Метрика Кэли–Клейна

В математике метрика Кэли–Клейна — это метрика на дополнении фиксированной квадрики в проективном пространстве , которая определяется с помощью перекрестного отношения . Конструкция возникла из эссе Артура Кэли «О теории расстояния» ^[1] , где он называет квадрику абсолютом . Конструкция была более подробно разработана Феликсом Клейном в статьях 1871 и 1873 годов, а также в последующих книгах и статьях. ^{[2] [3] [4] [5] [6] [ 7] [ 8] [9]} Метрики Кэли–Клейна являются объединяющей идеей в геометрии, поскольку этот метод используется для предоставления метрик в гиперболической геометрии , эллиптической геометрии и евклидовой геометрии . Область неевклидовой геометрии во многом покоится на фундаменте, предоставляемом метриками Кэли–Клейна.

Алгебра бросков Карла фон Штаудта (1847) — это подход к геометрии, который не зависит от метрики . Идея заключалась в том, чтобы использовать отношение проективных гармонических сопряжений и перекрестных отношений в качестве фундаментального для меры на прямой. ^[10] Другим важным открытием была формула Лагерра Эдмона Лагерра (1853), который показал, что евклидов угол между двумя прямыми может быть выражен как логарифм перекрестного отношения. ^[11] В конце концов, Кэли (1859) сформулировал соотношения для выражения расстояния в терминах проективной метрики и связал их с общими квадриками или кониками, выступающими в качестве абсолюта геометрии. ^{[12] [13]} Клейн (1871, 1873) удалил последние остатки метрических концепций из работы фон Штаудта и объединил ее с теорией Кэли, чтобы основать новую метрику Кэли на логарифме и двойном отношении как числе, полученном геометрическим расположением четырех точек. ^[14] Эта процедура необходима, чтобы избежать кругового определения расстояния, если двойное отношение является просто двойным отношением ранее определенных расстояний. ^[15] В частности, он показал, что неевклидовы геометрии могут быть основаны на метрике Кэли–Клейна. ^[16]

Геометрия Кэли–Клейна — это изучение группы движений , которые оставляют метрику Кэли–Клейна инвариантной . Она зависит от выбора квадрики или коники, которая становится абсолютом пространства. Эта группа получается как коллинеации , для которых абсолют устойчив . Действительно, перекрестное отношение инвариантно относительно любой коллинеации, а устойчивый абсолют позволяет провести метрическое сравнение, которое будет равенством. Например, единичная окружность является абсолютом модели диска Пуанкаре и модели Бельтрами–Клейна в гиперболической геометрии . Аналогично, действительная прямая является абсолютом модели полуплоскости Пуанкаре .

Масштаб геометрии Кэли-Клейна был обобщен Хорстом и Рольфом Струве в 2004 году: ^[17]

В реальной проективной прямой существует три абсолюта, в реальной проективной плоскости — семь, а в реальном проективном пространстве — 18. Все классические неевклидовы проективные пространства, такие как гиперболические, эллиптические, галилеевские и минковские, а также их двойственные, могут быть определены таким образом.

Диаграммы Кэли-Клейна- Вороного являются аффинными диаграммами с линейными гиперплоскостными биссектрисами. ^[18]

Метрика Кэли–Клейна впервые проиллюстрирована на вещественной проективной прямой P( R ) и проективных координатах . Обычно проективная геометрия не ассоциируется с метрической геометрией, но устройство с гомографией и натуральным логарифмом устанавливает связь. Начнем с двух точек p и q на P( R ). В каноническом вложении они равны [ p :1] и [ q :1]. Гомографическое отображение

${\displaystyle [z:1]{\begin{pmatrix}-1&1\\p&-q\end{pmatrix}}=[pz:zq]}$

переводит p в ноль, а q в бесконечность. Более того, средняя точка ( p + q )/2 переходит в [1:1]. Натуральный логарифм переводит изображение интервала [ p , q ] в вещественную прямую, причем логарифм изображения средней точки равен 0.

