Формула номера класса

В теории чисел формула числа классов связывает многие важные инварианты алгебраического числового поля со специальным значением его дзета-функции Дедекинда .

Начнем со следующих данных:

• K — числовое поле.
• [ K  : Q ] = n = r ₁ + 2 r ₂ , где r ₁ обозначает число действительных вложений K , а 2 r 2 _— число комплексных вложений K .
• ζ _K ( s ) —- функция Дедекинда K .
• h _K — номер класса ,число элементов в идеальной группе класса K.
• Reg _K — регулятор K.​​
• w _K — число корней из единицы, содержащихсяв K.
• D _K — дискриминант расширения K / Q.​ ​

Затем:

Теорема (формула числа классов). ζ _K ( s ) сходится абсолютно при Re( s ) > 1 и продолжается до мероморфной функции, определенной для всех комплексных s с единственным простым полюсом при s = 1 , с вычетом

${\displaystyle \lim _{s\to 1}(s-1)\zeta _{K}(s)={\frac {2^{r_{1}}\cdot (2\pi )^{r_{2}}\cdot \operatorname {Reg} _{K}\cdot h_{K}}{w_{K}\cdot {\sqrt {|D_{K}|}}}}}$

Это наиболее общая «формула числа классов» . В частных случаях, например, когда K является циклотомическим расширением Q , существуют частные и более уточненные формулы числа классов.

Идея доказательства формулы числа классов наиболее легко прослеживается при K = Q (i). В этом случае кольцо целых чисел в K представляет собой гауссовы целые числа .

Элементарное преобразование показывает, что остаток дзета-функции Дедекинда при s = 1 является средним значением коэффициентов представления ряда Дирихле дзета-функции Дедекинда. n -й коэффициент ряда Дирихле по сути является числом представлений n в виде суммы двух квадратов неотрицательных целых чисел. Таким образом, можно вычислить остаток дзета-функции Дедекинда при s = 1, вычислив среднее число представлений. Как и в статье о задаче о круге Гаусса , это можно вычислить, аппроксимировав число точек решетки внутри четверти круга с центром в начале координат, заключив, что остаток равен одной четверти числа π.

Доказательство, когда K — произвольное мнимое квадратичное числовое поле, очень похоже. ^[1]

В общем случае, по теореме Дирихле о единицах , группа единиц в кольце целых чисел K бесконечна. Тем не менее, можно свести вычисление остатка к задаче подсчета точек решетки, используя классическую теорию действительных и комплексных вложений, и аппроксимировать число точек решетки в области объемом этой области, чтобы завершить доказательство.

Петер Густав Лежен Дирихле опубликовал доказательство формулы числа классов для квадратичных полей в 1839 году, но оно было сформулировано на языке квадратичных форм, а не классов идеалов . Похоже, что Гаусс уже знал эту формулу в 1801 году. ^[2]

Это изложение следует за Дэвенпортом . ^[3]

Пусть d — фундаментальный дискриминант , и запишем h(d) для числа классов эквивалентности квадратичных форм с дискриминантом d . Пусть — символ Кронекера . Тогда — характер Дирихле . Запишем для L-ряда Дирихле , основанного на . Для d > 0 , пусть t > 0 , u > 0 — решение уравнения Пелля , для которого u наименьшее, и запишем${\displaystyle \chi =\left(\!{\frac {d}{m}}\!\right)}$${\displaystyle \чи}$${\displaystyle L(s,\chi )}$${\displaystyle \чи}$ ${\displaystyle т^{2}-du^{2}=4}$

${\displaystyle \varepsilon ={\frac {1}{2}}(t+u{\sqrt {d}}).}$

(Тогда — это либо фундаментальная единица действительного квадратичного поля , либо квадрат фундаментальной единицы.) Для d < 0 запишем w для числа автоморфизмов квадратичных форм дискриминанта d ; то есть,${\displaystyle \varepsilon}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {d}})}$

${\displaystyle w={\begin{cases}2,&d<-4;\\4,&d=-4;\\6,&d=-3.\end{cases}}}$

Затем Дирихле показал, что

${\displaystyle h(d)={\begin{cases}{\dfrac {w{\sqrt {|d|}}}{2\pi }}L(1,\chi),&d<0;\\{ \dfrac {\sqrt {d}}{2\ln \varepsilon }}L(1,\chi ),&d>0.\end{cases}}}$

Это частный случай теоремы 1 выше: для квадратичного поля K дзета-функция Дедекинда равна просто , а вычет равен . Дирихле также показал, что L -ряд можно записать в конечном виде, что дает конечный вид для числа классов. Предположим, что является примитивным с простым проводником . Тогда${\ displaystyle \ zeta _ {K} (s) = \ zeta (s) L (s, \ chi)}$${\displaystyle L(1,\чи)}$${\displaystyle \чи}$ ${\displaystyle д}$

${\displaystyle L(1,\chi )={\begin{cases}-{\dfrac {\pi }{q^{3/2}}}\sum _{m=1}^{q-1}m\left({\dfrac {m}{q}}\right),&q\equiv 3\mod 4;\\-{\dfrac {1}{2q^{1/2}}}\sum _{m=1}^{q-1}\left({\dfrac {m}{q}}\right)\ln \left(\sin {\dfrac {m\pi }{q}}\right),&q\equiv 1\mod 4.\end{cases}}}$

Если K является расширением Галуа Q , то теория L-функций Артина применима к . Она имеет один множитель дзета-функции Римана , который имеет полюс вычета один, а частное является регулярным при s = 1. Это означает, что правая часть формулы числа классов может быть приравнена к левой части${\displaystyle \zeta _{K}(s)}$

Π L (1,ρ) ^{размерность ρ}

с ρ, пробегающим классы неприводимых нетривиальных комплексных линейных представлений Gal( K / Q ) размерности dim(ρ). Это соответствует стандартному разложению регулярного представления .

Это случай выше, с Gal( K / Q ) абелевой группой , в которой все ρ могут быть заменены характерами Дирихле (через теорию полей классов ) для некоторого модуля f, называемого проводником . Поэтому все значения L (1) возникают для L-функций Дирихле , для которых существует классическая формула, включающая логарифмы.

По теореме Кронекера–Вебера все значения, требуемые для аналитической формулы числа классов, возникают уже при рассмотрении круговых полей. В этом случае возможна дальнейшая формулировка, как показано Куммером . Регулятор , вычисление объема в «логарифмическом пространстве», деленное на логарифмы единиц кругового поля, может быть установлен против величин из L (1), распознаваемых как логарифмы круговых единиц . Получаются формулы, утверждающие, что число классов определяется индексом круговых единиц во всей группе единиц.

В теории Ивасавы эти идеи дополнительно объединяются с теоремой Штикельбергера .

• Гипотеза Брумера–Штарка
• Формула массы Смита–Минковского–Зигеля

• W. Narkiewicz (1990). Элементарная и аналитическая теория алгебраических чисел (2-е изд.). Springer-Verlag / Польское научное издательство PWN . С. 324–355. ISBN 3-540-51250-0.

В данной статье использованы материалы из книги «Формула числа классов» на сайте PlanetMath , которая распространяется по лицензии Creative Commons Attribution/Share-Alike License .