Разветвленные пути

Разветвленные пути , также известные как точки ветвления (не путать с математической точкой ветвления ), являются распространенной моделью, встречающейся в метаболизме . Это когда промежуточные виды химически производятся или трансформируются несколькими ферментативными процессами. Линейные пути имеют только одну ферментативную реакцию, производящую вид, и одну ферментативную реакцию, потребляющую вид.

Разветвленные пути присутствуют в многочисленных метаболических реакциях, включая гликолиз , синтез лизина , глутамина и пенициллина ^[1] , а также в производстве ароматических аминокислот ^[2] .

В общем, одна ветвь может иметь производящие ветви и потребляющие ветви. Если промежуточное вещество в точке ветвления задается как , то скорость изменения задается как:${\displaystyle б}$${\displaystyle д}$${\displaystyle s_{i}}$${\displaystyle s_{i}}$

${\displaystyle \sum _{i=1}^{b}v_{i}-\sum _{j=1}^{d}v_{j}={\frac {ds_{i}}{dt}}}$

В стационарном состоянии, когда темпы потребления и производства должны быть равны:${\displaystyle ds_{i}/dt=0}$

${\displaystyle \sum _{i=1}^{b}v_{i}=\sum _{j=1}^{d}v_{j}}$

Биохимические пути можно исследовать с помощью компьютерного моделирования или путем анализа чувствительности, т. е. коэффициентов контроля потока и концентраций видов, с использованием анализа метаболического контроля .

Простой разветвленный путь имеет одно ключевое свойство, связанное с сохранением массы. В общем, скорость изменения видов ветвей на основе приведенного выше рисунка определяется как:

${\displaystyle {\frac {ds_{1}}{dt}}=v_{1}-(v_{2}+v_{3})}$

В стационарном состоянии скорость изменения равна нулю. Это приводит к стационарному ограничению между скоростями реакций ветвей:${\displaystyle S_{1}}$

${\displaystyle v_{1}=v_{2}+v_{3}}$

Такие ограничения являются ключевыми для вычислительных методов, таких как анализ баланса потоков .

Разветвленные пути обладают уникальными свойствами контроля по сравнению с простыми линейными цепочками или циклическими путями. Эти свойства можно исследовать с помощью анализа метаболического контроля . Потоки могут контролироваться концентрациями ферментов , и соответственно, описанными соответствующими коэффициентами контроля потока. Для этого можно вывести коэффициенты контроля потока относительно одного из потоков ветви. Вывод показан в следующем разделе. Коэффициент контроля потока относительно потока верхней ветви определяется как:${\displaystyle e_{1}}$${\displaystyle e_{2}}$${\displaystyle e_{3}}$${\displaystyle J_{2}}$

${\displaystyle C_{e_{1}}^{J_{2}}={\frac {\varepsilon _{2}}{\varepsilon _{2}\альфа +\varepsilon _{3}(1-\альфа)-\varepsilon _{1}}}}$

${\displaystyle C_{e_{2}}^{J_{2}}={\frac {\varepsilon _{3}(1-\alpha )-\varepsilon _{1}}{\varepsilon _{2}\alpha +\varepsilon _{3}(1-\alpha )-\varepsilon _{1}}}}$

${\displaystyle C_{e_{3}}^{J_{2}}={\frac {-\varepsilon _{2}(1-\alpha )}{\varepsilon _{2}\alpha +\varepsilon _{3}(1-\alpha )-\varepsilon _{1}}}}$

где — доля потока, проходящая через верхнее плечо, , и доля, проходящая через нижнее плечо, . и — эластичности по отношению к и соответственно.${\displaystyle \альфа}$${\displaystyle J_{2}}$${\displaystyle 1-\альфа}$${\displaystyle J_{3}}$${\displaystyle \varepsilon _{1},\varepsilon _{2},}$${\displaystyle \varepsilon _{3}}$${\displaystyle s_{1}}$${\displaystyle v_{1},v_{2},}$${\displaystyle v_{3}}$