Для расстояния между двумя точками в интервале метрика Кэли–Клейна использует логарифм отношения точек. Поскольку отношение сохраняется, когда числитель и знаменатель одинаково перепропорционированы, логарифм таких отношений сохраняется. Эта гибкость отношений позволяет перемещать нулевую точку для расстояния: Чтобы переместить ее в a , примените указанную выше гомографию, скажем, получив w . Затем сформируйте эту гомографию:

${\displaystyle [z:1]{\begin{pmatrix}1&0\\0&w\end{pmatrix}}}$что преобразует [ w ,1] в [1:1].

Композиция первой и второй гомографии переводит a в 1, тем самым нормализуя произвольное a в интервале. Составленные гомографии называются кросс-гомографией p , q и a . Часто кросс-отношение вводится как функция четырех значений. Здесь три определяют гомографию, а четвертое является аргументом гомографии . Расстояние этой четвертой точки от 0 является логарифмом оцененной гомографии.

В проективном пространстве, содержащем P( R ), предположим, что задана коника K с p и q на K . Гомография на большем пространстве может иметь K как инвариантное множество , поскольку она переставляет точки пространства. Такая гомография индуцирует единицу на P( R ), и поскольку p и q остаются на K , перекрестное отношение остается инвариантным. Более высокие гомографии обеспечивают движения области, ограниченной K , с движением, сохраняющим расстояние, изометрию .

Предположим, что для абсолюта выбрана единичная окружность. Она может быть в P ² ( R ) как

${\displaystyle \{[x:y:z]:x^{2}+y^{2} = z^{2}\}}$что соответствует${\displaystyle (x/z)^{2}+(y/z)^{2}=1.}$

С другой стороны, единичная окружность в обычной комплексной плоскости

${\displaystyle \{z:|z|^{2}=zz^{*}=1\}}$использует арифметику комплексных чисел

и находится в комплексной проективной прямой P( C ), что отличается от действительной проективной плоскости P ² ( R ). Понятие расстояния для P( R ), введенное в предыдущем разделе, доступно, поскольку P( R ) включено как в P ² ( R ), так и в P( C ). Допустим, a и b являются внутренними по отношению к окружности в P ² ( R ). Тогда они лежат на прямой, которая пересекает окружность в точках p и q . Расстояние от a до b является логарифмом значения гомографии, созданной выше p , q и a , применительно к b . В этом случае геодезические в круге являются отрезками прямых.

С другой стороны, геодезические являются дугами обобщенных окружностей в круге комплексной плоскости. Этот класс кривых переставляется преобразованиями Мёбиуса , источником движений этого круга, которые оставляют единичный круг как инвариантное множество . При заданных a и b в этом круге существует единственная обобщенная окружность, которая встречается с единичным кругом под прямым углом, скажем, пересекая его в точках p и q . Опять же, для расстояния от a до b сначала строится гомография для p, q и a , затем оценивается в b и, наконец, используется логарифм. Две модели гиперболической плоскости, полученные таким образом, — это модель Кэли–Клейна и модель диска Пуанкаре .

В своих лекциях по истории математики 1919/20 гг., опубликованных посмертно в 1926 г., Клейн писал: ^[19]

Случай в четырехмерном мире (если оставаться в трех измерениях и использовать однородные координаты ) в последнее время приобрел особое значение благодаря теории относительности в физике.${\textstyle x^{2}+y^{2}+z^{2}-t^{2}=0}$${\displaystyle dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}-dt^{2}=0}$

