Куб принца Руперта

В геометрии куб принца Руперта — самый большой куб , который может пройти через отверстие, вырезанное в единичном кубе, не разделяя его на отдельные части. Длина его стороны составляет приблизительно 1,06, на 6% больше длины стороны 1 единичного куба, через который он проходит. Задача нахождения наибольшего квадрата, который полностью лежит внутри единичного куба, тесно связана и имеет то же решение.

Куб принца Руперта назван в честь принца Руперта Рейнского , который спросил, можно ли продеть куб через отверстие, сделанное в другом кубе того же размера, не разделив куб на две части. Положительный ответ дал Джон Уоллис . Примерно 100 лет спустя Питер Нивланд нашел самый большой возможный куб, который может пройти через отверстие в единичном кубе.

Было показано, что многие другие выпуклые многогранники , включая все пять Платоновых тел , обладают свойством Руперта : копию многогранника той же или большей формы можно продеть через отверстие в многограннике. Неизвестно, верно ли это для всех выпуклых многогранников.

Поместите две точки на двух соседних ребрах единичного куба, каждое на расстоянии 3/4 от точки, где сходятся два ребра, и еще две точки симметрично на противоположной грани куба. Затем эти четыре точки образуют квадрат со стороной длиной Один из способов увидеть это — сначала заметить, что эти четыре точки образуют прямоугольник, по симметрии их построения. Длины всех четырех сторон этого прямоугольника равны , по теореме Пифагора или (что эквивалентно) формуле для евклидова расстояния в трех измерениях. Например, первые две точки вместе с третьей точкой, где сходятся их два ребра, образуют равнобедренный прямоугольный треугольник с катетами длиной , а расстояние между первыми двумя точками является гипотенузой треугольника. Как прямоугольник с четырьмя равными сторонами, форма, образованная этими четырьмя точками, является квадратом. Выдавливание квадрата в обоих направлениях перпендикулярно самому себе образует отверстие, через которое может пройти куб, больший, чем исходный, до длины стороны . ^[1]$${\displaystyle {\frac {3{\sqrt {2}}}{4}}\approx 1,0606601.}$$${\textstyle (3{\sqrt {2}})/4}$${\displaystyle 3/4}$${\textstyle (3{\sqrt {2}})/4}$

Оставшиеся части единичного куба после опустошения этого отверстия образуют две треугольные призмы и два неправильных тетраэдра , соединенных тонкими перемычками в четырех вершинах квадрата. Каждая призма имеет в качестве своих шести вершин две смежные вершины куба и четыре точки вдоль ребер куба на расстоянии 1/4 от этих вершин куба. Каждый тетраэдр имеет в качестве своих четырех вершин одну вершину куба, две точки на расстоянии 3/4 от нее на двух смежных ребрах и одну точку на расстоянии 3/16 от вершины куба вдоль третьего смежного ребра. ^[2]

Куб принца Руперта назван в честь принца Руперта Рейнского . Согласно истории, рассказанной в 1693 году английским математиком Джоном Уоллисом , принц Руперт поспорил, что в кубе можно прорезать отверстие, достаточно большое, чтобы через него прошел другой куб того же размера. Уоллис показал, что на самом деле такое отверстие возможно (с некоторыми ошибками, которые были исправлены лишь гораздо позже), и принц Руперт выиграл свое пари. ^{[3] [4]}

Уоллис предположил, что отверстие будет параллельно диагонали пространства куба. Проекция куба на плоскость, перпендикулярную этой диагонали, представляет собой правильный шестиугольник , а наилучшее отверстие, параллельное диагонали, можно найти, нарисовав наибольший возможный квадрат, который можно вписать в этот шестиугольник. Вычисление размера этого квадрата показывает, что куб со стороной длиной

${\displaystyle {\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}\approx 1.03527}$,

немного больше одного, способен пройти через отверстие. ^[3]

Примерно 100 лет спустя голландский математик Питер Нивланд обнаружил, что лучшее решение может быть достигнуто с помощью отверстия с углом, отличным от угла диагонали пространства. Фактически, решение Нивланда является оптимальным. Нивланд умер в 1794 году, через год после вступления в должность профессора в Лейденском университете , и его решение было опубликовано посмертно в 1816 году наставником Нивланда, Жаном Анри ван Свинденом . ^{[3] [4] [5]}

С тех пор эта проблема повторялась во многих книгах по занимательной математике , в некоторых случаях с субоптимальным решением Уоллиса вместо оптимального решения. ^{[1] [2] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12]}

Построение физической модели куба принца Руперта осложняется точностью, с которой такая модель должна быть измерена, и тонкостью соединений между оставшимися частями единичного куба после того, как в нем прорезано отверстие. Для внутреннего куба максимального размера с длиной ≈1,06 относительно внешнего куба длиной 1 построение модели «математически возможно, но практически невозможно». ^[13] С другой стороны, использование ориентации максимального куба, но создание меньшего отверстия, достаточно большого только для единичного куба, оставляет дополнительную толщину, которая обеспечивает структурную целостность. ^[14]

