Единичная мера

В математике две положительные (или знаковые , или комплексные ) меры и , определенные на измеримом пространстве, называются сингулярными, если существуют два непересекающихся измеримых множества , объединение которых таково , что равно нулю на всех измеримых подмножествах , в то время как равно нулю на всех измеримых подмножествах Это обозначается как${\displaystyle \мю}$${\displaystyle \nu}$ ${\displaystyle (\Омега ,\Сигма )}$${\displaystyle A,B\in \Сигма}$${\displaystyle \Омега}$${\displaystyle \мю}$${\displaystyle Б}$${\displaystyle \nu}$${\displaystyle А.}$${\displaystyle \mu \perp \nu .}$

Усовершенствованная форма теоремы Лебега о разложении разлагает сингулярную меру на сингулярную непрерывную меру и дискретную меру . Примеры см. ниже.

Как частный случай, мера, определенная на евклидовом пространстве , называется сингулярной , если она сингулярна относительно меры Лебега на этом пространстве. Например, дельта-функция Дирака является сингулярной мерой.${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Пример. Дискретная мера .

Ступенчатая функция Хевисайда на вещественной прямой имеет дельта-распределение Дирака в качестве своей распределительной производной . Это мера на вещественной прямой, « точечная масса » в Однако мера Дирака не является абсолютно непрерывной относительно меры Лебега и не является абсолютно непрерывной относительно но если — любое непустое открытое множество, не содержащее 0, то но$${\displaystyle H(x)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}{\begin{cases}0,&x<0;\\1,&x\geq 0;\end{cases}}}$$ ${\displaystyle \дельта _{0}}$${\displaystyle 0.}$ ${\displaystyle \дельта _{0}}$${\displaystyle \лямбда,}$${\displaystyle \лямбда}$${\displaystyle \delta _{0}:}$ ${\displaystyle \lambda (\{0\})=0}$${\displaystyle \delta _{0}(\{0\})=1;}$${\displaystyle U}$${\displaystyle \лямбда (U)>0}$${\displaystyle \delta _{0}(U)=0.}$

Пример. Единичная непрерывная мера.

Распределение Кантора имеет кумулятивную функцию распределения , которая непрерывна, но не абсолютно непрерывна , и действительно, ее абсолютно непрерывная часть равна нулю: она сингулярно непрерывна.

Пример. Единичная непрерывная мера на${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}.}$

Верхняя и нижняя границы Фреше–Хёффдинга представляют собой сингулярные распределения в двух измерениях.

• Абсолютная непрерывность (теория меры)  – Форма непрерывности для функцийСтраницы, отображающие краткие описания целей перенаправления
• Теорема разложения Лебега
• Единичное распределение  – распределение, сосредоточенное на множестве меры нольСтраницы, отображающие описания викиданных в качестве резерва

• Эрик В. Вайсштейн, Краткая энциклопедия математики CRC , CRC Press, 2002. ISBN  1-58488-347-2 .
• Дж. Тейлор, Введение в меру и вероятность , Springer, 1996. ISBN 0-387-94830-9 . 

В данной статье использованы материалы из Single Measure на PlanetMath , лицензированные по лицензии Creative Commons Attribution/Share-Alike License .