Ретракция (топология)

В топологии , разделе математики , ретракция — это непрерывное отображение топологического пространства в подпространство , сохраняющее положение всех точек в этом подпространстве. ^[1] Подпространство в таком случае называется ретрактом исходного пространства. Ретракция деформации — это отображение, которое отражает идею непрерывного сжатия пространства в подпространство.

Абсолютный ретракт соседства ( ANR ) — это особенно хорошо себя ведущий тип топологического пространства. Например, каждое топологическое многообразие является ANR. Каждое ANR имеет гомотопический тип очень простого топологического пространства, CW-комплекса .

Пусть X — топологическое пространство, а A — подпространство X. Тогда непрерывное отображение

${\displaystyle r\двоеточие X\до A}$

является ретракцией , если ограничение r на A является тождественным отображением на A ; то есть для всех a в A . Эквивалентно, обозначая через${\textstyle р(а)=а}$

${\displaystyle \iota \colon A\hookrightarrow X}$

включение , ретракция — это непрерывное отображение r такое, что

${\displaystyle r\circ \iota =\operatorname {id} _{A},}$

то есть композиция r с включением является тождеством A . Обратите внимание, что по определению ретракция отображает X на A . Подпространство A называется ретрактом X , если такая ретракция существует. Например, любое непустое пространство очевидным образом ретракция переходит в точку (любое постоянное отображение дает ретракцию). Если X является хаусдорфовым , то A должно быть замкнутым подмножеством X .

Если — ретракция, то композиция ι∘ r — идемпотентное непрерывное отображение из X в X. Обратно, для любого идемпотентного непрерывного отображения мы получаем ретракцию на образ s, ограничивая область значений .${\textstyle r:X\to A}$${\textstyle s:X\to X,}$

Непрерывная карта

${\displaystyle F\двоеточие X\times [0,1]\to X}$

является деформационной ретракцией пространства X на подпространство A , если для каждого x из X и a из A ,

${\displaystyle F(x,0)=x,\quad F(x,1)\in A,\quad {\mbox{и}}\quad F(a,1)=a.}$

Другими словами , деформационная ретракция — это гомотопия между ретракцией и тождественным отображением на X. Подпространство A называется деформационным ретрактом X. Деформационная ретракция — это частный случай гомотопической эквивалентности .

Ретракт не обязательно должен быть деформационным ретрактом. Например, наличие единственной точки в качестве деформационного ретракта пространства X будет означать, что X является путеводно-связанным (и фактически, что X является стягиваемым ).

Примечание: Эквивалентное определение деформационной ретракции следующее. Непрерывное отображение является деформационной ретракцией, если оно является ретракцией и его композиция с включением гомотопна тождественному отображению на X. В этой формулировке деформационная ретракция несет с собой гомотопию между тождественным отображением на X и собой.${\textstyle r:X\to A}$

Если в определение деформационного ретракции добавить требование, чтобы

${\displaystyle F(a,t)=a}$

для всех t в [0, 1] и a в A , то F называется сильной деформационной ретракцией . Другими словами, сильная деформационная ретракция оставляет точки в A неподвижными на протяжении всей гомотопии. (Некоторые авторы, такие как Хэтчер , принимают это как определение деформационной ретракции.)

В качестве примера, n -сфера представляет собой сильный деформационный ретракт, в качестве сильного деформационного ретракта можно выбрать карту${\textstyle S^{н}}$${\textstyle \mathbb {R} ^{n+1}\обратная косая черта \{0\};}$

${\displaystyle F(x,t)=(1-t)x+t{x \over \|x\|}.}$

Обратите внимание, что условие быть сильным деформационным ретрактом строго сильнее , чем быть деформационным ретрактом. Например, пусть X будет подпространством из , состоящим из замкнутых отрезков прямой, соединяющих начало координат и точку для n — положительного целого числа, вместе с замкнутым отрезком прямой, соединяющим начало координат с . Пусть X имеет топологию подпространства, унаследованную от евклидовой топологии на . Теперь пусть A будет подпространством X, состоящим из отрезка прямой, соединяющего начало координат с . Тогда A является деформационным ретрактом X , но не сильным деформационным ретрактом X . ^[2]${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$${\displaystyle (1/n,1)}$${\displaystyle (0,1)}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$${\displaystyle (0,1)}$

