53 равномерно темперированный

В музыке 53 равномерная темперация , называемая 53 TET , 53  EDO или 53 ET , — это темперированная гамма, полученная путем деления октавы на 53 равных шага (равные частотные отношения). Play ^ⓘ Каждый шаг представляет собой частотное отношение 2 ^{1 ∕ 53}  или 22,6415  цента ( Play ^ⓘ ), интервал, иногда называемый коммой Холдриана . 

53 TET — это равномерная темперация , в которой темперированная чистая квинта имеет ширину 701,89 цента, как показано на рисунке 1, а последовательные высоты разделены 22,642 цента.

Настройка 53-TET соответствует унисону, или темперирует интервалы ⁠ 32 805 /32 768⁠ , известный как раскол , и ⁠ 15 625 /15 552⁠ , известный как kleisma . Это оба 5 предельных интервала, включающие только простые числа 2, 3 и 5 в их факторизации, и тот факт, что 53 TET смягчает оба, характеризует его полностью как 5 предельную темперацию: это единственная регулярная темперация, смягчающая оба этих интервала, или запятые , факт, который, кажется, был впервые признан японским теоретиком музыки Сёхе Танакой . Поскольку он смягчает их, 53 TET может использоваться как для схизматической темперации , смягчающей схизму, так и для темперации Хансона (также называемой клеизмической), смягчающей клеизму.

Интервал ⁠ 7 /4⁠ находится ближе всего к 43-й ноте (считая от 0) и 2 ^{43 ∕ 53} = 1,7548   находится всего в 4,8 центах от гармонической 7-й ноты   = ⁠   7 /4⁠ в 53 TET, и использование его для гармонии с 7-ю пределами означает, что септальная клеизма , интервал ⁠ 225 /224⁠ , также смягчен.

Теоретический интерес к этому разделению восходит к древности. Цзин Фан (78–37 до н. э.), китайский теоретик музыки, заметил, что серия из 53  квинт ( [ ⁠ 3 /2⁠ ] ⁵³ ) очень близко к 31 октаве ( 2 ³¹ ). Он вычислил эту разницу с точностью до шести цифр, чтобы она была ⁠ 177 147 /176 776⁠ . ^{[2] [3]} Позднее то же самое наблюдение сделал математик и теоретик музыки Николас Меркатор ( ок.  1620–1687 ), который вычислил это значение точно как ⁠ 3 ⁵³ / 2 ⁸⁴ ⁠ = ⁠ 19 383 245 667 680 019 896 796 723 /19 342 813 113 834 066 795 298 816⁠ , ^{[ требуется проверка ]} которая известна как запятая Меркатора . ^[4] Запятая Меркатора изначально имеет такую ​​маленькую ценность ( ≈ 3,615 цента), но 53 равномерных темперации сглаживают каждую квинту всего на ⁠1/ 53 ⁠ этой запятой ( ≈ 0,0682 цента ≈ ⁠1/ 315 ⁠ синтоническая запятая ≈ ⁠1/ 344 ⁠ пифагорейская комма ).Таким образом, равномерная темперация в 53 тона для всех практических целей эквивалентна расширеннойпифагорейской настройке.

После Меркатора Уильям Холдер опубликовал трактат в 1694 году, в котором указывалось, что равномерная темперация 53 также очень близко приближается к точной большой терции (с точностью до 1,4 цента), и, следовательно, равномерная темперация 53 очень хорошо вмещает интервалы 5 limit just intonation . ^{[5] [6]} Это свойство 53 TET могло быть известно и раньше; неопубликованные рукописи Исаака Ньютона позволяют предположить, что он знал об этом еще в 1664–1665 годах. ^[7]

В 19 веке люди начали изобретать инструменты в 53 TET, имея в виду их использование при исполнении музыки, близкой к 5-ти нотам . Такие инструменты были изобретены RHM Bosanquet ^{[8] (стр. 328–329)} и американским настройщиком JP White. ^{[8] (стр. 329)} Впоследствии темперация время от времени использовалась композиторами на Западе, и к началу 20 века 53 TET стала наиболее распространенной формой настройки в османской классической музыке , заменив ее старую, неравную настройку. Арабская музыка , которая по большей части основывает свою теорию на четвертьтонах , также использовала ее в некоторой степени; сирийский скрипач и музыкальный теоретик Твфик Аль-Сабаг предложил, чтобы вместо равного деления октавы на 24 части в качестве основной гаммы для арабской музыки использовалась 24-нотная гамма в 53 TET. ^{[ требуется ссылка ]}

Хорватский композитор Йосип Штолцер-Славенский написал одно произведение, которое никогда не было опубликовано, в котором в первой части используется Энгармониум Бозанкета , под названием «Музыка для системы натур-тон» . ^{[9] [10] [11] [a]}

Кроме того, генерал Томпсон работал в сговоре с лондонским производителем гитар Луисом Панормо для создания энгармонической гитары. ^[12]

Попытка использовать стандартную нотацию, семибуквенные ноты плюс диезы или бемоли, может быстро сбить с толку. Это не похоже на случай с 19 TET и 31 TET , где мало двусмысленности. Не будучи подразумеваемым, это добавляет некоторые проблемы, которые требуют большего внимания. В частности, различаются пифагорейская большая терция ( дитон ) и просто большая терция, как и пифагорейская малая терция (полудитон) и просто малая терция. Тот факт, что синтоническая комма не темперируется, означает, что ноты и интервалы должны быть определены более точно. Османская классическая музыка использует нотацию бемолей и диезов для тона 9 комма.

