3 21 многогранник

Однородный 7-мерный многогранник

Ортогональные проекции в плоскости Коксетера E ₇
3 ₂₁	2 ₃₁		1 ₃₂
Исправлено 3 ₂₁		биректифицированный 3 ₂₁
Исправлено 2 ₃₁		Исправлено 1 ₃₂

В 7-мерной геометрии многогранник 3 ₂₁ является однородным 7-мерным многогранником , построенным в рамках симметрии группы E _7. Он был открыт Торолдом Госсетом и опубликован в его статье 1900 года. Он назвал его 7-мерной полуправильной фигурой . ^[1]

Его символ Коксетера — 3 ₂₁ , описывающий его бифуркационную диаграмму Коксетера-Дынкина с одним кольцом на конце одной из последовательностей из 3 узлов.

Выпрямленный 3 ₂₁ строится по точкам в средних ребрах 3 _21. Двуспрямленный 3 ₂₁ строится по точкам в центрах треугольных граней 3 _21. Триспрямленный 3 ₂₁ строится по точкам в тетраэдрических центрах 3 ₂₁ и совпадает с выпрямленным 1 ₃₂ .

Эти многогранники являются частью семейства из 127 (2 ⁷ -1) выпуклых однородных многогранников в 7-мерном пространстве , состоящих из однородных граней и вершинных фигур 6-многогранников , определяемых всеми перестановками колец в этой диаграмме Коксетера-Дынкина :.

3₂₁многогранник

3 ₂₁ многогранник
Тип	Однородный 7-многогранник
Семья	многогранник k ₂₁
Символ Шлефли	{3,3,3,3 ^2,1 }
символ Коксетера	3 ₂₁
Диаграмма Коксетера
6-гранный	702 всего: 126 3 ₁₁ 576 {3 ⁵ }
5-гранный	6048: 4032 {3 ⁴ } 2016 {3 ⁴ }
4-х гранный	12096 {3 ³ }
Клетки	10080 {3,3}
Лица	4032 {3}
Края	756
Вершины	56
Вершинная фигура	2 ₂₁ многогранник
Петри полигон	октадекагон
Группа Коксетера	Е ₇ , [3 ^3,2,1 ], заказ 2903040
Характеристики	выпуклый

В 7-мерной геометрии многогранник 3 ₂₁ является однородным многогранником . Он имеет 56 вершин и 702 грани: 126 3 ₁₁ и 576 6-симплексов .

Для визуализации этот 7-мерный многогранник часто отображается в специальном наклонном ортографическом направлении проекции, которое вписывает его 56 вершин в 18-угольный правильный многоугольник (называемый многоугольником Петри ). Его 756 ребер нарисованы между 3 кольцами по 18 вершин и 2 вершинами в центре. Определенные высшие элементы (грани, ячейки и т. д.) также могут быть извлечены и нарисованы на этой проекции.

1- скелет многогранника 3 ₂₁ представляет собой граф Госсета .

Этот многогранник, наряду с 7-симплексом , может замостить 7-мерное пространство, представленное 3 ₃₁ и диаграммой Коксетера-Дынкина:.

Альтернативные названия

Его также называют многогранником Гесса по имени Эдмунда Гесса, который его впервые открыл.
Он был перечислен Торольдом Госсетом в его статье 1900 года. Он назвал его 7-ic полуправильной фигурой . ^[1]
Э. Л. Элте назвал его V ₅₆ (из-за 56 вершин) в своем списке полуправильных многогранников 1912 года. ^[2]
HSM Коксетер назвал его 3 ₂₁ из-за его бифурцирующей диаграммы Коксетера-Дынкина , имеющей 3 ветви длиной 3, 2 и 1, и имеющую одно кольцо на конечном узле 3 ветви.
Гекатоникосигекса-пентакосигептаконтигекса-экзон (сокращение Naq) - 126-576 фасетный полиэкзон (Джонатан Бауэрс) ^[3]

Координаты

56 вершин можно проще всего представить в 8-мерном пространстве, получив 28 перестановок координат и их противоположностей:

± (-3, -3, 1, 1, 1, 1, 1, 1)

Строительство

Его конструкция основана на группе E7 . Коксетер назвал его 3 ₂₁ по его бифурцирующей диаграмме Коксетера-Дынкина с одним кольцом на конце последовательности из 3 узлов.

Информацию о фасетах можно извлечь из диаграммы Коксетера-Дынкина ,.

Удаление узла на короткой ветви оставляет 6-симплекс ,.

Удаление узла на конце ветви длиной 2 оставляет 6-ортоплекс в его измененной форме: 3 ₁₁ ,.

Каждая симплексная грань касается 6-ортоплексной грани, в то время как чередующиеся грани ортоплекса касаются либо симплекса, либо другого ортоплекса.

Вершинная фигура определяется путем удаления окольцованного узла и окольцования соседнего узла. Это дает 2 ₂₁ многогранник,.