Отображение f : A → X топологических пространств является корасслоением ( Гуревича ) , если оно обладает свойством гомотопического расширения для отображений в любое пространство. Это одно из центральных понятий теории гомотопий . Корасслоение f всегда инъективно, фактически является гомеоморфизмом к своему образу. ^[3] Если X является хаусдорфовым (или компактно порожденным слабым хаусдорфовым пространством ), то образ корасслоения f замкнут в X .

Среди всех замкнутых включений корасслоения можно охарактеризовать следующим образом. Включение замкнутого подпространства A в пространство X является корасслоением тогда и только тогда, когда A является ретрактом деформации окрестности X , что означает, что существует непрерывное отображение с и гомотопия такая, что для всех для всех и и если . ^[4]${\displaystyle u:X\rightarrow [0,1]}$${\textstyle A=u^{-1}\!\left(0\right)}$${\textstyle H:X\times [0,1]\rightarrow X}$${\textstyle Н(х,0)=х}$${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle H(a,t)=a}$${\displaystyle а\в А}$${\displaystyle t\in [0,1],}$${\textstyle H\left(x,1\right)\in A}$${\displaystyle и(х)<1}$

Например, включение подкомплекса в комплекс CW является кофибрацией.

• Одним из основных свойств ретракции A множества X (с ретракцией ) является то, что каждое непрерывное отображение имеет по крайней мере одно расширение, а именно .${\textstyle r:X\to A}$${\textstyle f:A\rightarrow Y}$${\ textstyle g: X \ rightarrow Y,}$${\textstyle g=f\circ r}$
• Если подпространство является ретрактом пространства, то включение индуцирует инъекцию между фундаментальными группами.
• Ретракция деформации является частным случаем гомотопической эквивалентности. Фактически, два пространства гомотопически эквивалентны тогда и только тогда, когда они оба гомеоморфны ретракциям деформации одного большего пространства.
• Любое топологическое пространство, которое деформация стягивает в точку, является стягиваемым и наоборот. Однако существуют стягиваемые пространства, которые не сильно деформируют стягивание в точку. ^[5]

Граница n -мерного шара , то есть ( n −1)-сферы, не является ретрактом шара. (См. теорему Брауэра о неподвижной точке § Доказательство с использованием гомологии или когомологии .)

Замкнутое подмножество топологического пространства называется окрестностным ретрактом , если является ретрактом некоторого открытого подмножества , содержащего .${\textstyle X}$${\textstyle Y}$${\textstyle Y}$${\textstyle X}$${\textstyle Y}$${\textstyle X}$

Пусть — класс топологических пространств, замкнутый относительно гомеоморфизмов и перехода к замкнутым подмножествам. Следуя Борсуку (начиная с 1931 г.), пространство называется абсолютным ретрактом для класса , пишется , если находится в , и всякий раз, когда является замкнутым подмножеством пространства в , является ретрактом . Пространство является абсолютным окрестностным ретрактом для класса , пишется, если находится в , и всякий раз, когда является замкнутым подмножеством пространства в , является окрестностным ретрактом .${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\textstyle X}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\textstyle \operatorname {AR} \left({\mathcal {C}}\right),}$${\textstyle X}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\textstyle X}$${\textstyle Y}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\textstyle X}$${\textstyle Y}$${\textstyle X}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\textstyle \operatorname {ANR} \left({\mathcal {C}}\right),}$${\textstyle X}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\textstyle X}$${\textstyle Y}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\textstyle X}$${\textstyle Y}$

