Архимедовы тела
Многогранники, в которых все вершины одинаковы
Архимедовы тела. Два из них хиральные , показаны обе формы, всего 15 моделей.

Архимедовы тела представляют собой набор из тринадцати выпуклых многогранников , грани которых являются правильными многоугольниками, но не все одинаковы, и все вершины которых симметричны друг другу. Тела были названы в честь Архимеда , хотя он не претендовал на их создание. Они принадлежат к классу однородных многогранников , многогранников с правильными гранями и симметричными вершинами. Некоторые архимедовы тела были изображены в работах художников и математиков в эпоху Возрождения .

Удлиненный квадратный гиробикупол или псевдоромбокубооктаэдр является дополнительным многогранником с правильными гранями и конгруэнтными вершинами, но его обычно не считают архимедовым телом, поскольку он не является вершинно-транзитивным .

Твердые частицы

Архимедовы тела имеют конфигурацию вершины и высокосимметричные свойства. Конфигурация вершины означает многогранник, две или более многоугольных граней которого встречаются в вершине. Например, означает многогранник , в котором каждая вершина встречается с чередующимися двумя треугольниками и двумя пятиугольниками. Высокосимметричные свойства в этом случае означают, что группа симметрии каждого тела была получена из Платоновых тел , в результате их построения. [1] Некоторые источники говорят, что Архимедовы тела являются синонимами полуправильного многогранника . [2] Тем не менее, определение полуправильного многогранника может также включать бесконечные призмы и антипризмы , включая удлиненный квадратный гиробикупол . [3] 3 ⋅ 5 ⋅ 3 ⋅ 5 {\displaystyle 3\cdot 5\cdot 3\cdot 5}

Тринадцать архимедовых тел
ИмяТвердые веществаКонфигурации вершин [4]Лица [5]Края [5]Вершины [5]
Группа точек [6]
Усеченный тетраэдрУсеченный тетраэдр3.6.6
4 треугольника
4 шестиугольника		1812Т д
КубооктаэдрКубооктаэдр3.4.3.4
8 треугольников
6 квадратов		2412Ой​
Усеченный кубУсеченный шестигранник3.8.8
8 треугольников
6 восьмиугольников		3624Ой​
Усеченный октаэдрУсеченный октаэдр4.6.6
6 квадратов
8 шестиугольников		3624Ой​
РомбокубооктаэдрРомбокубооктаэдр3.4.4.4
8 треугольников
18 квадратов		4824Ой​
Усеченный кубооктаэдрУсеченный кубооктаэдр4.6.8
12 квадратов
8 шестиугольников
6 восьмиугольников		7248Ой​
Курносый кубПлосконосый шестигранник (Ccw)3.3.3.3.4
32 треугольника
6 квадратов		6024О
ИкосододекаэдрИкосододекаэдр3.5.3.5
20 треугольников
12 пятиугольников		6030Я ч
Усеченный додекаэдрУсеченный додекаэдр3.10.10
20 треугольников
12 декагонов		9060Я ч
Усеченный икосаэдрУсеченный икосаэдр5.6.6
12 пятиугольников
20 шестиугольников		9060Я ч
РомбокосододекаэдрРомбокосододекаэдр3.4.5.4
20 треугольников
30 квадратов
12 пятиугольников		12060Я ч
Усеченный икосододекаэдрУсеченный икосододекаэдр4.6.10
30 квадратов
20 шестиугольников
12 десятиугольников		180120Я ч
Плосконосый додекаэдрПлосконосый додекаэдр (Cw)3.3.3.3.5
80 треугольников
12 пятиугольников		15060я

