Торическое разнообразие

В алгебраической геометрии торическое многообразие или вложение тора — это алгебраическое многообразие, содержащее алгебраический тор как открытое плотное подмножество , такое, что действие тора на себя распространяется на все многообразие. Некоторые авторы также требуют, чтобы оно было нормальным . Торические многообразия образуют важный и богатый класс примеров в алгебраической геометрии, которые часто служат испытательным полигоном для теорем. Геометрия торического многообразия полностью определяется комбинаторикой его соответствующего веера, что часто делает вычисления гораздо более податливыми. Для определенного специального, но все же довольно общего класса торических многообразий эта информация также закодирована в многограннике, что создает мощную связь предмета с выпуклой геометрией. Знакомыми примерами торических многообразий являются аффинное пространство , проективные пространства, произведения проективных пространств и расслоения над проективным пространством .

Первоначальной мотивацией для изучения торических многообразий было изучение вложений торов. Если задан алгебраический тор , группа характеров образует решетку . Если задан набор точек , подмножество этой решетки, каждая точка определяет отображение в , и, таким образом, набор определяет отображение в . Взяв замыкание Зарисского образа такого отображения, получаем аффинное многообразие. ^[1] Если набор точек решетки порождает решетку характеров, это многообразие является вложением тора. Аналогичным образом можно создать параметризованное проективное торическое многообразие, взяв проективное замыкание вышеуказанного отображения, рассматривая его как отображение в аффинный фрагмент проективного пространства.${\displaystyle Т}$ ${\displaystyle \hom(T,\mathbb {C} ^{*})}$${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$${\displaystyle \left(\mathbb {C} ^{*}\right)^{|{\mathcal {A}}|}}$${\displaystyle {\mathcal {A}}}$

Заметим, что для проективного торического многообразия мы можем исследовать его геометрию с помощью однопараметрических подгрупп. Каждая однопараметрическая подгруппа, определяемая точкой в ​​решетке, двойственной решетке характеров, является проколотой кривой внутри проективного торического многообразия. Поскольку многообразие компактно, эта проколотая кривая имеет единственную предельную точку. Таким образом, разбивая однопараметрическую решетку подгрупп предельными точками проколотых кривых, мы получаем веер решетки, набор многогранных рациональных конусов. Конусы наивысшей размерности точно соответствуют неподвижным точкам тора, пределам этих проколотых кривых.

Предположим, что — свободная абелева группа конечного ранга , например, решетка . Сильно выпуклый рациональный полиэдральный конус в — это выпуклый конус (действительного векторного пространства ) с вершиной в начале координат, порожденный конечным числом векторов из , и не содержащий прямой, проходящей через начало координат. Для краткости их будем называть «конусами». При порождении набором векторов он обозначается . Одномерный конус называется лучом . Для конуса его аффинное торическое многообразие — это спектр моноидной алгебры двойственного конуса к . ^{[ необходимо дополнительное объяснение ]}${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}}$${\displaystyle N}$${\displaystyle N}$${\displaystyle N}$${\displaystyle v_{1},\dots,v_{k}}$${\displaystyle {\text{cone}}(v_{1},\ldots ,v_{k})=\left\{\sum _{i=1}^{k}a_{i}v_{i}\colon a_{i}\in \mathbb {R} _{\geq 0}\right\}}$${\displaystyle \сигма}$${\displaystyle U_{\sigma}}$${\displaystyle \сигма}$

Веер — это набор конусов, закрытых относительно пересечений и граней. Базовое пространство веера — это объединение его конусов, обозначаемое .${\displaystyle \Сигма}$${\displaystyle |\Сигма |}$

Торическое многообразие веера сильно выпуклых рациональных конусов задается путем взятия аффинных торических многообразий его конусов и склеивания их вместе путем отождествления с открытым подмногообразием всякий раз, когда является гранью . Торическое многообразие, построенное из веера, обязательно является нормальным . Наоборот, каждое торическое многообразие имеет связанный с ним веер сильно выпуклых рациональных конусов. Это соответствие называется фундаментальной теоремой для торической геометрии , и оно дает взаимно однозначное соответствие между нормальными торическими многообразиями и веерами сильно выпуклых рациональных конусов. ^[2]${\displaystyle U_{\sigma}}$${\displaystyle U_{\tau }}$${\displaystyle \сигма}$${\displaystyle \тау}$