То есть абсолюты или в гиперболической геометрии (как обсуждалось выше) соответствуют интервалам или в пространстве-времени , и его преобразование, оставляющее абсолют инвариантным, может быть связано с преобразованиями Лоренца . Аналогично уравнения единичной окружности или единичной сферы в гиперболической геометрии соответствуют физическим скоростям или в теории относительности, которые ограничены скоростью света c , так что для любой физической скорости v отношение v / c ограничено внутренней частью единичной сферы, а поверхность сферы образует абсолют Кэли для геометрии.${\textstyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-x_{3}^{2}=0}$${\textstyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}-x_{4}^{2}=0}$${\textstyle x^{2}+y^{2}-t^{2}=0}$${\textstyle x^{2}+y^{2}+z^{2}-t^{2}=0}$${\textstyle {\bigl (}{\frac {dx}{dt}}{\bigr )}{\vphantom {)}}^{2}+{\bigl (}{\frac {dy}{dt}}{\bigr )}{\vphantom {)}}^{2}=1}$${\textstyle {\bigl (}{\frac {dx}{dt}}{\bigr )}{\vphantom {)}}^{2}+{\bigl (}{\frac {dy}{dt}}{\bigr )}{\vphantom {)}}^{2}+{\bigl (}{\frac {dz}{dt}}{\bigr )}{\vphantom {)}}^{2}=1}$ 

Дополнительные подробности о связи между метрикой Кэли–Клейна для гиперболического пространства и пространством Минковского специальной теории относительности были указаны Клейном в 1910 году ^[20] , а также в издании его лекций по неевклидовой геометрии 1928 года ^{[21] .}

В 2008 году Хорст Мартини и Маргарита Спирова обобщили первую теорему Клиффорда об окружности и другие теоремы евклидовой геометрии, используя аффинную геометрию , связанную с абсолютом Кэли:

Если абсолют содержит прямую, то получаем подсемейство аффинных геометрий Кэли–Клейна . Если абсолют состоит из прямой f и точки F на f , то имеем изотропную геометрию . Изотропная окружность — это коника, касающаяся f в точке F. ^[22]

Используйте однородные координаты ( x,y,z ). Линия f на бесконечности имеет координату z = 0. Если F = (0,1,0), то парабола с диаметром, параллельным оси y, является изотропной окружностью.

Пусть P = (1,0,0) и Q = (0,1,0) будут на абсолюте, так что f будет таким же, как и выше. Прямоугольная гипербола в плоскости ( x,y ) считается проходящей через P и Q на линии в бесконечности. Эти кривые являются псевдоевклидовыми окружностями.

Обработка Мартини и Спировой использует дуальные числа для изотропной геометрии и расщепленные комплексные числа для псевдоевклидовой геометрии. Эти обобщенные комплексные числа ассоциируются со своими геометриями так же, как обычные комплексные числа ассоциируются с евклидовой геометрией.

Артур Кэли (1859) определил «абсолют», на котором он основал свою проективную метрику, как общее уравнение поверхности второй степени в терминах однородных координат : ^[1]

оригинальный	современный
${\displaystyle (a,b,c)(x,y)^{2}=0}$	${\displaystyle \sum _{\alpha ,\beta =1,2}a_{\alpha \beta }x_{\alpha }x_{\beta }=0}$

Расстояние между двумя точками тогда определяется как

оригинальный	современный
${\displaystyle \cos ^{-1}{\frac {(a,b,c)(x,y)\left(x',y'\right)}{{\sqrt {(a,b,c)(x,y)^{2}}}{\sqrt {(a,b,c)(x',y')^{2}}}}}}$	${\displaystyle {\begin{array}{c}\cos ^{-1}{\dfrac {\sum a_{\alpha \beta}x_{\alpha }y_{\beta}}{{\sqrt {\sum a_{\alpha \beta}x_{\alpha }x_{\beta}}}{\sqrt {\sum a_{\alpha \beta}y_{\alpha }y_{\beta}}}}}\\\left[\alpha ,\beta =1,2\right]\end{array}}}$

В двух измерениях

оригинальный	современный
${\displaystyle (a,b,c,f,g,h)(x,y,z)^{2}=0}$	${\displaystyle \sum _{\alpha ,\beta =1}^{3}a_{\alpha \beta }x_{\alpha }x_{\beta }=0,}$

