — естественная фильтрация броуновского движения B  : [0,  T ] × Ω →  R : Σ _t — наименьшая σ -алгебра, содержащая все B _s ⁻¹ ( A ) для времен 0 ≤  s  ≤  t и борелевские множества A  ⊆  R ;
• E [·|Σ _t ] обозначает условное математическое ожидание относительно сигма-алгебры Σ _t ;
• ^∂ / _{∂ t} обозначает дифференцирование по времени t ; ∇ _H обозначает H -градиент ; следовательно, ^∂ / _{∂ t} ∇ _H является производной Маллявэна .

В более общем смысле вывод справедлив для любого F в L ² ( C ₀ ;  R ), дифференцируемого в смысле Маллявэна.

Теорема Кларка–Оконе приводит к формуле интегрирования по частям в классическом пространстве Винера и позволяет записать интегралы Ито в виде расходимостей :

Пусть B — стандартное броуновское движение, а L ₀ ^2,1 — пространство Камерона–Мартина для C ₀ (см. абстрактное пространство Винера ). Пусть V  :  C ₀  →  L ₀ ^2,1 — векторное поле такое, что

${\displaystyle {\dot {V}}={\frac {\partial V}{\partial t}}:[0,T]\times C_{0}\to \mathbb {R} }$

находится в L ² ( B ) (т.е. является интегрируемым по Ито , и, следовательно, является адаптированным процессом ). Пусть F  :  C ₀  →  R будет BC ^{1 ,} как указано выше. Тогда

${\displaystyle \int _{C_{0}}\mathrm {D} F(\sigma)(V(\sigma))\,\mathrm {d} \gamma (\sigma)=\int _{C_{0 }}F(\sigma )\left(\int _{0}^{T}{\dot {V}}_{t}(\sigma )\,\mathrm {d} \sigma _{t}\right )\,\mathrm {d} \gamma (\sigma),}$

то есть

${\displaystyle \int _{C_{0}}\left\langle \nabla _{H}F(\sigma),V(\sigma)\right\rangle _{L_{0}^{2,1}} \,\mathrm {d} \gamma (\sigma )=-\int _{C_{0}}F(\sigma )\operatorname {div} (V)(\sigma )\,\mathrm {d} \gamma (\ сигма )}$

или, записывая интегралы по C ₀ как ожидания:

${\displaystyle \mathbb {E} {\big [}\langle \nabla _{H}F,V\rangle {\big ]}=-\mathbb {E} {\big [}F\operatorname {div} V{\big ]},}$

где «дивергенция» div( V ) :  C ₀  →  R определяется как

${\displaystyle \operatorname {div} (V)(\sigma ):=-\int _{0}^{T}{\dot {V}}_{t}(\sigma )\,\mathrm {d} \sigma _{t}.}$

Интерпретация стохастических интегралов как расходимостей приводит к таким концепциям, как интеграл Скорохода и инструменты исчисления Маллявэна .

• Теорема об интегральном представлении для классического пространства Винера , в доказательстве которой используется теорема Кларка–Окона
• Интеграция по частям оператора
• исчисление Маллиевена

• Нуаларт, Дэвид (2006). Исчисление Маллиавэна и смежные темы . Вероятность и ее приложения (Нью-Йорк) (Второе изд.). Берлин: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-28328-7.

• Friz, Peter K. (2005-04-10). "Введение в исчисление Маллиавена" (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 2007-04-17 . Получено 2007-07-23 .