В этом определении рассматривались различные классы, такие как нормальные пространства , но было обнаружено, что класс метризуемых пространств дает наиболее удовлетворительную теорию. По этой причине обозначения AR и ANR сами по себе используются в этой статье для обозначения и . [ 6 ^]${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle {\mathcal {M}}}$${\displaystyle \operatorname {AR} \left({\mathcal {M}}\right)}$${\displaystyle \operatorname {ANR} \left({\mathcal {M}}\right)}$

Метризуемое пространство является AR тогда и только тогда, когда оно стягиваемо и является ANR. ^[7] По Дугунджи , каждое локально выпуклое метризуемое топологическое векторное пространство является AR; в более общем случае каждое непустое выпуклое подмножество такого векторного пространства является AR. ^[8] Например, любое нормированное векторное пространство ( полное или нет) является AR. Более конкретно, евклидово пространство, единичный куб и гильбертов куб являются AR.${\textstyle V}$${\textstyle V}$${\textstyle \mathbb {R} ^{n},}$ ${\textstyle Я^{н},}$ ${\textstyle Я^{\омега}}$

ANR образуют замечательный класс " хорошо себя ведущих " топологических пространств. Среди их свойств:

• Каждое открытое подмножество ANR является ANR.
• По Ханнеру , метризуемое пространство, имеющее открытое покрытие ANR, является ANR. ^[9] (То есть, быть ANR — локальное свойство для метризуемых пространств.) Из этого следует, что каждое топологическое многообразие является ANR. Например, сфера является ANR, но не AR (потому что она не стягиваема). В бесконечных измерениях теорема Ханнера подразумевает, что каждое кубическое многообразие Гильберта, а также (довольно разные, например, не локально компактные ) многообразия Гильберта и многообразия Банаха являются ANR.${\textstyle S^{н}}$
• Каждый локально конечный комплекс CW является ANR. ^[10] Произвольный комплекс CW не обязательно должен быть метризуемым, но каждый комплекс CW имеет гомотопический тип ANR (который метризуем по определению). ^[11]
• Каждое ANR X локально стягиваемо в том смысле, что для каждой открытой окрестности точки в , существует открытая окрестность , содержащаяся в , такая, что включение гомотопно постоянному отображению . Конечномерное метризуемое пространство является ANR тогда и только тогда, когда оно локально стягиваемо в этом смысле. ^[12] Например, множество Кантора является компактным подмножеством действительной прямой, которое не является ANR, поскольку оно даже локально не связно .${\textstyle U}$${\textstyle x}$${\textstyle X}$${\textstyle V}$${\textstyle x}$${\textstyle U}$${\textstyle V\hookrightarrow U}$
• Контрпримеры: Борсук нашел компактное подмножество , которое является ANR, но не является строго локально стягиваемым. ^[13] (Пространство является строго локально стягиваемым, если каждая открытая окрестность каждой точки содержит стягиваемую открытую окрестность .) Борсук также нашел компактное подмножество куба Гильберта, которое является локально стягиваемым (как определено выше), но не является ANR. ^[14]${\textstyle \mathbb {R} ^{3}}$${\textstyle U}$${\textstyle x}$${\textstyle x}$
• Каждый ANR имеет гомотопический тип CW-комплекса по Уайтхеду и Милнору . ^[15] Более того, локально компактный ANR имеет гомотопический тип локально конечного CW-комплекса; и, по Уэсту, компактный ANR имеет гомотопический тип конечного CW-комплекса. ^[16] В этом смысле ANR избегают всех гомотопически-теоретических патологий произвольных топологических пространств. Например, теорема Уайтхеда верна для ANR: отображение ANR, которое индуцирует изоморфизм на гомотопических группах (для всех выборов базовой точки), является гомотопической эквивалентностью. Поскольку ANR включают топологические многообразия, многообразия кубов Гильберта, многообразия Банаха и т. д., эти результаты применимы к большому классу пространств.
• Многие пространства отображений являются ANR. В частности, пусть Y будет ANR с замкнутым подпространством A , которое является ANR, и пусть X будет любым компактным метризуемым пространством с замкнутым подпространством B. Тогда пространство отображений пар (с компактно-открытой топологией на пространстве отображений ) является ANR. ^[17] Из этого следует, например, что пространство петель любого комплекса CW имеет гомотопический тип комплекса CW.${\textstyle \left(Y,A\right)^{\left(X,B\right)}}$ ${\textstyle \left(X,B\right)\rightarrow \left(Y,A\right)}$
• По Коти, метризуемое пространство является ANR тогда и только тогда, когда каждое открытое подмножество имеет гомотопический тип комплекса CW. ^[18]${\textstyle X}$${\textstyle X}$
• По Коти, существует метрическое линейное пространство (имеется в виду топологическое векторное пространство с трансляционно-инвариантной метрикой), которое не является AR. Можно взять сепарабельное и F -пространство (то есть полное метрическое линейное пространство). ^[19] (По теореме Дугунджи выше, не может быть локально выпуклым.) Поскольку является стягиваемым и не является AR, оно также не является ANR. По теореме Коти выше, имеет открытое подмножество , которое не является гомотопически эквивалентным CW-комплексу. Таким образом, существует метризуемое пространство , которое является строго локально стягиваемым, но не является гомотопически эквивалентным CW-комплексу. Неизвестно, должно ли компактное (или локально компактное) метризуемое пространство, которое является строго локально стягиваемым, быть ANR.${\textstyle V}$${\textstyle V}$${\textstyle V}$${\textstyle V}$${\textstyle V}$${\textstyle U}$${\textstyle U}$