с расстоянием

оригинальный	современный
${\displaystyle \cos ^{-1}{\frac {(a,\dots )(x,y,z)\left(x',y',z'\right)}{{\sqrt {(a,\dots )(x,y,z)^{2}}}{\sqrt {(a,\dots )(x',y',z')^{2}}}}}}$	${\displaystyle {\begin{array}{c}\cos ^{-1}{\dfrac {\sum a_{\alpha \beta }x_{\alpha }y_{\beta }}{{\sqrt {\sum a_{\alpha \beta }x_{\alpha }x_{\beta }}}{\sqrt {\sum a_{\alpha \beta }y_{\alpha }y_{\beta }}}}},\ \\\left(\alpha ,\beta =1,2,3\right)\end{array}}}$

из которых он обсудил частный случай с расстоянием${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=0}$

$${\displaystyle \cos ^{-1}{\frac {xx'+yy'+zz'}{{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}{\sqrt {x^{\prime 2}+y^{\prime 2}+z^{\prime 2}}}}}}$$

Он также сослался на случай (единичной сферы).${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=1}$

Феликс Клейн (1871) переформулировал выражения Кэли следующим образом: он записал абсолют (который он назвал фундаментальным коническим сечением) в терминах однородных координат: ^[23]

оригинальный	современный
${\displaystyle \Omega =ax_{1}^{2}+2bx_{1}x_{2}+cx_{2}^{2}=0}$	${\displaystyle \Omega =\sum _{\alpha ,\beta =1,2}a_{\alpha \beta }x_{\alpha }x_{\beta }=0}$

и, образовав абсолюты и для двух элементов, он определил метрическое расстояние между ними в терминах перекрестного отношения:${\displaystyle \Omega _{xx}}$${\displaystyle \Omega _{yy}}$

$${\displaystyle c\log {\frac {\Omega _{xy}+{\sqrt {\Omega _{xy}^{2}-\Omega _{xx}\Omega _{yy}}}}{\Omega _{xy}-{\sqrt {\Omega _{xy}^{2}-\Omega _{xx}\Omega _{yy}}}}}=2ic\cdot \arccos {\frac {\Omega _{xy}}{\sqrt {\Omega _{xx}\cdot \Omega _{yy}}}}}$$

оригинальный	современный
${\displaystyle {\begin{matrix}\Omega _{xx}=ax_{1}^{2}+2bx_{1}x_{2}+cx_{2}^{2}\\\Omega _{yy}=ay_{1}^{2}+2by_{1}y_{2}+cy_{2}^{2}\\\Omega _{xy}=ax_{1}y_{1}+b\left(x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1}\right)+cx_{2}y_{2}\end{matrix}}}$	${\displaystyle {\begin{matrix}\Omega _{xx}=\sum a_{\alpha \beta }x_{\alpha }x_{\beta }=0\\\Omega _{yy}=\sum a_{\alpha \beta }y_{\alpha }y_{\beta }=0\\\Omega _{xy}=\sum a_{\alpha \beta }x_{\alpha }y_{\beta }\\\left(\alpha ,\beta =1,2\right)\end{matrix}}}$

На плоскости сохраняются те же соотношения для метрических расстояний, за исключением того, что и теперь связаны с тремя координатами каждая. В качестве фундаментального конического сечения он рассмотрел особый случай , который относится к гиперболической геометрии, когда действителен, и к эллиптической геометрии, когда мним. ^[24] Преобразования, оставляющие инвариантной эту форму, представляют движения в соответствующем неевклидовом пространстве. В качестве альтернативы он использовал уравнение окружности в форме , которое относится к гиперболической геометрии, когда является положительным (модель Бельтрами–Клейна) или к эллиптической геометрии, когда является отрицательным. ^[25] В пространстве он рассмотрел фундаментальные поверхности второй степени, согласно которым мнимые относятся к эллиптической геометрии, действительные и прямолинейные соответствуют однополостному гиперболоиду без связи ни с одной из трех основных геометрий, в то время как действительные и непрямолинейные относятся к гиперболическому пространству.${\displaystyle \Omega _{xx}}$${\displaystyle \Omega _{yy}}$${\displaystyle x,y,z}$${\displaystyle \Omega _{xx}=z_{1}z_{2}-z_{3}^{2}=0}$${\displaystyle \Omega _{xx}=x^{2}+y^{2}-4c^{2}=0}$${\displaystyle c}$${\displaystyle c}$

