Теорема Дирихле о единице

Дает ранг группы единиц в кольце целых алгебраических чисел числового поля.

В математике теорема Дирихле о единицах является основным результатом в алгебраической теории чисел, полученным Петером Густавом Леженом Дирихле . ^[1] Она определяет ранг группы единиц в кольце $O K$ алгебраических целых чисел числового поля $K.$ Регулятор — это положительное действительное число, которое определяет, насколько «плотны» единицы.

Утверждение состоит в том, что группа единиц конечно порождена и имеет ранг (максимальное число мультипликативно независимых элементов), равный

г = г 1 + г 2 - 1

где $r 1$ — число действительных вложений , а $r 2$ — число сопряженных пар комплексных вложений $K.$ Эта характеристика $r 1$ и $r 2$ основана на идее, что будет столько же способов вложить $K$ в поле комплексных чисел , сколько и степень ; они будут либо в действительные числа , либо в пары вложений, связанных комплексным сопряжением , так что $n=[K:\mathbb {Q} ]$

п = г 1 + 2 г 2

.

Обратите внимание, что если $K$ — это Галуа, то либо $r$ $1$ $= 0$ , либо $r$ $2$ $= 0$ . $\mathbb {Q}$

Другие способы определения $r 1$ и $r 2$ :

используйте теорему о примитивных элементах , чтобы записать , а затем $r$ $1$ $—$ число действительных сопряженных чисел α , $2$ $r$ $2$ — число комплексных; другими словами, если $f$ — минимальный многочлен $α$ над , то $r$ $1$ — число действительных корней, а $2r$ $2$ — число недействительных комплексных корней $f$ (которые входят в комплексно-сопряженные пары); $K=\mathbb {Q} (\альфа)$ $\mathbb {Q}$
запишем тензорное произведение полей как произведение полей, причем имеется $r$ $1$ копий и $r$ $2$ копий . $K\otimes _{\mathbb {Q} }\mathbb {R}$ $\mathbb {R}$ $\mathbb {C}$

Например, если $K$ — квадратичное поле , то ранг равен 1, если это действительное квадратичное поле, и 0, если это мнимое квадратичное поле. Теория для действительных квадратичных полей по сути является теорией уравнения Пелля .

Ранг положителен для всех числовых полей, кроме и мнимых квадратичных полей, которые имеют ранг 0. «Размер» единиц измеряется в общем случае определителем , называемым регулятором. В принципе, базис для единиц может быть эффективно вычислен; на практике вычисления довольно сложны, когда $n$ велико. $\mathbb {Q}$

Кручение в группе единиц — это множество всех корней из единицы $K$ , которые образуют конечную циклическую группу . Для числового поля с хотя бы одним действительным вложением кручение должно быть, следовательно, только ${1,-1}$ . Существуют числовые поля, например, большинство мнимых квадратичных полей , не имеющие действительных вложений, которые также имеют ${1,-1}$ для кручения своей единичной группы.

Полностью вещественные поля являются специальными по отношению к единицам. Если $L / K$ — конечное расширение числовых полей со степенью больше 1, а группы единиц для целых чисел $L$ и $K$ имеют одинаковый ранг, то $K$ — полностью вещественное, а $L$ — полностью комплексное квадратичное расширение. Обратное тоже верно. (Примером является $K,$ равное рациональным числам, и $L$ , равное мнимому квадратичному полю; оба имеют единичный ранг 0.)

Теорема применима не только к максимальному порядку $O K$ , но и к любому порядку $O \subset O K.$ ^[2]

Существует обобщение теоремы о единице Хельмута Хассе (а позже Клода Шевалле ) для описания структуры группы $S$ -единиц , определяющей ранг группы единиц в локализациях колец целых чисел. Также была определена структура модуля Галуа . ^[3] $\mathbb {Q} \oplus O_{K,S}\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q}$

Регулятор

Предположим, что K — числовое поле и — набор генераторов для единичной группы K по модулю корней из единицы. Будет $r$ $+ 1$ архимедовых мест K , действительных или комплексных. Для запишите для различных вложений в или и установите $N$ $j$ в 1 или 2, если соответствующее вложение действительно или комплексно соответственно. Тогда матрица $r$ $\times ($ $r$ $+ 1)$ обладает тем свойством, что сумма любой строки равна нулю (потому что все единицы имеют норму 1, а логарифм нормы — это сумма записей в строке). Это означает, что абсолютное значение $R$ определителя подматрицы, образованной удалением одного столбца, не зависит от столбца. Число $R$ называется регулятором поля алгебраических чисел (оно не зависит от выбора генераторов $u$ $i$ ). Оно измеряет «плотность» единиц: если регулятор мал, это означает, что единиц «много». $u_{1},\точки ,u_{r}$ $u\in K$ $u^{(1)},\точки ,u^{(r+1)}$ $\mathbb {R}$ $\mathbb {C}$ $\left(N_{j}\log \left|u_{i}^{(j)}\right|\right)_{i=1,\dots ,r,\;j=1,\dots ,r+1}$