Построение некоторых архимедовых тел начинается с платоновых тел. Усечение включает в себя отрезание углов; для сохранения симметрии разрез находится в плоскости, перпендикулярной линии, соединяющей угол с центром многогранника, и одинаков для всех углов, и примером может служить усеченный икосаэдр, построенный путем отрезания всех вершин икосаэдра , имеющий ту же симметрию, что и икосаэдр, икосаэдрическую симметрию . [7] Если усечение достаточно глубокое, так что каждая пара граней из соседних вершин имеет ровно одну общую точку, это называется ректификацией . Расширение включает в себя перемещение каждой грани от центра (на то же расстояние, чтобы сохранить симметрию платонового тела) и взятие выпуклой оболочки. Примером является ромбокубооктаэдр, построенный путем отделения граней куба или октаэдра от центроида и заполнения их квадратами. [8] Плосконосый - это процесс построения многогранников путем отделения граней многогранника, скручивания их граней под определенными углами и заполнения их равносторонними треугольниками . Примеры можно найти в плосконосом кубе и плосконосом додекаэдре . Полученное построение этих тел дает свойство хиральности , то есть они не идентичны при отражении в зеркале. [9] Однако не все из них могут быть построены таким образом, или они могут быть построены альтернативно. Например, икосододекаэдр может быть построен путем присоединения двух пятиугольных ротонд основанием к основанию, или ромбокубооктаэдр, который может быть построен альтернативно путем присоединения двух квадратных куполов к основаниям восьмиугольной призмы. [5]

Существует по крайней мере десять известных тел, которые обладают свойством Руперта , многогранник, который может проходить через свою копию с тем же или близким размером. Это кубооктаэдр, усеченный октаэдр, усеченный куб, ромбокубооктаэдр, икосододекаэдр, усеченный кубооктаэдр, усеченный икосаэдр, усеченный додекаэдр и усеченный тетраэдр. [10] Каталонские тела являются двойственными многогранниками архимедовых тел. [1]

Предыстория открытия

Названия архимедовых тел были взяты у древнегреческого математика Архимеда , который обсуждал их в ныне утерянной работе. Хотя они не были изначально приписаны Архимеду, Папп Александрийский в пятом разделе своего озаглавленного компендиума Synagoge ссылается на то, что Архимед перечислил тринадцать многогранников и кратко описал их с точки зрения того, сколько граней каждого вида имеют эти многогранники. [11]

В эпоху Возрождения художники и математики ценили чистые формы с высокой симметрией. Некоторые архимедовы тела появились в De quinque corporibus regularibus Пьеро делла Франческа , в попытке изучить и скопировать работы Архимеда, а также включить цитаты из Архимеда. [12] Тем не менее, он не приписывал эти формы Архимеду и не знал о работе Архимеда, а скорее, казалось, что это было независимое повторное открытие. [ 13] Другие появления тел появились в работах Венцеля Ямницера Perspectiva Corporum Regularium , а также в Summa de arithmetica и Divina ratio Луки Пачоли , нарисованных Леонардо да Винчи . [14] Сетка архимедовых тел появилась в Underweysung der Messung Альбрехта Дюрера , скопированной с работы Пачоли. Около 1620 года Иоганн Кеплер в своей работе «Гармонии мира» завершил повторное открытие тринадцати многогранников, а также дал определение призм , антипризм и невыпуклых тел, известных как многогранники Кеплера–Пуансо . [15]

Удлиненный квадратный гиробикупол , многогранник, на основе которого математики ошибочно построили ромбокубооктаэдр.

Кеплер, возможно, также нашел другое тело, известное как удлиненный квадратный гиробикупол или псевдоромбокубооктаэдр . Кеплер однажды заявил, что существует четырнадцать архимедовых тел, однако его опубликованное перечисление включает только тринадцать однородных многогранников. Первое четкое утверждение о существовании такого тела было сделано Дунканом Соммервиллем в 1905 году. [16] Тело появилось, когда некоторые математики ошибочно построили ромбокубооктаэдр : два квадратных купола, прикрепленных к восьмиугольной призме , причем один из них повернут на сорок пять градусов. [17] Тринадцать тел обладают свойством вершинно-транзитивности , что означает, что любые две их вершины могут быть переведены на другую, но удлиненный квадратный гиробикупол — нет. Грюнбаум (2009) заметил, что это соответствует более слабому определению архимедова тела, в котором «идентичные вершины» означают просто то, что части многогранника вблизи любых двух вершин выглядят одинаково (они имеют одинаковые формы граней, встречающихся вокруг каждой вершины в том же порядке и образующих те же углы). Грюнбаум указал на частую ошибку, при которой авторы определяют архимедовы тела, используя некоторую форму этого локального определения, но опускают четырнадцатый многогранник. Если необходимо перечислить только тринадцать многогранников, определение должно использовать глобальные симметрии многогранника, а не локальные окрестности. Впоследствии вытянутый квадратный гиробикупол был изъят из архимедовых тел и вместо этого включен в тело Джонсона , выпуклый многогранник, в котором все грани являются правильными многоугольниками. [16]

