Индексный эллипсоид

В кристаллооптике эллипсоид показателя преломления (также известный как оптическая индикатриса ^[1] или иногда как диэлектрический эллипсоид ^[2] ) представляет собой геометрическую конструкцию, которая кратко представляет показатели преломления и связанные с ними поляризации света как функции ориентации волнового фронта в двупреломляющем кристалле ( при условии, что кристалл не демонстрирует оптического вращения ). Когда этот эллипсоид пересекается через его центр плоскостью, параллельной волновому фронту, результирующее пересечение (называемое центральным сечением или диаметральным сечением ) представляет собой эллипс, большая и малая полуоси которого имеют длины, равные двум показателям преломления для этой ориентации волнового фронта, и имеют направления соответствующих поляризаций, выраженные вектором электрического смещения D . ^[3] Главные полуоси эллипсоида показателя преломления называются главными показателями преломления . ^[4]

Из процедуры секционирования следует, что каждая главная полуось эллипсоида, как правило, не является показателем преломления для распространения в направлении этой полуоси, а скорее показателем преломления для распространения перпендикулярно этой полуоси, с вектором D , параллельным этой полуоси (и параллельным волновому фронту). Таким образом, направление распространения (нормальное к волновому фронту), к которому применяется каждый главный показатель преломления, находится в плоскости, перпендикулярной соответствующей главной полуоси.

Эллипсоид показателя преломления не следует путать с поверхностью показателя преломления , радиус-вектор которой (от начала координат) в любом направлении действительно является показателем преломления для распространения в этом направлении; для двулучепреломляющей среды поверхность показателя преломления представляет собой двухслойную поверхность, два радиус-вектора которой в любом направлении имеют длины, равные большой и малой полуосям диаметрального сечения эллипсоида показателя преломления плоскостью, нормальной к этому направлению.

Если обозначить главные полуоси индексного эллипсоида и выбрать декартову систему координат, в которой эти полуоси находятся соответственно в направлениях , и , то уравнение индексного эллипсоида будет иметь вид${\displaystyle n_{\text{a}},n_{\text{b}},n_{\text{c}}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle у}$${\displaystyle z}$

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{n_{\text{a}}^{2}}}+{\frac {y^{2}}{n_{\text{b}}^{2}}}+{\frac {z^{2}}{n_{\text{c}}^{2}}}=1\,.}$

1

Если индексный эллипсоид является триаксиальным (что означает, что все его главные полуоси не равны), существуют две секущие плоскости, для которых диаметральное сечение сводится к окружности. Для волновых фронтов, параллельных этим плоскостям, все поляризации разрешены и имеют одинаковый показатель преломления, следовательно, одинаковую скорость волны. Направления, нормальные к этим двум плоскостям, то есть направления единой скорости волны для всех поляризаций, называются осями бинормали ^[5] или оптическими осями , ^[6] и поэтому среда называется двухосной . ^{[Примечание 1]} Таким образом, как это ни парадоксально, если индексный эллипсоид среды является трехосным , сама среда называется двухосной .

Если две главные полуоси индексного эллипсоида равны (в этом случае их общая длина называется обычным индексом, а третья длина — необыкновенным индексом), эллипсоид сводится к сфероиду (эллипсоиду вращения), и две оптические оси сливаются, так что среда называется одноосной . ^{[Примечание 2]} Когда индексный эллипсоид сводится к сфероиду, двулистная индексная поверхность, построенная из него, сводится к сфере и сфероиду, касающимся противоположными концами их общей оси, которая параллельна оси индексного эллипсоида; ^[7] но главные оси сфероидального индексного эллипсоида и сфероидальный лист индексной поверхности меняются местами. В хорошо известном случае кальцита , например, индексный эллипсоид представляет собой сплющенный сфероид , так что один слой индексной поверхности представляет собой сферу, касающуюся этого сплющенного сфероида на экваторе, в то время как другой слой индексной поверхности представляет собой вытянутый сфероид, касающийся сферы на полюсах, с экваториальным радиусом (необыкновенным индексом), равным полярному радиусу сплющенного сфероидального индексного эллипсоида. ^{[Примечание 3]}

Если все три главные полуоси эллипсоида индекса равны, он сводится к сфере: все диаметральные сечения эллипсоида индекса являются круговыми, откуда все поляризации разрешены для всех направлений распространения, с тем же показателем преломления для всех направлений, и поверхность индекса сливается с (сферическим) эллипсоидом индекса; короче говоря, среда оптически изотропна . Кубические кристаллы демонстрируют это свойство ^[8] , а также аморфные прозрачные среды, такие как стекло и вода. ^[9]