Регулятор имеет следующую геометрическую интерпретацию. Отображение, переводящее единицу $u$ в вектор с элементами, имеет образ в $r$ -мерном подпространстве, состоящем из всех векторов, элементы которых имеют сумму 0, и по теореме Дирихле о единице образ является решеткой в этом подпространстве. Объем фундаментальной области этой решетки равен . ${\textstyle N_{j}\log \left|u^{(j)}\right|}$ $\mathbb {R} ^{r+1}$ $R{\sqrt {r+1}}$

Регулятор поля алгебраических чисел степени выше 2 обычно довольно громоздкий для вычисления, хотя сейчас существуют пакеты компьютерной алгебры, которые могут сделать это во многих случаях. Обычно гораздо проще вычислить произведение $hR$ числа класса h $и$ регулятора, используя формулу числа класса , и основная трудность при вычислении числа класса поля алгебраических чисел обычно заключается в вычислении регулятора.

Примеры

Фундаментальная область в логарифмическом пространстве группы единиц циклического кубического поля $K$ , полученная присоединением к корню $f$ $($ $x$ $) =$ $x$ $3$ $+$ $x$ $2$ $- 2$ $x$ $- 1$ . Если $α$ обозначает корень $f$ $($ $x$ $)$ , то набор фундаментальных единиц равен ${$ $ε$ $1$ $,$ $ε$ $2$ $}$ , где $ε$ $1$ $=$ $α$ $2$ $+$ $α$ $- 1$ и $ε$ $2$ $= 2 -$ $α$ $2$ . Площадь фундаментальной области приблизительно равна 0,910114, поэтому регулятор $K$ приблизительно равен 0,525455. $\mathbb {Q}$

{\displaystyle \mathbb {Q} } — Фундаментальная область в логарифмическом пространстве группы единиц циклического кубического поля $K$ , полученная присоединением к корню $f$ $($ $x$ $) =$ $x$ $3$ $+$ $x$ $2$ $- 2$ $x$ $- 1$ . Если $α$ обозначает корень $f$ $($ $x$ $)$ , то набор фундаментальных единиц равен ${$ $ε$ $1$ $,$ $ε$ $2$ $}$ , где $ε$ $1$ $=$ $α$ $2$ $+$ $α$ $- 1$ и $ε$ $2$ $= 2 -$ $α$ $2$ . Площадь фундаментальной области приблизительно равна 0,910114, поэтому регулятор $K$ приблизительно равен 0,525455. $\mathbb {Q}$

Регулятор мнимого квадратичного поля или рациональных целых чисел равен 1 (так как определитель матрицы $0 \times 0$ равен 1).
Регулятором действительного квадратичного поля является логарифм его фундаментальной единицы : например, логарифм равен . Это можно увидеть следующим образом. Фундаментальная единица равна , а ее образы при двух вложениях в равны и . Таким образом, матрица $r$ $\times ($ $r$ $+ 1)$ равна $\mathbb {Q} ({\sqrt {5}})$ ${\textstyle \log {\frac {{\sqrt {5}}+1}{2}}}$ ${\textstyle ({\sqrt {5}}+1)/2}$ $\mathbb {R}$ ${\textstyle ({\sqrt {5}}+1)/2}$ ${\textstyle (-{\sqrt {5}}+1)/2}$ $\left[1\times \log \left|{\frac {{\sqrt {5}}+1}{2}}\right|,\quad 1\times \log \left|{\frac {-{\sqrt {5}}+1}{2}}\right|\ \right].$
Регулятор циклического кубического поля , где $α$ — корень из $x$ $3$ $+$ $x$ $2$ $- 2$ $x$ $- 1$ , приблизительно равен 0,5255. Базис группы единиц по модулю корней из единицы — это ${$ $ε$ $1$ $,$ $ε$ $2$ $}$ , где $ε$ $1$ $=$ $α$ $2$ $+$ $α$ $- 1$ и $ε$ $2$ $= 2 -$ $α$ $2$ . ^[4] $\mathbb {Q} (\alpha )$

Высшие регуляторы

«Высший» регулятор относится к конструкции для функции на алгебраической $K$ -группе с индексом $n > 1$ , которая играет ту же роль, что и классический регулятор для группы единиц, которая является группой $K 1$ . Теория таких регуляторов разрабатывалась в работах Арманда Бореля и других. Такие высшие регуляторы играют роль, например, в гипотезах Бейлинсона и, как ожидается, будут встречаться при оценках определенных $L$ -функций при целых значениях аргумента. ^[5] См. также регулятор Бейлинсона .