Смотрите также

Ссылки

Сноски

  1. ^ ab Diudea (2018), стр. 39.
  2. ^ Кинси, Мур и Прасидис (2011), стр. 2011. 380.
  3. ^
    • Ровенски (2010), стр. 116
    • Малькевич (1988), стр. 85
  4. ^ Уильямс (1979).
  5. ^ abcd Берман (1971).
  6. ^ Коча и Коча (2013), с. 47–50.
  7. ^
    • Чэнси и О'Брайен (1997), стр. 13
    • Коджа и Коджа (2013), стр. 48
  8. ^ Виана и др. (2019), с. 1123, см. рис. 6.
  9. ^ Коджа и Коджа (2013), стр. 49.
  10. ^
    • Чай, Юань и Замфиреску (2018)
    • Хоффман (2019)
    • Лавау (2019)
  11. ^
    • Кромвель (1997), стр. 156
    • Грюнбаум (2009)
    • Филд (1997), стр. 248
  12. ^ Банкир (2005).
  13. ↑ Филд (1997), стр. 248.
  14. ^
    • Кромвель (1997), стр. 156
    • Филд (1997), стр. 253–254
  15. ^ Шрайбер, Фишер и Стернат (2008).
  16. ^ ab Grünbaum (2009).
  17. ^
    • Кромвель (1997), стр. 91
    • Берман (1971)