Поверхность, аналогичная индексному эллипсоиду, может быть определена для скорости волны (нормальной к волновому фронту) вместо индекса преломления. Пусть n обозначает длину радиус-вектора от начала координат до общей точки на индексном эллипсоиде. Тогда деление уравнения ( 1 ) на n ² дает

${\displaystyle {\frac {\cos ^{2}\xi}{n_{\text{a}}^{2}}}+{\frac {\cos ^{2}\eta}{n_{\text{b}}^{2}}}+{\frac {\cos ^{2}\zeta}{n_{\text{c}}^{2}}}={\frac {1}{n^{2}}}\,,}$

2

где , , и являются направляющими косинусами радиус-вектора. Но n также является показателем преломления для волнового фронта, параллельного диаметральному сечению, радиус-вектор которого является большой или малой полуосью. Если этот волновой фронт имеет скорость , мы имеем , где - скорость света в вакууме. ^{[Примечание 4]} Для главных полуосей индексного эллипсоида, для которых n принимает значения пусть возьмем значения a, b, c , соответственно, так что и . Выполняя эти замены в ( 2 ) и сокращая общий множитель , мы получаем${\displaystyle \cos \xi }$${\displaystyle \cos \eta }$${\displaystyle \cos \дзета}$${\displaystyle v}$${\displaystyle n=c_{0}/v}$${\displaystyle c_{0}}$${\displaystyle n_{\text{a}},n_{\text{b,}}n_{\text{c}},}$${\displaystyle v}$${\displaystyle n_{\text{a}}=c_{0}/a,}$  ${\displaystyle n_{\text{b}}=c_{0}/b,}$${\displaystyle n_{\text{c}}=c_{0}/c}$${\displaystyle c_{0}^{2}}$

${\displaystyle v^{2}=a^{2}\cos ^{2}\xi +b^{2}\cos ^{2}\eta +c^{2}\cos ^{2}\zeta \,.}$

3

Это уравнение было выведено Огюстеном-Жаном Френелем в январе 1822 года. ^[10] Если — длина радиус-вектора, то уравнение описывает поверхность, обладающую тем свойством, что большая и малая полуоси любого диаметрального сечения имеют длины, равные нормальным к волне скоростям волновых фронтов, параллельных этому сечению, и направлениям того, что Френель называл «колебаниями» (которые мы теперь распознаем как колебания D ) .${\displaystyle v}$

В то время как поверхность, описываемая ( 1 ), находится в индексном пространстве (в котором координаты являются безразмерными числами), поверхность, описываемая ( 3 ), находится в пространстве скоростей (в котором координаты имеют единицы скорости). В то время как первая поверхность имеет 2-ю степень, последняя — 4-ю степень, что можно проверить, переопределив как компоненты скорости и подставив и т. д.; таким образом, последняя поверхность ( 3 ) в общем случае не является эллипсоидом, а представляет собой другой вид овалоида . И поскольку индексный эллипсоид порождает индексную поверхность, так и поверхность ( 3 ) тем же самым процессом порождает то, что мы называем поверхностью нормальной скорости . ^{[Примечание 5]} Следовательно, поверхность ( 3 ) можно было бы разумно назвать «овалоидом нормальной скорости». Френель, однако, назвал ее поверхностью упругости , потому что он вывел ее, предположив, что световые волны являются поперечными упругими волнами, что среда имеет три перпендикулярных направления, в которых смещение молекулы создает возвращающую силу в точно противоположном направлении, и что возвращающая сила, вызванная векторной суммой смещений, является векторной суммой возвращающих сил, вызванных отдельными смещениями. ^[10]${\displaystyle x,y,z}$${\displaystyle \cos \xi =x/v}$

Френель вскоре понял, что эллипсоид, построенный на тех же главных полуосях, что и поверхность упругости, имеет такое же отношение к скоростям лучей, какое поверхность упругости имеет к нормальным к волне скоростям. ^{[11] [12]} Эллипсоид Френеля теперь называется эллипсоидом лучей . Таким образом, в современных терминах эллипсоид лучей генерирует скорости лучей , как эллипсоид показателей преломления генерирует показатели преломления. Большая и малая полуоси диаметрального сечения эллипсоида лучей находятся в разрешенных направлениях вектора электрического поля E. ^[13]

Термин индексная поверхность был введен Джеймсом МакКуллахом в 1837 году. ^[14] В предыдущей статье, прочитанной в 1833 году, МакКуллах назвал эту поверхность «поверхностью преломления» и показал, что она образована большой и малой полуосями диаметрального сечения эллипсоида, главные полуоси которого обратно пропорциональны главным полуосям эллипсоида Френеля, ^[15] и который МакКуллах позже назвал «эллипсоидом индексов». ^[16] В 1891 году Лазарус Флетчер назвал этот эллипсоид оптической индикатрисой . ^[17]

Вывод индексного эллипсоида и его порождающего свойства из электромагнитной теории нетривиален. ^{[18] Однако,} имея индексный эллипсоид, мы можем легко связать его параметры с электромагнитными свойствами среды.

