Группа Брауэра–Валла

В математике группа Брауэра –Уолла или супергруппа Брауэра или градуированная группа Брауэра для поля F — это группа BW( F ), классифицирующая конечномерные градуированные центральные алгебры с делением над полем. Впервые она была определена Терри Уоллом  (1964) как обобщение группы Брауэра .

Группа Брауэра поля F — это множество классов подобия конечномерных центральных простых алгебр над F относительно операции тензорного произведения , где две алгебры называются подобными, если коммутанты их простых модулей изоморфны . Каждый класс подобия содержит единственную алгебру с делением, поэтому элементы группы Брауэра также можно отождествить с классами изоморфизма конечномерных центральных алгебр с делением. Аналогичная конструкция для Z /2 Z - градуированных алгебр определяет группу Брауэра–Уолла BW( F ). ^[1]

• Группа Брауэра B( F ) внедряется в BW( F ), отображая CSA A в градуированную алгебру, которая является A в нулевой степени.
• Уолл (1964, теорема 3) показал, что существует точная последовательность

0 → B( F ) → BW( F ) → Q( F ) → 0

где Q( F ) — группа градуированных квадратичных расширений F , определяемая как расширение Z /2 с помощью F ^* / F ^*2 с умножением ( e , x )( f , y ) = ( e  +  f , (−1) ^ef xy ). Отображение из BW( F ) в Q( F ) — это инвариант Клиффорда , определяемый путем отображения алгебры в пару, состоящую из ее градуировки и определителя .

• Существует отображение из аддитивной группы кольца Витта–Гротендика в группу Брауэра–Уолла, полученное путем помещения квадратичного пространства в его алгебру Клиффорда . Отображение факторизуется через группу Витта , ^[2] имеющую ядро ​​I ³ , где I — фундаментальный идеал W( F ). ^[3]

• BW( C ) изоморфен Z /2 Z . Это алгебраический аспект периодичности Ботта ^{[ требуется ссылка ]} периода 2 для унитарной группы. Две супералгебры деления — это C , C [γ], где γ — нечетный элемент квадрата 1, коммутирующий с C .
• BW( R ) изоморфен Z /8 Z . Это алгебраический аспект периодичности Ботта ^{[ требуется ссылка ]} периода 8 для ортогональной группы. 8 супералгебр деления — это R , R [ε], C [ε], H [δ], H , H [ε], C [δ], R [δ], где δ и ε — нечетные элементы квадрата −1 и 1, такие, что сопряжение ими комплексных чисел является комплексным сопряжением .

• Делинь, Пьер (1999), «Заметки о спинорах», в Делинь, Пьер ; Этингоф, Павел ; Фрид, Дэниел С .; Джеффри, Лиза К .; Каждан, Дэвид ; Морган, Джон У .; Моррисон, Дэвид Р .; Виттен, Эдвард (ред.), Квантовые поля и струны: курс для математиков, т. 1, Материалы Специального года по квантовой теории поля, проведенного в Институте перспективных исследований, Принстон, Нью-Джерси, 1996–1997, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , стр. 99–135, ISBN 978-0-8218-1198-6, МР  1701598
• Лам, Цит-Юэн (2005), Введение в квадратичные формы над полями , Graduate Studies in Mathematics , т. 67, Американское математическое общество, ISBN 0-8218-1095-2, MR  2104929, Zbl  1068.11023
• Уолл, CTC (1964), «Градуированные группы Брауэра», Journal für die reine und angewandte Mathematik , 1964 (213): 187–199, doi : 10.1515/crll.1964.213.187, ISSN  0075-4102, MR  0167498, S2CID  115679955, Збл  0125.01904