В своей статье 1873 года он указал на связь между метрикой Кэли и группами преобразований. ^[26] В частности, квадратные уравнения с действительными коэффициентами, соответствующие поверхностям второй степени, могут быть преобразованы в сумму квадратов, у которых разность между числом положительных и отрицательных знаков остается одинаковой (сейчас это называется законом инерции Сильвестра ). Если знак всех квадратов одинаков, поверхность является мнимой с положительной кривизной. Если один знак отличается от других, поверхность становится эллипсоидом или двуполостным гиперболоидом с отрицательной кривизной.

В первом томе своих лекций по неевклидовой геометрии в зимнем семестре 1889/90 г. (опубликованном в 1892/1893 г.) он рассмотрел неевклидову плоскость, используя следующие выражения для абсолюта: ^[27] и обсудил их инвариантность относительно коллинеаций и преобразований Мёбиуса, представляющих движения в неевклидовых пространствах.$${\displaystyle \sum _{\alpha ,\beta =1}^{3}a_{\alpha \beta }x_{\alpha }x_{\beta }=0\rightarrow {\begin{matrix}x^{2}+y^{2}+4k^{2}t^{2}=0&{\text{(elliptic)}}\\x^{2}+y^{2}-4k^{2}t^{2}=0&{\text{(hyperbolic)}}\end{matrix}}}$$

Во втором томе, содержащем лекции летнего семестра 1890 года (также опубликованном в 1892/1893 годах), Клейн рассмотрел неевклидово пространство с метрикой Кэли ^[28] и продолжил показывать, что варианты этой кватернарной квадратичной формы могут быть приведены к одной из следующих пяти форм с помощью действительных линейных преобразований ^[29]$${\displaystyle \sum _{\alpha ,\beta =1}^{4}a_{\alpha \beta }x_{\alpha }x_{\beta }=0,}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}z_{1}^{2}+z_{2}^{2}+z_{3}^{2}+z_{4}^{2}&{\text{(zero part)}}\\z_{1}^{2}+z_{2}^{2}+z_{3}^{2}-z_{4}^{2}&{\text{(oval)}}\\z_{1}^{2}+z_{2}^{2}-z_{3}^{2}-z_{4}^{2}&{\text{(ring)}}\\-z_{1}^{2}-z_{2}^{2}-z_{3}^{2}+z_{4}^{2}\\-z_{1}^{2}-z_{2}^{2}-z_{3}^{2}-z_{4}^{2}\end{aligned}}}$$

Эта форма использовалась Клейном как абсолют Кэли эллиптической геометрии ^[30] , тогда как с гиперболической геометрией он связывал в качестве альтернативы уравнение единичной сферы ^[31] . В конце концов он обсудил их инвариантность относительно коллинеаций и преобразований Мёбиуса, представляющих движения в неевклидовых пространствах.${\displaystyle z_{1}^{2}+z_{2}^{2}+z_{3}^{2}+z_{4}^{2}=0}$${\displaystyle z_{1}^{2}+z_{2}^{2}+z_{3}^{2}-z_{4}^{2}=0}$${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}-1=0}$

Роберт Фрике и Клейн суммировали все это во введении к первому тому лекций по автоморфным функциям в 1897 году, в котором они использовали как абсолют в плоской геометрии, а также для гиперболического пространства. ^[32] Лекции Клейна по неевклидовой геометрии были посмертно переизданы в виде одного тома и значительно отредактированы Вальтером Роземанном в 1928 году. ^[9] Исторический анализ работы Клейна по неевклидовой геометрии был дан А'Кампо и Пападопулосом (2014). ^[16]${\displaystyle e\left(z_{1}^{2}+z_{2}^{2}\right)-z_{3}^{2}=0}$${\displaystyle z_{1}^{2}+z_{2}^{2}+z_{3}^{2}-z_{4}^{2}=0}$${\displaystyle X^{2}+Y^{2}+Z^{2}=1}$

• метрика Гильберта