L-функция Артина

В математике L -функция Артина — это тип ряда Дирихле , связанного с линейным представлением ρ группы Галуа G. Эти функции были введены в 1923 году Эмилем Артином в связи с его исследованиями в области теории полей классов . Их фундаментальные свойства, в частности гипотеза Артина, описанная ниже, оказались устойчивыми к простому доказательству. Одной из целей предлагаемой неабелевой теории полей классов является включение комплексно-аналитической природы L -функций Артина в более широкую структуру, такую ​​как предоставляемая автоморфными формами и программой Ленглендса . До сих пор только небольшая часть такой теории была поставлена ​​на прочную основу.

Дано представление на конечномерном комплексном векторном пространстве , где — группа Галуа конечного расширения числовых полей, функция Артина определяется произведением Эйлера . Для каждого простого идеала в кольце целых чисел существует множитель Эйлера, который проще всего определить в случае, когда не разветвлен в (верно для почти всех ). В этом случае элемент Фробениуса определяется как класс сопряженности в . Следовательно, характеристический многочлен для хорошо определен. Множитель Эйлера для — это небольшая модификация характеристического многочлена, столь же хорошо определенная,${\displaystyle \ро}$${\displaystyle G}$${\displaystyle V}$${\displaystyle G}$ ${\displaystyle Л/К}$${\displaystyle L}$${\displaystyle L(\rho ,s)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle К}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle L}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle \mathbf {Фроб} ({\mathfrak {p}})}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \rho (\mathbf {Frob} ({\mathfrak {p}}))}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$

${\displaystyle \operatorname {charpoly} (\rho (\mathbf {Frob} ({\mathfrak {p}})))^{-1} =\operatorname {det} \left[It\rho (\mathbf {Frob } ({\mathfrak {p}}))\right]^{-1},}$

как рациональная функция от t , вычисленная при , с комплексной переменной в обычной нотации дзета-функции Римана . (Здесь N — полевая норма идеала.)${\displaystyle t=N({\mathfrak {p}})^{-s}}$${\displaystyle с}$

Когда разветвлено, а I — группа инерции , которая является подгруппой G , применяется аналогичная конструкция, но к подпространству V , фиксированному (поточечно) I. ^{[примечание 1]}${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$

Тогда L-функция Артина является бесконечным произведением по всем простым идеалам этих множителей. Как показывает взаимность Артина , когда G является абелевой группой, эти L -функции имеют второе описание (как L -функции Дирихле , когда K является полем рациональных чисел , и как L -функции Гекке в целом). Новизна приходит с неабелевыми G и их представлениями.${\displaystyle L(\rho ,s)}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$

Одно из приложений — дать факторизации дзета-функций Дедекинда , например, в случае числового поля, которое является Галуа над рациональными числами. В соответствии с разложением регулярного представления на неприводимые представления , такая дзета-функция распадается на произведение L -функций Артина для каждого неприводимого представления G. Например, простейшим случаем является случай, когда G является симметрической группой из трех букв. Поскольку G имеет неприводимое представление степени 2, L -функция Артина для такого представления возникает, в квадрате, в факторизации дзета-функции Дедекинда для такого числового поля, в произведении с дзета-функцией Римана (для тривиального представления ) и L -функцией типа Дирихле для сигнатурного представления.

Точнее, для расширения Галуа степени n , факторизация${\displaystyle Л/К}$

${\displaystyle \zeta _{L}(s)=L(s,\rho _{\text{regular}})=\prod _{\rho {\text{Irr rep }}{\text{Gal}}(L/K)}L(\rho ,s)^{\deg(\rho )}}$

следует из

${\displaystyle L(\rho ,s)=\prod _{{\mathfrak {p}}\in K}{\frac {1}{\det \left[IN({\mathfrak {p}})^{-s}\rho (\mathbf {Frob} _{\mathfrak {p}}){|V_{{\mathfrak {p}},\rho }}\right]}}}$

${\displaystyle -\log \det \left[IN({\mathfrak {p}})^{-s}\rho \left(\mathbf {Frob} _{\mathfrak {p}}\right)\right]=\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {{\text{tr}}(\rho (\mathbf {Frob} _{\mathfrak {p}})^{m})}{m}}N({\mathfrak {p}})^{-sm}}$

${\displaystyle \sum _{\rho {\text{ Irr}}}\deg(\rho ){\text{tr}}(\rho (\sigma ))={\begin{cases}n&\sigma =1\\0&\sigma \neq 1\end{cases}}}$

${\displaystyle -\sum _{\rho {\text{ Irr}}}\deg(\rho )\log \det \left[IN\left({\mathfrak {p}}^{-s}\right)\rho \left(\mathbf {Frob} _{\mathfrak {p}}\right)\right]=n\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {N({\mathfrak {p}})^{-sfm}}{fm}}=-\log \left[\left(1-N({\mathfrak {p}})^{-sf}\right)^{\frac {n}{f}}\right]}$

где — кратность неприводимого представления в регулярном представлении, f — порядок , а n заменяется на n/e в разветвленных простых числах.${\displaystyle \deg(\rho )}$${\displaystyle \mathbf {Frob} _ {\mathfrak {p}}}$

