Комбинаторная зеркальная симметрия

Чисто комбинаторный подход к зеркальной симметрии был предложен Виктором Батыревым с использованием полярной двойственности для -мерных выпуклых многогранников. [1] Наиболее известные примеры полярной двойственности предоставляют Платоновы тела : например, куб двойственен октаэдру , додекаэдр двойственен икосаэдру . Существует естественная биекция между -мерными гранями -мерного выпуклого многогранника и -мерными гранями двойственного многогранника , и один имеет . В комбинаторном подходе Батырева к зеркальной симметрии полярная двойственность применяется к специальным -мерным выпуклым решетчатым многогранникам , которые называются рефлексивными многогранниками. [2] г {\displaystyle д} к {\displaystyle к} г {\displaystyle д} П {\displaystyle P} ( г − к − 1 ) {\displaystyle (dk-1)} П ∗ {\displaystyle P^{*}} ( П ∗ ) ∗ = П {\displaystyle (P^{*})^{*}=P} г {\displaystyle д}

Виктор Батырев и Дуко ван Стратен [3] заметили , что метод Филиппа Канделаса и др. [4] для вычисления числа рациональных кривых на трехмерных многообразиях Калаби–Яу пятой степени может быть применен к произвольным полным пересечениям Калаби–Яу с использованием обобщенных -гипергеометрических функций, введенных Израилем Гельфандом , Михаилом Капрановым и Андреем Зелевинским [5] (см. также доклад Александра Варченко [6] ), где — множество точек решетки в рефлексивном многограннике . А {\displaystyle А} А {\displaystyle А} П {\displaystyle P}

Комбинаторная зеркальная двойственность для гиперповерхностей Калаби–Яу в торических многообразиях была обобщена Львом Борисовым [7] на случай полных пересечений Калаби–Яу в горенштейновых торических многообразиях Фано . Используя понятия двойственного конуса и полярного конуса, можно рассматривать полярную двойственность для рефлексивных многогранников как частный случай двойственности для выпуклых конусов Горенштейна [8] и двойственности для многогранников Горенштейна. [9] [10]

Для любого фиксированного натурального числа существует только конечное число -мерных рефлексивных многогранников с точностью до -изоморфизма. Число известно только для : , , , Комбинаторная классификация -мерных рефлексивных симплексов с точностью до -изоморфизма тесно связана с перечислением всех решений диофантова уравнения . Классификация 4-мерных рефлексивных многогранников с точностью до -изоморфизма важна для построения многих топологически различных 3-мерных многообразий Калаби–Яу с использованием гиперповерхностей в 4-мерных торических многообразиях , которые являются многообразиями Горенштейна– Фано . Полный список 3-мерных и 4-мерных рефлексивных многогранников был получен физиками Максимилианом Крейцером и Харальдом Скарке с помощью специального программного обеспечения в Polymake . [11] [12] [13] [14] г {\displaystyle д} Н ( г ) {\displaystyle N(d)} г {\displaystyle д} Г Л ( г , З ) {\ displaystyle GL (d, \ mathbb {Z})} Н ( г ) {\displaystyle N(d)} г ≤ 4 {\displaystyle d\leq 4} Н ( 1 ) = 1 {\displaystyle N(1)=1} Н ( 2 ) = 16 {\displaystyle N(2)=16} Н ( 3 ) = 4319 {\displaystyle N(3)=4319} Н ( 4 ) = 473800776. {\displaystyle N(4)=473800776.} г {\displaystyle д} Г Л ( г , З ) {\ displaystyle GL (d, \ mathbb {Z})} ( к 0 , к 1 , … , к г ) ∈ Н г + 1 {\displaystyle (k_{0},k_{1},\ldots ,k_{d})\in \mathbb {N} ^{d+1}} 1 к 0 + ⋯ + 1 к г = 1 {\displaystyle {\frac {1}{k_{0}}}+\cdots +{\frac {1}{k_{d}}}=1} Г Л ( 4 , З ) {\ displaystyle GL (4, \ mathbb {Z})}

Математическое объяснение комбинаторной зеркальной симметрии было получено Львом Борисовым с помощью алгебр вершинных операторов , которые являются алгебраическими аналогами конформных теорий поля . [15]

Смотрите также

Ссылки

  1. ^ Батырев, В. (1994). «Двойственные многогранники и зеркальная симметрия для гиперповерхностей Калаби–Яу в торических многообразиях». Журнал алгебраической геометрии : 493–535 .
  2. ^ Нилл, Б. «Рефлексивные многогранники» (PDF) .
  3. ^ Батырев, В.; ван Стратен, Д. (1995). «Обобщенные гипергеометрические функции и рациональные кривые на полных пересечениях Калаби–Яу в торических многообразиях». Comm. Math. Phys . 168 (3): 493– 533. arXiv : alg-geom/9307010 . Bibcode :1995CMaPh.168..493B. doi :10.1007/BF02101841. S2CID  16401756.
  4. ^ Канделас, П.; де ла Осса, Х.; Грин, П.; Паркес, Л. (1991). «Пара многообразий Калаби–Яу как точно решаемая суперконформная теория поля». Nuclear Physics B . 359 (1): 21– 74. doi :10.1016/0550-3213(91)90292-6.
  5. ^ И. Гельфанд, М. Капранов, С. Зелевинский (1989), «Гипергеометрические функции и торические многообразия», Funct. Anal. Appl. 23, № 2, 94–10.
  6. ^ А. Варченко (1990), «Многомерные гипергеометрические функции в конформной теории поля, алгебраической К-теории, алгебраической геометрии», Труды ICM-90, 281–300.
  7. ^ Л. Борисов (1994), «К зеркальной симметрии для полных пересечений Калаби–Яу в горенштейновых торических многообразиях Фано», arXiv :alg-geom/9310001
  8. ^ Батырев, В.; Борисов, Л. (1997). «Двойственные конусы и зеркальная симметрия для обобщенных многообразий Калаби–Яу». Mirror Symmetry, II : 71–86 .
  9. ^ Батырев, В.; Нилл, Б. (2008). «Комбинаторные аспекты зеркальной симметрии». Contemporary Mathematics . 452 : 35–66 . doi :10.1090/conm/452/08770. ISBN 9780821841730. S2CID  6817890.
  10. ^ Крейцер, М. (2008). «Комбинаторика и зеркальная симметрия: результаты и перспективы» (PDF) .
  11. ^ М. Крейцер, Х. Скарке (1997), «О классификации рефлексивных многогранников», Comm. Math. Phys., 185, 495–508
  12. ^ М. Крейцер, Х. Скарке (1998) «Классификация рефлексивных многогранников в трех измерениях», Advances Theor. Math. Phys., 2, 847–864
  13. ^ М. Крейцер, Х. Скарке (2002), «Полная классификация рефлексивных многогранников в четырех измерениях», Advances Theor. Math. Phys., 4, 1209–1230
  14. ^ М. Кройцер, Х. Скарке, данные Калаби-Яу, http://hep.itp.tuwien.ac.at/~kreuzer/CY/
  15. ^ Л. Борисов (2001), «Вершинные алгебры и зеркальная симметрия», Comm. Math. Phys., 215, № 3, 517–557.
Взято с "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Комбинаторная_зеркальная_симметрия&oldid=1264486938"