Коэффициент упругости

В химии на скорость химической реакции влияет множество различных факторов, таких как температура , pH , реагент , концентрация продуктов и другие эффекторы. Степень, в которой эти факторы изменяют скорость реакции, описывается коэффициентом упругости . Этот коэффициент определяется следующим образом:

$${\displaystyle \varepsilon _{s_{i}}^{v}=\left({\frac {\partial v}{\partial s_{i}}}{\frac {s_{i}}{v}}\right)_{s_{j},\,s_{k},\,\ldots }={\frac {\partial \ln v}{\partial \ln s_{i}}}\approx {\frac {v\%}{s_{i}\%}}}$$

где обозначает скорость реакции, а обозначает концентрацию субстрата . Имейте в виду, что в обозначениях будут использоваться строчные латинские буквы, например, для указания концентраций.${\displaystyle v}$${\displaystyle с}$${\displaystyle с,}$

Частная производная в определении указывает на то, что эластичность измеряется относительно изменений фактора S при сохранении всех других факторов постоянными. Наиболее распространенными факторами являются субстраты, продукты, ферменты и эффекторы. Масштабирование коэффициента гарантирует, что он безразмерен и не зависит от единиц, используемых для измерения скорости реакции и величины фактора. Коэффициент эластичности является неотъемлемой частью анализа метаболического контроля и был введен в начале 1970-х годов и, возможно, ранее Хенриком Качером и Бернсом ^[1] в Эдинбурге и Генрихом и Рапопортом ^[2] в Берлине.

Концепция эластичности также была описана другими авторами, наиболее известными из которых являются Саважо ^[3] в Мичигане и Кларк ^[4] в Эдмонтоне. В конце 1960-х годов Майкл Саважо ^[3] разработал инновационный подход, называемый теорией биохимических систем , который использует степенные разложения для аппроксимации нелинейностей в биохимической кинетике. Теория очень похожа на анализ метаболического контроля и очень успешно и широко использовалась для изучения свойств различных обратных связей и других регуляторных структур в клеточных сетях. Степенные разложения, используемые в анализе, вызывают коэффициенты, называемые кинетическими порядками, которые эквивалентны коэффициентам эластичности.

Брюс Кларк ^[4] в начале 1970-х годов разработал сложную теорию анализа динамической устойчивости в химических сетях. В рамках своего анализа Кларк также ввел понятие кинетических порядков и приближение степенного закона, которое было несколько похоже на степенные разложения Саважо. Подход Кларка в значительной степени опирался на определенные структурные характеристики сетей, называемые экстремальными токами (также называемые элементарными модами в биохимических системах). Кинетические порядки Кларка также эквивалентны эластичностям.

Эластичность также можно с пользой интерпретировать как средство, с помощью которого сигналы распространяются вверх или вниз по заданному пути. ^[5]

Тот факт, что разные группы независимо друг от друга ввели одну и ту же концепцию, означает, что эластичность или ее эквивалент, кинетический порядок, скорее всего, являются фундаментальной концепцией при анализе сложных биохимических или химических систем.

Коэффициенты эластичности можно рассчитать как алгебраически, так и численно.

Учитывая определение коэффициента эластичности в терминах частной производной , можно, например, определить эластичность произвольного закона скорости, дифференцируя закон скорости по независимой переменной и масштабируя. Например, коэффициент эластичности для закона скорости действия масс, такого как:

${\displaystyle v=k\ s_{1}^{n_{1}}s_{2}^{n_{2}}}$

где — скорость реакции , константа скорости реакции , — i-й химический вид, участвующий в реакции, и i-й порядок реакции, тогда эластичность можно получить, дифференцируя закон скорости по и масштабируя:${\displaystyle v}$${\displaystyle к}$${\displaystyle s_{i}}$${\displaystyle n_{i}}$${\displaystyle \varepsilon _{s_{1}}^{v}}$${\displaystyle s_{1}}$

${\displaystyle \varepsilon _{s_{1}}^{v}={\frac {\partial v}{\partial s_{1}}}{\frac {s_{1}}{v}}=n_{1}\ k\ s_{1}^{n_{1}-1}s_{2}^{n_{2}}{\frac {s_{1}}{k\ s_{1}^{n_{1}}s_{2}^{n_{2}}}}=n_{1}}$

То есть эластичность закона скорости действующих масс равна порядку реакции вида.