Рассматривая матрицу конфигурации , количество элементов можно получить путем удаления зеркал и отношений порядков групп Кокстера . ^[4]

Е ₇	к -лицо	ф _к	ф ₀	ф ₁	ф ₂	ф ₃	ф ₄	ф ₅		ф ₆		k -цифры	примечания
Е ₆	( )	ф ₀	56	27	216	720	1080	432	216	72	27	2 ₂₁	Е ₇ /Е ₆ = 72x8!/72x6! = 56
Д ₅ А ₁	{ }	ф ₁	2	756	16	80	160	80	40	16	10	5-демикуб	Э ₇ /Д ₅ А ₁ = 72x8!/16/5!/2 = 756
А ₄ А ₂	{3}	ф ₂	3	3	4032	10	30	20	10	5	5	выпрямленный 5-элементный	Е ₇ /А ₄ А ₂ = 72x8!/5!/2 = 4032
А ₃ А ₂ А ₁	{3,3}	ф ₃	4	6	4	10080	6	6	3	2	3	треугольная призма	Э ₇ /А ₃ А ₂ А ₁ = 72x8!/4!/3!/2 = 10080
А ₄ А ₁	{3,3,3}	ф ₄	5	10	10	5	12096	2	1	1	2	равнобедренный треугольник	Е ₇ /А ₄ А ₁ = 72x8!/5!/2 = 12096
А ₅ А ₁	{3,3,3,3}	ф ₅	6	15	20	15	6	4032	*	1	1	{ }	Е ₇ /А ₅ А ₁ = 72x8!/6!/2 = 4032
А ₅	{3,3,3,3}	ф ₅	6	15	20	15	6	*	2016	0	2	{ }	Э ₇ /А ₅ = 72x8!/6! = 2016
А ₆	{3,3,3,3,3}	ф ₆	7	21	35	35	21	10	0	576	*	( )	Э ₇ /А ₆ = 72x8!/7! = 576
Д ₆	{3,3,3,3,4}	ф ₆	12	60	160	240	192	32	32	*	126	( )	Э ₇ /Д ₆ = 72x8!/32/6! = 126

Изображения

Проекции плоскости Коксетера
Е7	Е6 / Ф4	В7/А6
[18]	[12]	[7x2]
А5	Д7/Б6	Д6/Б5
[6]	[12/2]	[10]
Д5 / В4 / А4	Д4 / В3 / А2 / Г2	Д3 / В2 / А3
[8]	[6]	[4]

Связанные многогранники

3 ₂₁ является пятым в размерной серии полуправильных многогранников . Каждый прогрессивный однородный многогранник строится из вершинной фигуры предыдущего многогранника. Торольд Госсет определил эту серию в 1900 году как содержащую все грани правильного многогранника , содержащую все симплексы и ортоплексы .

k ₂₁ фигура в n измерениях
Космос	Конечный						Евклидов	Гиперболический
Е _н	3	4	5	6	7	8	9	10
Группа Коксетера	Э ₃ =А ₂ А ₁	Э ₄ =А ₄	Э ₅ =Д ₅	Е ₆	Е ₇	Е ₈	Э ₉ = = Э ₈⁺ ${\tilde {E}}_{8}$	Е ₁₀ = = Е ₈⁺⁺ ${\bar {T}}_{8}$
Диаграмма Коксетера
Симметрия	[3 ^−1,2,1 ]	[3 ^0,2,1 ]	[3 ^1,2,1 ]	[3 ^2,2,1 ]	[3 ^3,2,1 ]	[3 ^4,2,1 ]	[3 ^5,2,1 ]	[3 ^6,2,1 ]
Заказ	12	120	1,920	51,840	2,903,040	696,729,600	∞
График							-	-
Имя	−1 ₂₁	0 ₂₁	1 ₂₁	2 ₂₁	321	4 ₂₁	5 ₂₁	6 ₂₁

Он находится в размерной серии однородных многогранников и сот, выраженной Коксетером как серия 3 _k1 . (Вырожденный 4-мерный случай существует как 3-сферная мозаика, тетраэдральный осоэдр .)

3 _к1 объемные фигуры
Космос	Конечный				Евклидов	Гиперболический
н	4	5	6	7	8	9
Группа Коксетера	А ₃ А ₁	А ₅	Д ₆	Е ₇	${\tilde {E}}_{7}$ =Э ₇⁺	${\bar {T}}_{8}$ =Э ₇⁺⁺
Диаграмма Коксетера
Симметрия	[3 ^−1,3,1 ]	[3 ^0,3,1 ]	[[3 ^1,3,1 ]] = [4,3,3,3,3]	[3 ^2,3,1 ]	[3 ^3,3,1 ]	[3 ^4,3,1 ]
Заказ	48	720	46,080	2,903,040	∞
График					-	-
Имя	3 _1,-1	3 ₁₀	3 ₁₁	321	3 ₃₁	341