Поскольку характеры являются ортонормированным базисом функций класса , то после демонстрации некоторых аналитических свойств мы получаем теорему Чеботарева о плотности как обобщение теоремы Дирихле об арифметических прогрессиях .${\displaystyle L(\rho ,s)}$

L-функции Артина удовлетворяют функциональному уравнению . Функция связана по своим значениям с , где обозначает комплексно-сопряженное представление . Точнее, L заменяется на , которое представляет собой L, умноженное на определенные гамма-множители , и тогда имеет место уравнение мероморфных функций${\displaystyle L(\rho ,s)}$${\displaystyle L(\rho ^{*},1-s)}$${\displaystyle \ро ^{*}}$${\displaystyle \Лямбда (\ро ,s)}$

${\displaystyle \Lambda (\rho ,s)=W(\rho )\Lambda (\rho ^{*},1-s)}$,

с определенным комплексным числом W (ρ) абсолютного значения 1. Это корневое число Артина . Оно было глубоко изучено в отношении двух типов свойств. Во-первых, Роберт Ленглендс и Пьер Делинь установили факторизацию в локальные константы Ленглендса–Делиня ; это важно в отношении предположительных отношений к автоморфным представлениям . Кроме того, случай, когда ρ и ρ* являются эквивалентными представлениями , — это как раз тот случай, когда функциональное уравнение имеет одну и ту же L-функцию с каждой стороны. Это, алгебраически говоря, случай, когда ρ является действительным представлением или кватернионным представлением . Корневое число Артина, таким образом, равно либо +1, либо −1. Вопрос о том, какой знак возникает, связан с теорией модулей Галуа . ^[1]

Гипотеза Артина о L-функциях Артина утверждает, что L-функция Артина нетривиального неприводимого представления ρ является аналитической во всей комплексной плоскости. ^[2]${\displaystyle L(\rho ,s)}$

Это известно для одномерных представлений, L-функции затем ассоциируются с характерами Гекке — и в частности для L-функций Дирихле . ^[2] В более общем смысле Артин показал, что гипотеза Артина верна для всех представлений, индуцированных из одномерных представлений. Если группа Галуа сверхразрешима или , в более общем смысле, мономиальна , то все представления имеют эту форму, так что гипотеза Артина верна.

Андре Вейль доказал гипотезу Артина в случае функциональных полей .

Двумерные представления классифицируются по природе подгруппы образа: она может быть циклической, диэдральной, тетраэдрической, октаэдрической или икосаэдрической. Гипотеза Артина для циклического или диэдрального случая легко следует из работы Эриха Хекке . Ленглендс использовал подъем с заменой основания для доказательства тетраэдрического случая, а Джерролд Таннелл расширил свою работу, чтобы охватить октаэдрический случай; ^[3] Эндрю Уайлс использовал эти случаи в своем доказательстве гипотезы модульности . Ричард Тейлор и другие добились определенного прогресса в (неразрешимом) икосаэдрическом случае; это активная область исследований. Гипотеза Артина для нечетных, неприводимых, двумерных представлений следует из доказательства гипотезы модульности Серра , независимо от проективной подгруппы образа.

Теорема Брауэра об индуцированных характерах подразумевает, что все L-функции Артина являются произведениями положительных и отрицательных целых степеней L-функций Гекке и, следовательно, мероморфны во всей комплексной плоскости.

Ленглендс (1970) указал, что гипотеза Артина следует из достаточно сильных результатов философии Ленглендса , касающихся L-функций, связанных с автоморфными представлениями для GL(n) для всех . Точнее, гипотезы Ленглендса связывают автоморфное представление адельной группы GL _n ( A _Q ) с каждым n -мерным неприводимым представлением группы Галуа, которое является каспидальныим представлением , если представление Галуа неприводимо, так что L-функция Артина представления Галуа совпадает с автоморфной L-функцией автоморфного представления. Гипотеза Артина тогда немедленно следует из известного факта, что L-функции каспидальныих автоморфных представлений голоморфны. Это было одним из главных мотивов работы Ленглендса.${\displaystyle n\geq 1}$

Более слабая гипотеза (иногда известная как гипотеза Дедекинда) утверждает, что если M / K является расширением числовых полей , то частное их дзета-функций Дедекинда является целым.${\displaystyle s\mapsto \zeta _{M}(s)/\zeta _{K}(s)}$

Теорема Араматы-Брауэра утверждает, что гипотеза верна, если M / K является Галуа.

В более общем случае пусть N — замыкание Галуа M над K , а G — группа Галуа N / K. Фактор равен L-функциям Артина, связанным с естественным представлением, связанным с действием G на комплексном вложении K -инвариантов M. Таким образом, гипотеза Артина влечет гипотезу Дедекинда.${\displaystyle s\mapsto \zeta _{M}(s)/\zeta _{K}(s)}$

Гипотеза была доказана в случае, когда G — разрешимая группа , независимо Кодзи Учидой и Р. В. ван дер Вааллом в 1975 году. ^[4]

• Эквивариантная L-функция