Для примера с использованием двух кубов одинакового размера, как первоначально предложил Принс Руперт, построение модели возможно. В обзоре проблемы 1950 года DJE Schrek опубликовал фотографии модели куба, проходящего через отверстие в другом кубе. ^[15] Мартин Рейнсфорд разработал шаблон для построения бумажных моделей куба с другим кубом, проходящим через него; однако, чтобы учесть допуски бумажной конструкции и не порвать бумагу в узких стыках между частями проколотого куба, отверстие в модели Рейнсфорда пропускает только кубы, которые немного меньше внешнего куба. ^[16]

С появлением 3D-печати создание куба Принца Руперта в соотношении 1:1 стало простым. ^[17]

Говорят, что многогранник обладает свойством Руперта , если многогранник такого же или большего размера и такой же формы, как и может пройти через отверстие в . ^[18] Все пять Платоновых тел — куб, правильный тетраэдр , правильный октаэдр , ^[19] правильный додекаэдр и правильный икосаэдр — обладают свойством Руперта. Из 13 архимедовых тел известно, что по крайней мере эти десять обладают свойством Руперта: кубооктаэдр , усеченный октаэдр , усеченный куб , ромбокубооктаэдр , икосододекаэдр , усеченный кубооктаэдр , усеченный икосаэдр , усеченный додекаэдр , ^[20] и усеченный тетраэдр ^{[21] [22]} , а также усеченный икосододекаэдр ^{[23] [24]} . Было высказано предположение, что все 3-мерные выпуклые многогранники обладают этим свойством ^[18] , но также, наоборот, что ромбококосододекаэдр не обладает свойством Руперта ^{[23] [24]} .${\displaystyle P}$${\displaystyle P}$${\displaystyle P}$

Кубы и все прямоугольные тела имеют проходы Руперта в каждом направлении, которое не параллельно ни одной из их граней. ^[25]

Другой способ выразить ту же проблему — попросить наибольший квадрат , который лежит внутри единичного куба. В более общем смысле, Джеррард и Ветцель (2004) показывают, как найти наибольший прямоугольник заданного соотношения сторон , который лежит внутри единичного куба. Как они наблюдают, оптимальный прямоугольник всегда должен быть центрирован в центре куба, а его вершины — на ребрах куба. В зависимости от его соотношения сторон , соотношения между его длинной и короткой сторонами, есть два случая, как его можно поместить внутри куба. Для соотношения сторон или больше оптимальный прямоугольник лежит внутри прямоугольника, соединяющего два противоположных ребра куба, который имеет соотношение сторон точно . Для соотношений сторон ближе к 1 (включая соотношение сторон 1 для квадрата куба принца Руперта), две из четырех вершин оптимального прямоугольника равноудалены от вершины куба, вдоль двух из трех ребер, касающихся этой вершины. Другие две вершины прямоугольника являются отражениями первых двух относительно центра куба. ^[4] Если соотношение сторон не ограничено, то прямоугольник с наибольшей площадью, помещающийся в куб, — это тот прямоугольник с соотношением сторон , у которого два противоположных ребра куба являются двумя его сторонами, а две диагонали грани — двумя другими сторонами. ^[26]${\displaystyle {\sqrt {2}}}$${\displaystyle {\sqrt {2}}}$${\displaystyle {\sqrt {2}}}$

Известно, что одиннадцать из 13 каталонских тел и 87 из 92 тел Джонсона (все, кроме J72, J73, J74, J75, J77) обладают свойством Руперта. (Каталонские тела, для которых свойство Руперта неизвестно, — это дельтовидный гексаконтаэдр и пентагональный гексаконтаэдр .) ^[27]

Для всех , -мерный гиперкуб также обладает свойством Руперта. ^[28] Более того, можно спросить о самом большом -мерном гиперкубе, который можно нарисовать внутри -мерного единичного гиперкуба . Ответом всегда является алгебраическое число . Например, задача для требует наибольшего (трехмерного) куба внутри четырехмерного гиперкуба. После того, как Мартин Гарднер задал этот вопрос в Scientific American , Кей Р. Печеник ДеВиччи и несколько других читателей показали, что ответ для случая (3,4) — это квадратный корень меньшего из двух действительных корней многочлена , что составляет приблизительно 1,007435. ^{[1] [29]} Для оптимальная длина стороны наибольшего квадрата в -мерном гиперкубе равна или , в зависимости от того, является ли четным или нечетным соответственно. ^[30]${\displaystyle n\geq 2}$${\displaystyle n}$${\displaystyle м}$${\displaystyle n}$${\displaystyle (м,н)=(3,4)}$ ${\displaystyle 4x^{4}-28x^{3}-7x^{2}+16x+16}$${\displaystyle m=2}$${\displaystyle n}$${\textstyle {\sqrt {n/2}}}$${\textstyle {\sqrt {n/2-3/8}}}$${\displaystyle n}$

На Викискладе есть медиафайлы по теме « Куб принца Руперта» .

• Вайсштейн, Эрик В. , «Куб принца Руперта», MathWorld