Веер, связанный с торическим многообразием, сжимает некоторые важные данные о многообразии. Например, дивизоры Картье связаны с лучами веера. Более того, торическое многообразие является гладким , или неособым , если каждый конус в его веере может быть сгенерирован подмножеством базиса для свободной абелевой группы , и оно компактно , если его веер является полным, то есть его базовое пространство является всем векторным пространством.${\displaystyle N}$

Предположим, что и являются веерами в решетках и , соответственно. Если — линейное отображение из в такое, что образ каждого конуса из содержится в конусе из , то индуцирует морфизм между соответствующими торическими многообразиями. Это отображение является собственным тогда и только тогда, когда прообраз из при отображении равен .${\displaystyle \Сигма _{1}}$${\displaystyle \Сигма _{2}}$${\displaystyle N_{1}}$${\displaystyle N_{2}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle N_{1}}$${\displaystyle N_{2}}$${\displaystyle \Сигма _{1}}$${\displaystyle \Сигма _{2}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f_{*}}$${\displaystyle f_{*}}$${\displaystyle |\Сигма _{2}|}$${\displaystyle f}$${\displaystyle |\Сигма _{1}|}$

Торическое многообразие является проективным , если его можно вложить в некоторое комплексное проективное пространство .

Пусть будет многогранником . Для любой вершины из нормальный конус в вершине — это конус, порожденный внешними нормалями граней, содержащих . Нормальный веер — это веер, максимальные конусы которого являются нормальными конусами в каждой вершине из .${\displaystyle P}$${\displaystyle v}$${\displaystyle P}$${\displaystyle P}$${\displaystyle v}$${\displaystyle v}$${\displaystyle P}$${\displaystyle P}$

Хорошо известно, что проективные торические многообразия — это многообразия, происходящие от нормальных вееров рациональных многогранников. ^[3]

Например, комплексная проективная плоскость происходит из треугольника, или - симплекса . Она может быть представлена ​​тремя комплексными координатами, удовлетворяющими${\displaystyle \mathbb {CP} ^{2}}$${\displaystyle 2}$

${\displaystyle |z_{1}|^{2}+|z_{2}|^{2}+|z_{3}|^{2}=1,\,\!}$

где сумма была выбрана для учета реальной масштабирующей части проективной карты, а координаты должны быть, кроме того, идентифицированы следующим действием:${\displaystyle U(1)}$

${\displaystyle (z_{1},z_{2},z_{3})\approx e^{i\phi }(z_{1},z_{2},z_{3}).\,\!}$

Подход торической геометрии заключается в том, чтобы записать

${\displaystyle (x,y,z)=(|z_{1}|^{2},|z_{2}|^{2},|z_{3}|^{2}).\,\! }$

Координаты неотрицательны и параметризуют треугольник, поскольку${\displaystyle x,y,z}$

${\displaystyle x+y+z=1;\,\!}$

то есть,

${\displaystyle \quad z=1-xy.\,\!}$

Треугольник является торической базой комплексной проективной плоскости. Общий слой является двухторовым, параметризованным фазами ; фаза может быть выбрана действительной и положительной по симметрии.${\displaystyle z_{1},z_{2}}$${\displaystyle z_{3}}$${\displaystyle U(1)}$

Однако двухторий вырождается в три различных окружности на границе треугольника, т.е. при или или , поскольку фаза становится несущественной, соответственно.${\displaystyle x=0}$${\displaystyle у=0}$${\displaystyle z=0}$${\displaystyle z_{1},z_{2},z_{3}}$

Точная ориентация окружностей внутри тора обычно изображается наклоном интервалов линий (в данном случае сторон треугольника).

Обратите внимание, что эта конструкция связана с симплектической геометрией , поскольку отображение связано с отображением моментов для действия на симплектическом многообразии .${\displaystyle {\begin{cases}\mathbb {CP} ^{2}&\to \mathbb {R} _{\geq 0}\\(z_{1},z_{2},z_{3})&\mapsto |z_{1}|+|z_{2}|+|z_{3}|\end{cases}}}$${\displaystyle U(1)}$${\displaystyle \mathbb {CP} ^{2}}$

Из основной теоремы торической геометрии следует, что классификация гладких компактных торических многообразий комплексной размерности с делителями Картье эквивалентна классификации гладких полных вееров размерности с лучами.${\displaystyle n}$${\displaystyle м}$ ${\displaystyle n}$${\displaystyle м}$