Для последующего анализа поток будет наблюдаемой переменной в ответ на изменения концентрации ферментов.${\displaystyle J_{2}}$

Есть две возможные крайности, которые следует рассмотреть: либо большая часть потока проходит через верхнюю ветвь , либо большая часть потока проходит через нижнюю ветвь. Первый вариант, изображенный на панели a), наименее интересен, поскольку он преобразует ветвь в простой линейный путь. Более интересен тот случай, когда большая часть потока проходит через${\displaystyle J_{2}}$${\displaystyle J_{3}}$${\displaystyle J_{3}}$

Если большая часть потока проходит через , то и (условие (б) на рисунке), коэффициенты управления потоком для относительно и можно записать:${\displaystyle J_{3}}$${\displaystyle \alpha \rightarrow 0}$${\displaystyle 1-\alpha \rightarrow 1}$${\displaystyle J_{2}}$${\displaystyle e_{2}}$${\displaystyle e_{3}}$

${\displaystyle C_{e_{2}}^{J_{2}}\rightarrow 1}$

${\displaystyle C_{e_{3}}^{J_{2}}\rightarrow {\frac {\varepsilon _{2}}{\varepsilon _{1}-\varepsilon _{3}}}}$

То есть, приобретает пропорциональное влияние на свой собственный поток, . Поскольку переносит только очень небольшое количество потока, любые изменения в будут иметь незначительное влияние на . Следовательно, поток через почти полностью регулируется активностью . Из-за теоремы о суммировании потоков и того факта, что , это означает, что оставшиеся два коэффициента должны быть равны и противоположны по значению. Поскольку является положительным, должен быть отрицательным. Это также означает, что в этой ситуации может быть более одного лимитирующего скорость этапа (биохимия) в пути.${\displaystyle e_{2}}$${\displaystyle J_{2}}$${\displaystyle J_{2}}$${\displaystyle e_{2}}$${\displaystyle S}$${\displaystyle e_{2}}$${\displaystyle e_{2}}$${\displaystyle C_{e_{2}}^{J_{2}}=1}$${\displaystyle C_{e_{1}}^{J_{2}}}$${\displaystyle C_{e_{3}}^{J_{2}}}$

В отличие от линейного пути, значения для и не ограничены между нулем и единицей. В зависимости от значений эластичностей коэффициенты управления в разветвленной системе могут значительно превышать единицу. ^[3] В литературе это называется эффектом точки ветвления. ^[4]${\displaystyle C_{e_{3}}^{J_{2}}}$${\displaystyle C_{e_{1}}^{J_{2}}}$

Следующая модель пути ветвления (в формате сурьмы ) иллюстрирует этот случай и имеет очень высокий контроль потока, а шаг J2 имеет пропорциональный контроль.${\displaystyle J_{1}}$${\displaystyle J_{3}}$

 J1: $Xo -> S1; e1*k1*Xo J2: S1 ->; e2*k3*S1/(Км1 + S1) J3: S1 ->; e3*k4*S1/(Км2 + S1)  к1 = 2,5; к3 = 5,9; к4 = 20,75 Км1 = 4; Км2 = 0,02 Хо = 5; е1 = 1; е2 = 1; е3 = 1

Моделирование этой модели дает следующие значения коэффициентов управления потоком относительно потока${\displaystyle J_{2}}$

В линейном пути существует только два набора теорем: теоремы суммирования и теоремы связности. Разветвленные пути имеют дополнительный набор теорем суммирования, центрированных на ветвях. В сочетании с теоремами связности и теоремой суммирования можно вывести уравнения управления, показанные в предыдущем разделе. Отклонение теорем о точках ветвления следующее.