Цитируемые работы

  • Банкер, Джеймс Р. (март 2005 г.), «Рукопись трудов Архимеда в руке Пьеро делла Франческа», The Burlington Magazine , 147 (1224): 165–169, JSTOR  20073883, S2CID  190211171.
  • Берман, Мартин (1971), «Выпуклые многогранники с правильными гранями», Журнал Института Франклина , 291 (5): 329–352, doi :10.1016/0016-0032(71)90071-8, MR  0290245.
  • Чай, Ин; Юань, Липин; Замфиреску, Тудор (2018), «Свойство Руперта архимедовых тел», The American Mathematical Monthly , 125 (6): 497–504, doi :10.1080/00029890.2018.1449505, S2CID  125508192.
  • Chancey, CC; O'Brien, MCM (1997), Эффект Яна-Теллера в C60 и других икосаэдрических комплексах, Princeton University Press , ISBN 978-0-691-22534-0.
  • Кромвель, Питер Р. (1997), Многогранники, Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-55432-9.
  • Диудеа, М. В. (2018), Многослойные полиэдральные кластеры, Springer , doi : 10.1007/978-3-319-64123-2, ISBN 978-3-319-64123-2.
  • Field, JV (1997), «Повторное открытие архимедовых многогранников: Пьеро делла Франческа, Лука Пачоли, Леонардо да Винчи, Альбрехт Дюрер, Даниэле Барбаро и Иоганн Кеплер», Архив истории точных наук , 50 (3–4): 241–289, doi :10.1007/BF00374595, JSTOR  41134110, MR  1457069, S2CID  118516740.
  • Грюнбаум, Бранко (2009), «Непреходящая ошибка» (PDF) , Elemente der Mathematik , 64 (3): 89–101, doi : 10.4171/EM/120 , MR  2520469. Перепечатано в Pitici, Mircea, ed. (2011), The Best Writing on Mathematics 2010 , Princeton University Press, стр. 18–31.
  • Хоффманн, Балаж (2019), «Свойства Руперта многогранников и обобщенная константа Ниуланда», Журнал геометрии и графики , 23 (1): 29–35
  • Кинси, Л. Кристин ; Мур, Тереза ​​Э.; Прасидис, Эфстратиос (2011), Геометрия и симметрия , John Wiley & Sons , ISBN 978-0-470-49949-8.
  • Koca, M.; Koca, NO (2013), «Группы Кокстера, кватернионы, симметрии многогранников и 4D-политопов», Математическая физика: Труды 13-й региональной конференции, Анталья, Турция, 27–31 октября 2010 г. , World Scientific.
  • Лаво, Жерар (2019), «Усеченный тетраэдр — это Руперт», The American Mathematical Monthly , 126 (10): 929–932, doi : 10.1080/00029890.2019.1656958, S2CID  213502432.
  • Malkevitch, Joseph (1988), «Вехи в истории многогранников», в Senechal, M.; Fleck, G. (ред.), Shaping Space: A Polyhedral Approach , Бостон: Birkhäuser, стр. 80–92.
  • Ровенский, Владимир (2010), Моделирование кривых и поверхностей с помощью MATLAB®, Springer, doi :10.1007/978-0-387-71278-9, ISBN 978-0-387-71278-9.
  • Шрайбер, Питер; Фишер, Гизела; Стернат, Мария Луиза (2008), «Новый свет на повторное открытие архимедовых тел в эпоху Возрождения», Архив истории точных наук , 62 (4): 457–467, Bibcode : 2008AHES...62..457S, doi : 10.1007/s00407-008-0024-z, ISSN  0003-9519, JSTOR  41134285, S2CID  122216140.
  • Виана, Вера; Ксавье, Жуан Педро; Айрес, Ана Паула; Кампос, Хелена (2019), «Интерактивное расширение ахиральных многогранников», в Коккьярелла, Луиджи (ред.), ICGG 2018 — Труды 18-й Международной конференции по геометрии и графике, 40-я годовщина — Милан, Италия, 3–7 августа 2018 г. , Springer, doi : 10.1007/978-3-319-95588-9, ISBN 978-3-319-95587-2.
  • Уильямс, Роберт (1979), Геометрическая основа естественной структуры: первоисточник дизайна, Dover Publications, Inc., ISBN 978-0-486-23729-9.

Дальнейшее чтение

  • Виана, Вера (2024), «Архимедовы тела в пятнадцатом и шестнадцатом веках», Архив истории точных наук , doi : 10.1007/s00407-024-00331-7.
  • Уильямс, Ким; Монтелеоне, Козимо (2021), Перспектива Даниэле Барбаро на 1568 год, с. 19–20, номер домена : 10.1007/978-3-030-76687-0, ISBN. 978-3-030-76687-0.
  • Вайсштейн, Эрик В. "Архимедово тело". MathWorld .
  • Архимедовы тела Эрика В. Вайсштейна , Демонстрационный проект Вольфрама .
  • Бумажные модели архимедовых тел и каталонских тел
  • Бесплатные бумажные модели (развертки) архимедовых тел
  • «Однородные многогранники» д-ра Р. Мэдера
  • Архимедовы тела и визуальные многогранники Дэвида И. МакКуи
  • Многогранники виртуальной реальности, Энциклопедия многогранников Джорджа У. Харта
  • Предпоследнее модульное оригами Джеймса С. Планка
  • Интерактивные 3D-многогранники на Java
  • Solid Body Viewer — интерактивный просмотрщик трехмерных многогранников, позволяющий сохранять модель в форматах svg, stl или obj.
  • Stella: Polyhedron Navigator: программное обеспечение, использованное для создания многих изображений на этой странице.
  • Бумажные модели архимедовых (и других) многогранников
Взято с "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Archimedean_solid&oldid=1255804672"