Например, эластичность А в реакции , где скорость реакции определяется выражением: эластичность можно оценить с помощью:${\displaystyle 2A\rightleftharpoons C}$${\displaystyle v=kA^{2}}$

${\displaystyle \varepsilon _{a}^{v}={\frac {\partial v}{\partial a}}{\frac {a}{v}}={\frac {2kaa}{ka^{2}}}=2}$

Эластичности также могут быть получены для более сложных законов скорости, таких как закон скорости Михаэлиса-Ментена . Если

${\displaystyle v={\frac {V_{\max }s}{K_{m}+s}}}$

то можно легко показать, чем

${\displaystyle \varepsilon _{s}^{v}={\frac {K_{m}}{K_{m}+s}}}$

Это уравнение иллюстрирует идею о том, что эластичности не обязательно должны быть константами (как в случае с законами действия масс), но могут быть функцией концентрации реагента. В этом случае эластичность приближается к единице при низкой концентрации реагента (s) и к нулю при высокой концентрации реагента.

Для обратимого закона скорости Михаэлиса-Ментена :

${\displaystyle v={\frac {V_{\max }/K_{m_{1}}(sp/K_{\text{eq}})}{1+s/K_{m_{1}}+p/K_{m_{2}}}}}$

где — прямое , прямое , константа равновесия и обратное , можно рассчитать два коэффициента упругости: один по отношению к субстрату, S, а другой по отношению к продукту, P. Таким образом:${\displaystyle V_{\макс }}$${\displaystyle V_{макс}}$${\displaystyle К_{м_{1}}}$${\displaystyle K_{м}}$${\displaystyle K_{eq}}$${\displaystyle К_{м_{2}}}$${\displaystyle K_{м}}$

${\displaystyle \varepsilon _{s}^{v}={\frac {1}{1-\Gamma /K_{\text{eq}}}}-{\frac {s/K_{m_{1}}}{1+s/K_{m_{1}}+p/K_{m_{2}}}}}$

${\displaystyle \varepsilon _{p}^{v}={\frac {-\Gamma /K_{\text{eq}}}{1-\Gamma /K_{\text{eq}}}}-{\frac {p/K_{m_{2}}}{1+s/K_{m_{1}}+p/K_{m_{2}}}}}$

где — отношение масс к действующим силам , то есть . Обратите внимание, что при p = 0 уравнения сводятся к случаю необратимого закона Михаэлиса–Ментен.${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle \Gamma =p/s}$

В качестве последнего примера рассмотрим уравнение Хилла :

${\displaystyle v={\frac {V_{\max }(s/K_{s})^{n}}{1+(s/K_{s})^{n}}}}$

где n — коэффициент Хилла, а — коэффициент полунасыщения (ср. закон скорости Михаэлиса–Ментен ), тогда коэффициент эластичности определяется по формуле:${\displaystyle K_{s}}$

${\displaystyle \varepsilon _{s}^{v}={\frac {n}{1+(s/K_{s})^{n}}}}$

Обратите внимание, что при низких концентрациях S эластичность приближается  к n . При высоких концентрациях S эластичность приближается к нулю. Это означает, что эластичность ограничена между нулем и коэффициентом Хилла.

Эластичность для обратимой реакции, катализируемой одним ферментом, ранее определялась по формуле:

${\displaystyle \varepsilon _{s}^{v}={\frac {1}{1-\Gamma /K_{\text{eq}}}}-{\frac {s/K_{m_{1}}}{1+s/K_{m_{1}}+p/K_{m_{2}}}}}$

${\displaystyle \varepsilon _{p}^{v}={\frac {-\Gamma /K_{\text{eq}}}{1-\Gamma /K_{\text{eq}}}}-{\frac {p/K_{m_{2}}}{1+s/K_{m_{1}}+p/K_{m_{2}}}}}$

Интересный результат можно получить, оценив сумму . Можно показать, что она равна:${\displaystyle \varepsilon _{s}^{v}+\varepsilon _{p}^{v}}$

${\displaystyle \varepsilon _{s}^{v}+\varepsilon _{p}^{v}={\frac {1}{1+s/K_{m_{1}}+p/K_{m_{2}}}}}$

Можно рассмотреть две крайности. При высокой насыщенности ( ) правый член стремится к нулю, так что:${\displaystyle s>K_{m_{1}},p>K_{m_{2}}}$

${\displaystyle \varepsilon _{s}^{v}\approx -\varepsilon _{p}^{v}}$

То есть абсолютные величины эластичностей субстрата и продукта имеют тенденцию равняться друг другу. Однако маловероятно, что данный фермент будет иметь концентрации субстрата и продукта намного больше, чем их соответствующие Kms. Более правдоподобный сценарий — когда фермент работает в условиях недонасыщения ( ). В этих условиях мы получаем более простой результат:${\displaystyle s<K_{m_{1}},p<K_{m_{2}}}$

${\displaystyle \varepsilon _{s}^{v}+\varepsilon _{p}^{v}\approx 1}$

Выражаясь по-другому, можно сказать:

${\displaystyle ||\varepsilon _{s}^{v}||>||\varepsilon _{p}^{v}||}$

То есть, абсолютное значение эластичности субстрата будет больше, чем абсолютное значение эластичности продукта. Это означает, что субстрат будет иметь большее влияние на скорость прямой реакции, чем соответствующий продукт. ^[6]

Этот результат имеет важные последствия для распределения управления потоком в пути с недонасыщенными этапами реакции. В общем, возмущение вблизи начала пути будет иметь большее влияние на поток стационарного состояния, чем этапы ниже по течению. Это происходит потому, что возмущение, которое перемещается вниз по течению, определяется всеми упругостями субстрата, тогда как возмущение ниже по течению, которое должно перемещаться вверх по течению, если оно определяется упругостями продукта. Поскольку мы видели, что упругости субстрата, как правило, больше упругостей продукта, это означает, что возмущения, перемещающиеся вниз по течению, будут меньше ослаблены, чем возмущения, перемещающиеся вверх по течению. Чистый эффект заключается в том, что управление потоком имеет тенденцию быть более сконцентрированным на этапах выше по течению по сравнению с этапами ниже по течению. ^{[7] [8]}

В таблице ниже суммированы экстремальные значения эластичности, заданные обратимым законом скорости Михаэлиса-Ментен. Согласно Вестерхоффу и др. ^[9], таблица разделена на четыре случая, которые включают один «обратимый» тип и три «необратимых» типа.

Приблизительные значения эластичности при различных условиях

Состояние равновесия	Уровни насыщенности	Эластичность
Около Равновесия	Все степени насыщенности	${\displaystyle \varepsilon _{s}^{v}\gg 1,\varepsilon _{p}^{v}\ll -1}$
Вне равновесия	Высокий субстрат, высокий продукт	${\displaystyle \varepsilon _{s}^{v}\approx -\varepsilon _{p}^{v}}$
Вне равновесия	Высокий субстрат, низкий продукт	${\displaystyle \varepsilon _{s}^{v}\approx 0,\varepsilon _{p}^{v}\approx 0}$
Вне равновесия	Низкий субстрат, высокий продукт	${\displaystyle \varepsilon _{s}^{v}\approx 1,\varepsilon _{p}^{v}\approx -1}$
Вне равновесия	Низкий субстрат, низкий продукт	${\displaystyle \varepsilon _{s}^{v}\approx 1,\varepsilon _{p}^{v}\approx 0}$

Эластичность для ферментативной катализируемой реакции по отношению к концентрации фермента имеет особое значение. Модель Михаэлиса действия фермента означает, что скорость реакции для ферментативной катализируемой реакции является линейной функцией концентрации фермента. Например, необратимый закон скорости Михаэлиса приведен ниже, где максимальная скорость явно задается произведением и общей концентрации фермента, :${\displaystyle V_{m}}$${\displaystyle k_{cat}}$${\displaystyle E_{t}}$

${\displaystyle v={\frac {k_{cat}E_{t}s}{K_{m}+s}}}$

В общем случае мы можем выразить эту зависимость как произведение концентрации фермента и функции насыщения :${\displaystyle f(s)}$

${\displaystyle v=E_{t}f(s)}$

Эта форма применима ко многим ферментным механизмам. Коэффициент эластичности можно вывести следующим образом:

${\displaystyle \varepsilon _{E_{t}}^{v}={\frac {\partial v}{\partial E_{t}}}{\frac {E_{t}}{v}}=f(s){\frac {E_{t}}{E_{t}f(s)}}=1}$

Именно этот результат приводит к теоремам о суммировании коэффициентов управления .

Коэффициент эластичности также можно вычислить численно, что часто делается в программном обеспечении для моделирования. ^[10]

Например, можно внести небольшое изменение (скажем, 5%) в выбранную концентрацию реагента и записать изменение скорости реакции. Чтобы проиллюстрировать это, предположим, что эталонная скорость реакции равна , а эталонная концентрация реагента . Если мы увеличим концентрацию реагента на и запишем новую скорость реакции как , то эластичность можно оценить с помощью коэффициента разности Ньютона :${\displaystyle v_{o}}$${\displaystyle s_{o}}$${\displaystyle \Delta s_{o}}$${\displaystyle v_{1}}$

${\displaystyle \varepsilon _{s}^{v}\simeq {\frac {v_{1}-v_{o}}{\Delta s_{o}}}{\frac {s_{o}}{v_{o}}}={\frac {v_{1}-v_{o}}{v_{o}}}/{\frac {s_{1}-s_{o}}{s_{o}}}}$