1. Определим дробный поток через и как и соответственно.${\displaystyle J_{2}}$${\displaystyle J_{3}}$${\displaystyle \alpha =J_{2}/J_{1}}$${\displaystyle 1-\alpha =J_{3}/J_{1}}$
2. Увеличить на . Это уменьшит и увеличит за счет ослабления ингибирования продукта . ^[5]${\displaystyle e_{2}}$${\displaystyle \delta e_{2}}$${\displaystyle S_{1}}$${\displaystyle J_{1}}$
3. Внесите компенсирующее изменение, уменьшив его таким образом, чтобы восстановить исходную концентрацию (следовательно, ).${\displaystyle J_{1}}$${\displaystyle e_{1}}$${\displaystyle S_{1}}$${\displaystyle \delta S_{1}=0}$
4. С тех пор и не изменились, .${\displaystyle e_{1}}$${\displaystyle S_{1}}$${\displaystyle \delta J_{1}=0}$

Следуя этим предположениям, можно вывести два набора уравнений: теоремы о точке ветвления потока и теоремы о точке ветвления концентрации. ^[6]

Из этих предположений можно составить следующее системное уравнение:

${\displaystyle C_{e_{2}}^{J_{1}}{\frac {\delta e_{2}}{e_{2}}}+C_{e_{3}}^{J_{1}}{\frac {\delta e_{3}}{e_{3}}}={\frac {\delta J_{1}}{J_{1}}}=0}$

Поскольку и, предполагая, что скорости потоков напрямую связаны с концентрацией фермента, следовательно, эластичности, равны единице, локальные уравнения имеют вид:${\displaystyle \delta S_{1}=0}$${\displaystyle \varepsilon _{e_{i}}^{v}}$

${\displaystyle {\frac {\delta v_{2}}{v_{2}}}={\frac {\delta e_{2}}{e_{2}}}}$

${\displaystyle {\frac {\delta v_{3}}{v_{3}}}={\frac {\delta e_{3}}{e_{3}}}}$

Подстановка в системное уравнение приводит к:${\displaystyle {\frac {\delta v_{i}}{v_{i}}}}$${\displaystyle {\frac {\delta e_{i}}{e_{i}}}}$

${\displaystyle C_{e_{2}}^{J_{1}}{\frac {\delta v_{2}}{v_{2}}}+C_{e_{3}}^{J_{1}}{\frac {\delta v_{3}}{v_{3}}}=0}$

Сохранение массы диктует с тех пор . Замена исключает член из уравнения системы:${\displaystyle \delta J_{1}=\delta J_{2}+\delta J_{3}}$${\displaystyle \delta J_{1}=0}$${\displaystyle \delta v_{2}=-\delta v_{3}}$${\displaystyle \delta v_{3}}$

${\displaystyle C_{e_{2}}^{J_{1}}{\frac {\delta v_{2}}{v_{2}}}-C_{e_{3}}^{J_{1}}{\frac {\delta v_{2}}{v_{3}}}=0}$

Разделив результаты на:${\displaystyle {\frac {\delta v_{2}}{v_{2}}}}$

${\displaystyle C_{e_{2}}^{J_{1}}-C_{e_{3}}^{J_{1}}{\frac {v_{2}}{v_{3}}}=0}$

${\displaystyle v_{2}}$и могут быть заменены дробными ставками, дающими:${\displaystyle v_{3}}$

${\displaystyle C_{e_{2}}^{J_{1}}-C_{e_{3}}^{J_{1}}{\frac {\alpha }{1-\alpha }}=0}$

Перестановка дает окончательную форму первой теоремы о точке ветвления потока: ^[6]

${\displaystyle C_{e_{2}}^{J_{1}}(1-\alpha )-C_{e_{3}}^{J_{1}}{\alpha }=0}$

Аналогичные выводы приводят к еще двум теоремам о точках ветвления потока и трем теоремам о точках ветвления концентрации.

