Лемма Гордана

Лемма Гордана — лемма в выпуклой геометрии и алгебраической геометрии . Она может быть сформулирована несколькими способами.

  • Пусть будет матрицей целых чисел. Пусть будет множеством неотрицательных целочисленных решений . Тогда существует конечное подмножество векторов в , такое, что каждый элемент из является линейной комбинацией этих векторов с неотрицательными целочисленными коэффициентами. [1] А {\displaystyle А} М {\displaystyle М} А ⋅ х = 0 {\displaystyle A\cdot x=0} М {\displaystyle М} М {\displaystyle М}
  • Полугруппа целых точек в рациональном выпуклом многогранном конусе конечно порождена. [2 ]
  • Аффинное торическое многообразие является алгебраическим многообразием (это следует из того факта, что простой спектр полугрупповой алгебры такой полугруппы по определению является аффинным торическим многообразием ).

Лемма названа в честь математика Пола Гордана (1837–1912). Некоторые авторы неправильно пишут ее как «лемма Гордона».

Доказательства

Существуют топологические и алгебраические доказательства.

Топологическое доказательство

Пусть будет двойственным конусом данного рационального многогранного конуса. Пусть будут целыми векторами, так что Тогда 's порождают двойственный конус ; действительно, записывая C для конуса, порожденного 's, мы имеем: , что должно быть равенством. Теперь, если x находится в полугруппе σ {\displaystyle \сигма} ты 1 , … , ты г {\displaystyle u_{1},\точки ,u_{r}} σ = { х ∣ ⟨ ты я , х ⟩ ≥ 0 , 1 ≤ я ≤ г } . {\displaystyle \sigma =\{x\mid \langle u_{i},x\rangle \geq 0,1\leq i\leq r\}.} ты я {\displaystyle u_{i}} σ ∨ {\displaystyle \сигма ^{\вее}} ты я {\displaystyle u_{i}} σ ⊂ С ∨ {\displaystyle \сигма \подмножество C^{\vee}}

С σ = σ ∨ ∩ З г , {\displaystyle S_{\sigma }=\sigma ^{\vee }\cap \mathbb {Z} ^{d},}

то это можно записать как

х = ∑ я н я ты я + ∑ я г я ты я , {\displaystyle x=\sum _{i}n_{i}u_{i}+\sum _{i}r_{i}u_{i},}

где — неотрицательные целые числа и . Но поскольку x и первая сумма в правой части являются целыми числами, вторая сумма является точкой решетки в ограниченной области, и поэтому существует только конечное число возможностей для второй суммы (топологическая причина). Следовательно, конечно порождено. н я {\displaystyle n_{i}} 0 ≤ г я ≤ 1 {\displaystyle 0\leq r_{i}\leq 1} С σ {\displaystyle S_{\сигма}}

Алгебраическое доказательство

Доказательство [3] основано на том факте, что полугруппа S конечно порождена тогда и только тогда, когда ее полугрупповая алгебра является конечно порожденной алгеброй над . Для доказательства леммы Гордана по индукции (ср. доказательство выше) достаточно доказать следующее утверждение: для любой унитальной подполугруппы S из , С [ С ] {\displaystyle \mathbb {C} [S]} С {\displaystyle \mathbb {C} } З г {\displaystyle \mathbb {Z} ^{d}}

Если S конечно порождено, то , v — целочисленный вектор, конечно порождено. С + = С ∩ { х ∣ ⟨ х , в ⟩ ≥ 0 } {\displaystyle S^{+}=S\cap \{x\mid \langle x,v\rangle \geq 0\}}

Положим , который имеет базу . Он имеет -градуировку, заданную А = С [ С ] {\displaystyle A=\mathbb {C} [S]} χ а , а ∈ С {\displaystyle \chi ^{a},\,a\in S} З {\displaystyle \mathbb {Z} }

А н = охватывать ⁡ { χ а ∣ а ∈ С , ⟨ а , в ⟩ = н } {\displaystyle A_{n}=\operatorname {span} \{\chi ^{a}\mid a\in S,\langle a,v\rangle =n\}} .