Гораздо лучшую оценку эластичности можно получить, выполнив два отдельных возмущения в . Одно возмущение для увеличения и другое для уменьшения . В каждом случае регистрируется новая скорость реакции; это называется методом двухточечной оценки . Например, если — скорость реакции при увеличении , а — скорость реакции при уменьшении , то мы можем использовать следующую двухточечную формулу для оценки эластичности:${\displaystyle s_{o}}$${\displaystyle s_{o}}$${\displaystyle s_{o}}$${\displaystyle v_{1}}$${\displaystyle s_{o}}$${\displaystyle v_{2}}$${\displaystyle s_{o}}$

${\displaystyle \varepsilon _{s}^{v}\simeq {\frac {1}{2}}{\frac {v_{1}-v_{2}}{s_{1}-s_{o}}}\left({\frac {s_{o}}{v_{o}}}\right)}$

Рассмотрим переменную как некоторую функцию , то есть . Если увеличивается от до , то изменение значения будет дано выражением . Пропорциональное изменение, однако, дается выражением:${\displaystyle y}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle y=f(x)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$${\displaystyle (x+h)}$${\displaystyle y}$${\displaystyle f(x+h)-f(x)}$

${\displaystyle {\frac {f(x+h)-f(x)}{f(x)}}}$

Скорость пропорционального изменения в точке определяется приведенным выше выражением, деленным на шаг изменения значения , а именно :${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$${\displaystyle h}$

Скорость пропорционального изменения${\displaystyle =}$

${\displaystyle \lim _{h\rightarrow 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{hf(x)}}={\frac {1}{f(x)}}\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}={\frac {1}{y}}{\frac {dy}{dx}}}$

Используя исчисление, мы знаем, что

${\displaystyle {\frac {d\ln y}{dx}}={\frac {1}{y}}{\frac {dy}{dx}}}$,

поэтому скорость пропорционального изменения равна:

${\displaystyle {\frac {d\ln y}{dx}}}$

Эта величина служит мерой скорости пропорционального изменения функции . Так же, как измеряет градиент кривой, построенной в линейном масштабе, измеряет наклон кривой, построенной в полулогарифмическом масштабе, то есть скорость пропорционального изменения. Например, значение означает, что кривая увеличивается на единицу .${\displaystyle y}$${\displaystyle dy/dx}$${\displaystyle y=f(x)}$${\displaystyle d\ln y/dx}$${\displaystyle 0.05}$${\displaystyle 5\%}$${\displaystyle x}$

Тот же аргумент можно применить к случаю, когда мы строим график функции в обоих масштабах : и логарифмическом. В таком случае справедлив следующий результат:${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$

${\displaystyle {\frac {d\ln y}{d\ln x}}={\frac {x}{y}}{\frac {dy}{dx}}}$

Подход, который поддается алгебраическому расчету методами компьютерной алгебры, заключается в дифференциации в логарифмическом пространстве. Поскольку эластичность может быть определена логарифмически, то есть:

${\displaystyle \varepsilon _{s}^{v}={\frac {\partial \ln v}{\partial \ln s}}}$

дифференцирование в логарифмическом пространстве является очевидным подходом. Логарифмическое дифференцирование особенно удобно в алгебраическом программном обеспечении, таком как Mathematica или Maple, где можно определить правила логарифмического дифференцирования. ^[11]

Более подробное рассмотрение и правила дифференциации в логарифмическом пространстве можно найти в разделе Эластичность функции .

Немасштабированные эластичности можно изобразить в матричной форме, называемой немасштабированной матрицей эластичности, . При наличии сети с молекулярными видами и реакциями немасштабированная матрица эластичности определяется как:${\displaystyle {\mathcal {E}}}$${\displaystyle m}$${\displaystyle n}$

${\displaystyle {\mathcal {E}}={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial v_{1}}{\partial s_{1}}}&\cdots &{\dfrac {\partial v_{1}}{\partial s_{m}}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\dfrac {\partial v_{n}}{\partial s_{1}}}&\cdots &{\dfrac {\partial v_{n}}{\partial s_{m}}}\end{bmatrix}}.}$

Аналогично можно определить матрицу масштабированных эластичностей:

${\displaystyle \mathbf {\varepsilon } ={\begin{bmatrix}\varepsilon _{s_{1}}^{v_{1}}&\cdots &\varepsilon _{s_{m}}^{v_{1}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\\varepsilon _{s_{1}}^{v_{n}}&\cdots &\varepsilon _{s_{m}}^{v_{n}}\end{bmatrix}}.}$

• Коэффициент контроля (биохимия)
• Анализ метаболического контроля

• Корниш-Боуден, Атель (1995). Основы кинетики ферментов . Portland Press.
• Фелл Д. (1997). Понимание контроля метаболизма . Portland Press.
• Генрих, Рейнхарт; Шустер, Стефан (1996). Регуляция клеточных систем . Чепмен и Холл.