Число Пикара веера размерности, имеющего лучи, равно величине . Обратите внимание, что на самом деле это ранг группы Пикара торического многообразия, связанного с .${\displaystyle \Сигма}$${\displaystyle n}$${\displaystyle м}$${\displaystyle mn}$${\displaystyle \Сигма}$

• Единственным торическим многообразием размерности и числа Пикара является комплексное проективное пространство . Его связанный веер имеет лучи, порожденные и , для базиса . Конусы этого веера — , и , для . Это нормальный веер к унимодулярному - симплексу и, следовательно, он проективен, хотя это тривиальное утверждение.${\displaystyle n}$${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \mathbb {CP} ^{n}}$${\displaystyle e_{1},e_{2},\ldots ,e_{n}}$${\displaystyle f=-\sum _{i=1}^{n}e_{i}}$${\displaystyle e_{1},e_{2},\ldots ,e_{n}}$${\displaystyle N}$${\displaystyle {\text{конус}}(e_{1},\ldots ,e_{n})}$${\displaystyle {\text{конус}}(e_{1},\ldots ,e_{i-1},f,e_{i+1},\ldots ,e_{n})}$${\displaystyle i=1,\ldots ,n}$${\displaystyle n}$

• П. Кляйншмидт классифицировал все гладкие компактные торические многообразия числа Пикара , все они проективны. ^[4]${\displaystyle 2}$
• Виктор В. Батырев классифицировал все гладкие компактные торические многообразия числа Пикара , все они проективны. ^[5] Этот результат был передоказан С. Чоем и Х. Паком с использованием других методов. ^[6]${\displaystyle 3}$

Классификация для числа Пикара больше неизвестна.${\displaystyle 3}$

Гладкие торические поверхности легко характеризуются, все они проективны и происходят из нормального веера многоугольников, так что в каждой вершине два инцидентных ребра охватываются двумя векторами, которые образуют базис .${\displaystyle \mathbb {Z} ^{2}}$

Каждое торическое многообразие имеет разрешение особенностей, заданное другим торическим многообразием, которое можно построить путем подразделения максимальных конусов его соответствующего веера на конусы гладких торических многообразий.

Идея торических многообразий полезна для зеркальной симметрии , поскольку интерпретация определенных данных веера как данных многогранника приводит к комбинаторному построению зеркальных многообразий.

• Домашняя страница DA Cox, с несколькими лекциями по торическим многообразиям

• Лемма Гордана
• Торический идеал
• Торический стек (примерно это получается путем замены шага взятия частного GIT на стек частного )
• Тороидальная вставка

• Кокс, Дэвид (2003), «Что такое торическое многообразие?», Темы алгебраической геометрии и геометрического моделирования , Contemp. Math., т. 334, Провиденс, Род-Айленд: Amer. Math. Soc., стр.  203–223 , MR  2039974
• Миллер, Эзра (2008), «Что такое ... торическое многообразие?» (PDF) , Notices of the American Mathematical Society , 55 (5): 586– 587, ISSN  0002-9920, MR  2404030

• Данилов В.И. (1978), "Геометрия торических многообразий", Академия наук СССР I Московское математическое общество. Успехи математических наук , 33 (2): 85–134 , doi :10.1070/RM1978v033n02ABEH002305, ISSN  0042-1316, MR  0495499

• Кемпф, Г.; Кнудсен, Финн Фэй; Мамфорд, Дэвид ; Сен-Донат, Б. (1973), Тороидальные вложения I , Lecture Notes in Mathematics, т. 339, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , doi : 10.1007/BFb0070318 , ISBN 978-3-540-06432-9, МР  0335518
• Ода, Тадао (1988), Выпуклые тела и алгебраическая геометрия , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3) [Результаты по математике и смежным областям (3)], vol. 15, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-17600-8, МР  0922894
• Фултон, Уильям (1993), Введение в торические многообразия , Princeton University Press , ISBN 978-0-691-00049-7
• Кокс, Дэвид А.; Литтл, Джон Б.; Шенк, Хэл (2011), «Торические многообразия», Graduate Studies in Mathematics (AMS) , 124 , ISBN 978-1-4704-7820-9
• Бухштабер, Виктор М.; Панов, Тарас Е. (2015), Торическая топология, Математическое исследование моногр., т. 204, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество (AMS), doi : 10.1090/surv/204, ISBN 978-1-4704-2214-1, ISSN  0076-5376