• Борсук, Кароль (1931), «Sur les retractes», Fundamenta Mathematicae , 17 : 152–170 , doi : 10.4064/fm-17-1-152-170 , Zbl  0003.02701
• Борсук, Кароль (1967), Теория ретрактов , Варшава: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, MR  0216473
• Коти, Роберт (1994), «Une caractérisation des retractes absolus de voisinage», Fundamenta Mathematicae , 144 : 11–22 , doi : 10.4064/fm-144-1-11-22 , MR  1271475
• Коти, Роберт (1994), «Un espace métrique linéaire qui n'est pas un retracte absolu», Fundamenta Mathematicae , 146 : 85–99 , doi : 10.4064/fm-146-1-85-99 , MR  1305261
• Фрич, Рудольф; Пиччинини, Ренцо (1990), Ячеистые структуры в топологии , Cambridge University Press , ISBN 0-521-32784-9, МР  1074175
• Хэтчер, Аллен (2002), Алгебраическая топология, Cambridge University Press , ISBN 0-521-79540-0, г-н  1867354
• Ху, Сзе-Цен (1965), Теория ретрактов , Wayne State University Press, MR  0181977
• Мардешич, Сибе (1999), «Абсолютные ретракты окрестностей и теория форм», в Джеймсе, И.М. (ред.), История топологии , Амстердам: Северная Голландия , стр.  241–269 , ISBN 0-444-82375-1, г-н  1674915
• Мэй, Дж. Питер (1999), Краткий курс алгебраической топологии (PDF) , Издательство Чикагского университета , ISBN 0-226-51182-0, г-н  1702278
• Милнор, Джон (1959), «О пространствах, имеющих гомотопический тип CW-комплекса», Труды Американского математического общества , 90 (2): 272– 280, doi :10.2307/1993204, JSTOR  1993204, MR  0100267
• Пуппе, Дитер (1967), «Bemerkungen über die Erweiterung von Homotopien», Archiv der Mathematik , 18 : 81–88 , doi : 10.1007/BF01899475, MR  0206954, S2CID  120021003
• Уэст, Джеймс (2004), «Абсолютные ретракты», в Харт, К.П. (ред.), Энциклопедия общей топологии , Амстердам: Elsevier , ISBN 0-444-50355-2, МР  2049453

• В данной статье использованы материалы из ретракта Neighborhood на PlanetMath , лицензированного по лицензии Creative Commons Attribution/Share-Alike License .