По предположению, A конечно порождена и, таким образом, является нётеровой. Из алгебраической леммы ниже следует, что является конечно порожденной алгеброй над . Теперь полугруппа является образом S при линейной проекции, таким образом, конечно порождена и, таким образом , конечно порождена. Следовательно, является конечно порожденной тогда. С [ С + ] = ⊕ 0 ∞ А н {\displaystyle \mathbb {C} [S^{+}]=\oplus _{0}^{\infty }A_{n}} А 0 {\displaystyle A_{0}} С 0 = С ∩ { х ∣ ⟨ х , в ⟩ = 0 } {\displaystyle S_{0}=S\cap \{x\mid \langle x,v\rangle =0\}} А 0 = С [ С 0 ] {\displaystyle A_{0}=\mathbb {C} [S_{0}]} С + {\displaystyle S^{+}}

Лемма : Пусть A — -градуированное кольцо. Если A — нётерово кольцо, то — конечно порождённая -алгебра. З {\displaystyle \mathbb {Z} } А + = ⊕ 0 ∞ А н {\displaystyle A^{+}=\oplus _{0}^{\infty }A_{n}} А 0 {\displaystyle A_{0}}

Доказательство: Пусть I — идеал A, порождённый всеми однородными элементами A положительной степени. Так как A — нётерово, I на самом деле порождается конечным числом , однородных положительной степени. Если f однороден положительной степени, то мы можем записать с однородным. Если f имеет достаточно большую степень, то каждый имеет степень положительную и строго меньшую, чем у f . Кроме того, каждая часть степени является конечно порождённым -модулем. (Доказательство: Пусть — возрастающая цепочка конечно порождённых подмодулей с объединением . Тогда цепочка идеалов стабилизируется за конечные шаги; то же самое делает и цепочка ) Таким образом, индукцией по степени мы видим, что — конечно порождённая -алгебра. ф я ′ с {\displaystyle f_{i}'s} ф = ∑ я г я ф я {\textstyle f=\sum _{i}g_{i}f_{i}} г я {\displaystyle g_{i}} г я {\displaystyle g_{i}} А н {\displaystyle A_{n}} А 0 {\displaystyle A_{0}} Н я {\displaystyle N_{i}} А н {\displaystyle A_{n}} А н {\displaystyle A_{n}} Н я А {\displaystyle N_{i}A} Н я = Н я А ∩ А н . {\displaystyle N_{i}=N_{i}A\cap A_{n}.} А + {\displaystyle А^{+}} А 0 {\displaystyle A_{0}}

Приложения

Мультигиперграф над некоторым множеством — это мультимножество подмножеств (оно называется «мультигиперграфом», поскольку каждое гиперребро может встречаться более одного раза). Мультигиперграф называется регулярным , если все вершины имеют одинаковую степень . Он называется разложимым, если у него есть собственное непустое подмножество, которое также является регулярным. Для любого целого числа n пусть — максимальная степень неразложимого мультигиперграфа на n вершинах. Из леммы Гордана следует, что является конечным. [1] Доказательство : для каждого подмножества S вершин определим переменную x S (неотрицательное целое число). Определим другую переменную d (неотрицательное целое число). Рассмотрим следующий набор из n уравнений (одно уравнение на вершину): Каждое решение ( x , d ) обозначает регулярный мультигиперграф на , где x определяет гиперребра, а d — степень. По лемме Гордана множество решений порождается конечным множеством решений, т. е. существует конечное множество мультигиперграфов, такое, что каждый регулярный мультигиперграф является линейной комбинацией некоторых элементов из . Каждый неразложимый мультигиперграф должен быть в (так как по определению он не может быть порожден другим мультигиперграфом). Следовательно, множество неразложимых мультигиперграфов конечно. В {\displaystyle V} В {\displaystyle V} Д ( н ) {\displaystyle D(n)} Д ( н ) {\displaystyle D(n)} ∑ С ∋ в х С − г = 0  для всех  в ∈ В {\displaystyle \sum _{S\ni v}x_{S}-d=0{\text{ для всех }}v\in V} В {\displaystyle V} М {\displaystyle М} М {\displaystyle М} М {\displaystyle М}

Смотрите также

  • Алгоритм Биркгофа — это алгоритм, который, имея бистохастическую матрицу (матрицу, решающую определенный набор уравнений), находит ее разложение в интегральные матрицы. Он связан с леммой Гордана тем, что показывает, что набор этих матриц порождается конечным набором интегральных матриц.

Ссылки

  1. ^ ab Alon, N; Berman, KA (1986-09-01). «Регулярные гиперграфы, лемма Гордона, лемма Стейница и теория инвариантов». Журнал комбинаторной теории, Серия A. 43 ( 1): 91–97. doi : 10.1016/0097-3165(86)90026-9 . ISSN  0097-3165.
  2. ^ Дэвид А. Кокс, Лекции по торическим многообразиям. Лекция 1. Предложение 1.11.
  3. ^ Брунс, Винфрид; Губеладзе, Джозеф (2009). Многогранники, кольца и K-теория . Springer Monographs in Mathematics. Springer. doi :10.1007/b105283. ISBN  978-0-387-76355-2., Лемма 4.12.

Смотрите также

Взято с "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Gordan%27s_lemma&oldid=1136317103"