Теорема Сазонова

В математике теорема Сазонова , названная в честь Вячеслава Васильевича Сазонова ( Вячеслав Васильевич Сазо́нов ), является теоремой функционального анализа .

В нем утверждается, что ограниченный линейный оператор между двумя гильбертовыми пространствами является γ -радонирующим, если он является оператором Гильберта–Шмидта . Результат также важен при изучении стохастических процессов и исчисления Маллявэна , поскольку результаты, касающиеся вероятностных мер на бесконечномерных пространствах, имеют центральное значение в этих областях. Теорема Сазонова также имеет обратное: если отображение не является Гильбертом–Шмидтом, то оно не является γ -радонирующим.

Пусть G и H — два гильбертовых пространства, и пусть T  : G → H — ограниченный оператор из G в H. Напомним, что T называется γ -радонифицирующим , если перенос канонической меры гауссовского цилиндра на G является добросовестной мерой на H. Напомним также, что T называется оператором Гильберта–Шмидта, если существует ортонормированный базис { ei  : _i ∈ I } пространства G такой, что

${\displaystyle \sum _{i\in I}\|T(e_{i})\|_{H}^{2}<+\infty .}$

Тогда теорема Сазонова гласит, что T является γ -радонифицирующим, если он является оператором Гильберта–Шмидта.

Доказательство использует теорему Прохорова .

Каноническая мера гауссова цилиндра на бесконечномерном гильбертовом пространстве никогда не может быть истинной мерой; эквивалентно, функция тождества на таком пространстве не может быть γ -радонирующей.

• Теорема Кэмерона–Мартина  – Теорема, определяющая перенос гауссовских мер (мер Винера) на гильбертовых пространствах.
• Теорема Гирсанова  – Теорема об изменениях в случайных процессах
• Радонирующая функция

• Шварц, Лоран (1973), Радоновские меры на произвольных топологических пространствах и цилиндрические меры. , Институт фундаментальных исследований в области математики им. Тата, Лондон: Oxford University Press, стр. xii+393, ​​MR  0426084