Скорость света в вакууме равна , где и — соответственно магнитная проницаемость и электрическая проницаемость вакуума. Для прозрачной материальной среды мы все еще можем разумно предположить, что магнитная проницаемость равна (особенно на оптических частотах), ^[19], но ее необходимо заменить на , где — относительная диэлектрическая проницаемость (также называемая диэлектрической постоянной ), так что скорость волны становится Разделив на , получаем показатель преломления: Этот вывод трактуется как скаляр, что справедливо в изотропной среде. В анизотропной среде результат справедлив только для тех комбинаций направления распространения и поляризации, которые избегают анизотропии, то есть для тех случаев, когда вектор электрического смещения D параллелен вектору электрического поля E , как в изотропной среде. Ввиду симметрии эллипсоида индекса это должны быть случаи, когда D находится в направлении одной из осей. Итак, обозначая относительные диэлектрические проницаемости в направлениях , и через (так называемые главные диэлектрические постоянные ), и вспоминая, что обозначают показатели преломления для этих направлений D , мы должны иметь указание на то, что полуоси эллипсоида показателя преломления являются квадратными корнями главных диэлектрических постоянных. ^[20] Подставляя эти выражения в ( 1 ), получаем уравнение эллипсоида показателя преломления в альтернативной форме ^[21], что объясняет, почему его также называют диэлектрическим эллипсоидом.$${\displaystyle c_{0}=1{\big ][\sqrt {\mu _{0}\epsilon _{0}}}\,,}$$${\displaystyle \mu _{0}}$${\displaystyle \epsilon _{0}}$${\displaystyle \mu _{0}}$${\displaystyle \epsilon _{0}}$${\displaystyle \epsilon _{\text{r}}\epsilon _{0}\;\!,}$${\displaystyle \epsilon _{\text{r}}}$$${\displaystyle v=1{\big /}{\sqrt {\mu _{0}\epsilon _{\text{r}}\epsilon _{0}}}\,.}$$${\displaystyle c_{0}}$${\displaystyle v}$$${\displaystyle n={\sqrt {\epsilon _{\text{r}}}}\,.}$$${\displaystyle \epsilon _{\text{r}}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle у}$${\displaystyle z}$${\displaystyle \epsilon _{x}\;\!,\epsilon _{y},\epsilon _{z}}$${\displaystyle n_{\text{a}},n_{\text{b}},n_{\text{c}}}$$${\displaystyle n_{\text{a}}={\sqrt {\epsilon _{x}}}~;~~n_{\text{b}}={\sqrt {\epsilon _{y}}}~;~~n_{\text{c}}={\sqrt {\epsilon _{z}}}~,}$$$${\displaystyle {\frac {x^{2}}{\epsilon _{x}}}+{\frac {y^{2}}{\epsilon _{y}}}+{\frac {z^{ 2}}{\epsilon _{z}}}=1\,,}$$

• Двойное лучепреломление
• Комплексный показатель преломления
• Кристаллическая оптика
• D-ДИА
• Математическое описание непрозрачности

• М. Борн и Э. Вольф, 2002, Принципы оптики , 7-е изд., Cambridge University Press, 1999 (переиздано с исправлениями, 2002), ISBN 978-0-521-64222-4 . 
• А. Френель (ред. Х. де Сенармон, Э. Верде и Л. Френель), 1868, Oeuvres complètes d'Augustin Fresnel , Париж: Imprimerie Impériale (3 тома, 1866–70), том. 2 (1868 г.).
• FA Jenkins и HE White, 1976, Основы оптики , 4-е изд., Нью-Йорк: McGraw-Hill, ISBN 0-07-032330-5 . 
• Л. Д. Ландау и Е. М. Лифшиц (пер. Дж. Б. Сайкс и Дж. С. Белл), 1960, Электродинамика сплошных сред (т. 8 Курса теоретической физики ), Лондон: Pergamon Press.
• А. Ярив и П. Йе, 1984, Оптические волны в кристаллах: распространение и управление лазерным излучением , Нью-Йорк: Wiley, ISBN 0-471-09142-1 . 
• Ф. Зернике и Дж. Э. Мидвинтер, 1973, Прикладная нелинейная оптика , Нью-Йорк: Wiley (перепечатано Mineola, NY: Dover, 2006).