Регулятор Старка

Формулировка гипотез Старка привела Гарольда Старка к определению того, что сейчас называется регулятором Старка , аналогичным классическому регулятору как определителю логарифмов единиц, присоединенному к любому представлению Артина . ^[6]^[7]

$п$ -адический регулятор

Пусть $K$ — числовое поле , и для каждого простого числа $P$ из $K,$ превышающего некоторое фиксированное рациональное простое число $p$ , пусть $U P$ обозначает локальные единицы в $P$ , а $U 1, P$ обозначает подгруппу главных единиц в $U P.$ Задайте $U_{1}=\prod _{P|p}U_{1,P}.$

Тогда пусть $E 1$ обозначает множество глобальных единиц $ε$ , которые отображаются в $U 1$ посредством диагонального вложения глобальных единиц в $E$ .

Так как $E 1$ является конечноиндексной подгруппой глобальных единиц, то она является абелевой группой ранга $r 1 + r 2 - 1$ . $P$ -адический регулятор является определителем матрицы, образованной $p$ -адическими логарифмами генераторов этой группы. Гипотеза Леопольдта утверждает, что этот определитель не равен нулю. ^[8]^[9]

Смотрите также

Примечания

^ Элстродт 2007, §8.D
^ Стивенхаген, П. (2012). Числовые кольца (PDF) . стр. 57.
^ Нойкирх, Шмидт и Вингберг 2000, предложение VIII.8.6.11.
^ Коэн 1993, Таблица B.4.
^ Блох, Спенсер Дж. (2000). Высшие регуляторы, алгебраическая $K$ -теория и дзета-функции эллиптических кривых . Серия монографий CRM. Том 11. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество . ISBN 0-8218-2114-8. Збл 0958.19001.
^ Прасад, Дипендра; Йогонанда, Ч.С. (2007-02-23). Отчет о гипотезе голоморфности Артина (PDF) (Отчет).
^ Дасгупта, Самит (1999). Предположения Старка (PDF) (Тезис). Архивировано из оригинала (PDF) 2008-05-10.
^ Нойкирх и др. (2008) с. 626–627
^ Ивасава, Кенкичи (1972). Лекции по $p$ -адическим $L$ -функциям . Annals of Mathematics Studies. Т. 74. Принстон, Нью-Джерси: Princeton University Press и University of Tokyo Press. С. 36–42. ISBN 0-691-08112-3. Збл 0236.12001.

Ссылки

Коэн, Анри (1993). Курс вычислительной алгебраической теории чисел . Выпускные тексты по математике . Том 138. Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-55640-4. MR 1228206. Zbl 0786.11071.
Elstrodt, Jürgen (2007). "Жизнь и творчество Гюстава Лежена Дирихле (1805–1859)" (PDF) . Clay Mathematics Proceedings . Архивировано из оригинала (PDF) 2021-05-22 . Получено 2010-06-13 .
Ланг, Серж (1994). Алгебраическая теория чисел . Graduate Texts in Mathematics. Vol. 110 (2nd ed.). New York: Springer-Verlag . ISBN 0-387-94225-4. Збл 0811.11001.
Нойкирх, Юрген (1999). Алгебраическая теория теории . Grundlehren der mathematischen Wissenschaften . Том. 322. Берлин: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-65399-8. MR 1697859. Zbl 0956.11021.
Нойкирх, Юрген ; Шмидт, Александр; Вингберг, Кей (2000), Когомологии числовых полей , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften , vol. 323, Берлин: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-66671-4, MR 1737196, Zbl 0948.11001

[1] Элстродт 2007, §8.D

[2] Стивенхаген, П. (2012). Числовые кольца (PDF) . стр. 57.

[FOOTNOTENeukirchSchmidtWingberg2000proposition_VIII.8.6.11-3] Нойкирх, Шмидт и Вингберг 2000, предложение VIII.8.6.11.

[4] Коэн 1993, Таблица B.4.

[Bloch-5] Блох, Спенсер Дж. (2000). Высшие регуляторы, алгебраическая $K$ -теория и дзета-функции эллиптических кривых . Серия монографий CRM. Том 11. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество . ISBN 0-8218-2114-8. Збл 0958.19001.

[6] Прасад, Дипендра; Йогонанда, Ч.С. (2007-02-23). Отчет о гипотезе голоморфности Артина (PDF) (Отчет).

[7] Дасгупта, Самит (1999). Предположения Старка (PDF) (Тезис). Архивировано из оригинала (PDF) 2008-05-10.

[NSW6267-8] Нойкирх и др. (2008) с. 626–627

[9] Ивасава, Кенкичи (1972). Лекции по $p$ -адическим $L$ -функциям . Annals of Mathematics Studies. Т. 74. Принстон, Нью-Джерси: Princeton University Press и University of Tokyo Press. С. 36–42. ISBN 0-691-08112-3. Збл 0236.12001.