каталонский твердый

Каталонские тела — это двойственный многогранник Архимедовых тел , набор из тринадцати многогранников с высокосимметричными формами полуправильных многогранников, в которых две или более многоугольных их граней встречаются в вершине. ^[1] Многогранник может иметь двойственный многогранник, имея соответствующие вершины граням другого многогранника, а ребра между парами вершин одного соответствуют ребрам между парами граней другого. ^[2] Одним из способов построения каталонских тел является использование метода построения Дормана Люка . ^[3]

Эти тела являются гране-транзитивными или изоэдрическими, потому что их грани транзитивны друг к другу, но они не вершинно-транзитивны , потому что их вершины не транзитивны друг к другу. Их двойственные, архимедовы тела, вершинно-транзитивны, но не гране-транзитивны. Они имеют постоянные двугранные углы , то есть угол между любыми двумя их гранями одинаков. ^[1] Кроме того, оба каталонских тела ромбический додекаэдр и ромбический триаконтаэдр являются рёберно-транзитивными , то есть между рёбрами существует транзитивность, сохраняющая их симметричность. ^{[ необходима цитата ]} Эти тела были также открыты Иоганном Кеплером во время изучения зоноэдров , пока Эжен Каталан впервые не завершил список тринадцати тел в 1865 году. ^[4] Пятиугольный икоситетраэдр и пятиугольный гексаконтаэдр являются хиральными , поскольку они дуальны плосконосому кубу и плосконосому додекаэдру соответственно, которые являются хиральными. При этом эти два тела не идентичны при зеркальном отражении.

Одиннадцать из тринадцати каталонских тел обладают свойством Руперта (копию тела той же или большей формы можно продеть через отверстие в теле). ^[5]

Тринадцать каталонских тел

Имя	Изображение	Лица	Края	Вершины	Двугранный угол [6]	Группа точек
триакистетраэдр		12 равнобедренных треугольников	18	8	129.521°	Т д
ромбический додекаэдр		12 ромбов	24	14	120°	Ой​
триакисоктаэдр		24 равнобедренных треугольника	36	14	147.350°	Ой​
тетракисгексаэдр		24 равнобедренных треугольника	36	14	143.130°	Ой​
дельтовидный икоситетраэдр		24 воздушных змея	48	26	138.118°	Ой​
дисдьякис додекаэдр		48 разносторонних треугольников	72	26	155.082°	Ой​
пятиугольный икоситетраэдр		24 пятиугольника	60	38	136.309°	О
ромбический триаконтаэдр		30 ромбов	60	32	144°	Я ч
триакисикосаэдр		60 равнобедренных треугольников	90	32	160.613°	Я ч
пентакисдодекаэдр		60 равнобедренных треугольников	90	32	156.719°	Я ч
дельтовидный гексаконтаэдр		60 воздушных змеев	120	62	154.121°	Я ч
дисдьякис триаконтаэдр		120 разносторонних треугольников	180	62	164.888°	Я ч
пятиугольный гексаконтаэдр		60 пятиугольников	150	92	153.179°	я

• Канди, Х. Мартин ; Роллетт, А.П. (1961), Математические модели (2-е изд.), Оксфорд: Clarendon Press, MR  0124167.
• Диудеа, М. В. (2018), Многослойные полиэдральные кластеры, Springer , doi : 10.1007/978-3-319-64123-2, ISBN 978-3-319-64123-2.
• Фредрикссон, Альбин (2024), «Оптимизация для свойства Руперта», The American Mathematical Monthly , 131 (3): 255–261, arXiv : 2210.00601 , doi : 10.1080/00029890.2023.2285200.
• Гайлюнас, П.; Шарп, Дж. (2005), «Двойственность многогранников», Международный журнал математического образования в области науки и технологий , 36 (6): 617–642, doi : 10.1080/00207390500064049, S2CID  120818796.
• Хейл, Э.; Мартил, Х. (1993), «Специальные выпуклые тела», в Грубер, П.М.; Уиллс, Дж.М. (ред.), Справочник по выпуклой геометрии, Северная Голландия
• Веннингер, Магнус (1983), Двойные модели , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-54325-5, МР  0730208
• Уильямс, Роберт (1979). Геометрическая основа естественной структуры: первоисточник дизайна . Dover Publications, Inc. ISBN 0-486-23729-X.(Раздел 3-9)

На Викискладе есть медиафайлы по теме «Каталонские твердые тела» .

• Вайсштейн, Эрик В. «Каталонские тела». MathWorld .
• Вайсштейн, Эрик В. «Изоэдр». MathWorld .
• Каталонские тела – в Visual Polyhedra
• Архимедовы двойственные – в виртуальной реальности Многогранники
• Интерактивный каталонский Solid на Java
• Ссылка для скачивания оригинальной публикации Каталана 1865 года — с прекрасными иллюстрациями, формат PDF