${\displaystyle C_{e_{2}}^{J_{1}}(1-\alpha )-C_{e_{3}}^{J_{1}}(\alpha )=0}$

${\displaystyle C_{e_{1}}^{J_{2}}(1-\alpha )+C_{e_{3}}^{J_{2}}(\alpha )=0}$

${\displaystyle C_{e_{1}}^{J_{3}}(\alpha )+C_{e_{2}}^{J_{3}}=0}$

${\displaystyle C_{e_{2}}^{S_{1}}(1-\alpha )+C_{e_{3}}^{S_{1}}(\alpha )=0}$

${\displaystyle C_{e_{1}}^{S_{1}}(1-\alpha )+C_{e_{3}}^{S_{1}}=0}$

${\displaystyle C_{e_{1}}^{S_{1}}(\alpha )+C_{e_{2}}^{S_{1}}=0}$

Следуя теореме о суммировании потоков ^[7] и теореме о связности ^[8], можно составить следующую систему уравнений для простого пути. ^[9]

${\displaystyle C_{e_{1}}^{J_{1}}+C_{e_{2}}^{J_{1}}+C_{e_{3}}^{J_{1}}=1}$

${\displaystyle C_{e_{1}}^{J_{2}}+C_{e_{2}}^{J_{2}}+C_{e_{3}}^{J_{2}}=1}$

${\displaystyle C_{e_{1}}^{J_{3}}+C_{e_{2}}^{J_{3}}+C_{e_{3}}^{J_{3}}=1}$

${\displaystyle C_{e_{1}}^{J_{1}}\varepsilon _{s}^{v_{1}}+C_{e_{2}}^{J_{1}}\varepsilon _{s}^{v_{2}}+C_{e_{3}}^{J_{1}}\varepsilon _{s}^{v_{3}}=0}$

${\displaystyle C_{e_{1}}^{J_{2}}\varepsilon _{s}^{v_{1}}+C_{e_{2}}^{J_{2}}\varepsilon _{s}^{v_{2}}+C_{e_{3}}^{J_{2}}\varepsilon _{s}^{v_{3}}=0}$

${\displaystyle C_{e_{1}}^{J_{3}}\varepsilon _{s}^{v_{1}}+C_{e_{2}}^{J_{3}}\varepsilon _{s}^{v_{2}}+C_{e_{3}}^{J_{3}}\varepsilon _{s}^{v_{3}}=0}$

Используя эти теоремы, а также теоремы о суммировании потоков и связности, можно определить значения коэффициентов концентрации и управления потоком с помощью линейной алгебры . ^[6]

${\displaystyle C_{e_{1}}^{J_{2}}={\frac {\varepsilon _{2}}{\varepsilon _{2}\alpha +\varepsilon _{3}(1-\alpha )-\varepsilon _{1}}}}$

${\displaystyle C_{e_{2}}^{J_{2}}={\frac {\varepsilon _{3}(1-\alpha )-\varepsilon _{1}}{\varepsilon _{2}\alpha +\varepsilon _{3}(1-\alpha )-\varepsilon _{1}}}}$

${\displaystyle C_{e_{3}}^{J_{2}}={\frac {-\varepsilon _{2}(1-\alpha )}{\varepsilon _{2}\alpha +\varepsilon _{3}(1-\alpha )-\varepsilon _{1}}}}$

${\displaystyle C_{e_{1}}^{S_{1}}={\frac {1}{\varepsilon _{2}\alpha +\varepsilon _{3}(1-\alpha )-\varepsilon _{1}}}}$

${\displaystyle C_{e_{1}}^{S_{1}}={\frac {-\alpha }{\varepsilon _{2}\alpha +\varepsilon _{3}(1-\alpha )-\varepsilon _{1}}}}$

${\displaystyle C_{e_{3}}^{S_{1}}={\frac {-(1-\alpha )}{\varepsilon _{2}\alpha +\varepsilon _{3}(1-\alpha )-\varepsilon _{1}}}}$

• Коэффициент контроля (биохимия)
• Коэффициент упругости
• Анализ метаболического контроля