Кроме того, поскольку 53 не кратно 12, такие ноты, как G ♯ и A ♭, не являются энгармонически эквивалентными, как и соответствующие им ключевые знаки . В результате, многие ключевые знаки потребуют использования дубль-диезов (например, G ♯ мажор / E ♯ минор), дубль-бемолей (например, F ♭ мажор / D ♭ минор) или микротональных изменений.

Расширенная пифагорейская нотация , использующая только диезы и бемоли, дает следующую хроматическую гамму:

• С, В ♯ , А ♯, Э, Д ♭ , С ♯ , С, Ф, Э,
• Д, С, В ♯, Ф, Э ♭ , Д ♯ , Ц ♯, Г, Ф ♭ ,
• Э, Д, С/А, Г,
• Ф, Э ♯ , Д ♯, А, Соль ♭ , Фа ♯ , Ми, Д/Б, А,
• Г, Ф, Е ♯, Б, А ♭ , С ♯ , Ф ♯, С, Б,
• А, Г, Ф/Д, С, С ♭ , А ♯ , С ♯, Д, С ♭ ,
• Б, А, Г/Э, Д, С

К сожалению, ноты выходят за рамки порядка букв, и требуется до четырех диезов и бемолей. В результате, только мажорная терция должна быть записана как уменьшенная кварта.

Нотация Ups and Downs ^[13] сохраняет порядок нот, а также традиционное значение диеза и бемола. Она использует стрелки вверх и вниз, написанные как каретка или строчная буква «v», обычно шрифтом без засечек. Одна стрелка соответствует одному шагу 53-TET. В названиях нот стрелки идут первыми, чтобы облегчить наименования аккордов. Множество энгармонических эквивалентов допускают большую свободу написания.

• C, ^C, ^^C, vvC ♯ /vD ♭ , vC ♯ /D ♭ , C ♯ /^D ♭ , ^C ♯ /^^D ♭ , vvD, vD,
• D, ^D, ^^D, vvD ♯ /vE ♭ , vD ♯ /E ♭ , D ♯ /^E ♭ , ^D ♯ /^^E ♭ , vvE, vE,
• Э, ^Э, ^^Э/vvF, vF,
• Ф, ^Ф, ^^Ф, vvF ♯ /vG ♭ , vF ♯ /G ♭ , Ф ♯ /^Г ♭ , ^Ф ♯ /^^Г ♭ , vvG, vG,
• G, ^G, ^^G, vvG ♯ /vA ♭ , vG ♯ /A ♭ , G ♯ /^A ♭ , ^G ♯ /^^A ♭ , vvA, vA,
• А, ^А, ^^А, vvA ♯ /vB ♭ , vA ♯ /B ♭ , А ♯ /^B ♭ , ^А ♯ /^^B ♭ , vvB, vB,
• Б, ^Б, ^^Б/ввС, вС, С

Поскольку 53-TET — это пифагорейская система с почти чистыми квинтами, справедливо интонированные мажорные и минорные трезвучия не могут быть записаны так же, как в настройке meantone . Вместо этого мажорные трезвучия — это аккорды типа CF ♭ -G (используя пифагорейскую нотацию), где мажорная терция — это уменьшенная кварта; это определяющая характеристика схизматической темперации . Аналогично, минорные трезвучия — это аккорды типа CD ♯ -G. В 53-TET доминантсептаккорд будет записан как CF ♭ -GB ♭ , но отональная тетрада — это CF ♭ -GC, и CF ♭ -GA ♯ - это еще один септаккорд. Утональная тетрада, обращение отонной тетрады, пишется как CD ♯ -GG.

Дальнейшие септимальные аккорды представляют собой уменьшенное трезвучие, имеющее две формы CD ♯ -G ♭ и CF-G ♭ , субминорное трезвучие, CF-G, супермажорное трезвучие CD-G и соответствующие тетрады CF-ГБи компакт-диск-ГА ♯ . Поскольку 53-TET смягчает септимальную клейсму , септимальная клейсма дополняет триаду CF ♭ -B.в своих различных инверсиях также является аккордом системы. Так же как и тетрада Оруэлла, CF ♭ -D-Гв его различных инверсиях.

Ups and downs нотация допускает более традиционное написание. Поскольку она также называет интервалы 53 TET, ^[14] она также дает точные названия аккордов. Пифагорейский минорный аккорд с ⁠ 32 /27⁠ терция все еще называется Cm и все еще пишется C–E ♭ –G. Но 5-предельный восходящий минорный аккорд использует восходящий минорный 3-й 6/5 и пишется C–^E ♭ –G. Этот аккорд называется C^m. Сравните с ^Cm (^C–^E ♭ –^G).

• Мажорное трезвучие: C-vE-G (downmajor)
• Минорное трезвучие: C-^E ♭ -G (верхний минор)
• Доминантная 7-я: C-vE-GB ♭ (вниз добавлено 7)
• Отонная тетрада: C-vE-G-vB ♭ (вниз7)
• Утональная тетрада: C-^E ♭ -G-^A (верхний минор6)
• Уменьшенное трезвучие: C-^E ♭ -G ♭ (увеличивается)
• Уменьшенное трезвучие: C-vE ♭ -G ♭ (затухание)
• Субминорная триада: C-vE ♭ -G (нижний минор)
• Супермажорное трезвучие: C-^EG (upmajor)
• Субминорная тетрада: C-vE ♭ -G-vA (нижний минор6)
• Супермажорная тетрада: C-^EG-^B ♭ (up7)
• Расширенная триада: C-vE-vvG ♯ (downaug dud-5)
• Оруэлловская триада: C-vE-vvG-^A (downmajor dud-5 up6)

Поскольку расстояние в 31  шаг в этой гамме почти точно равно чистой квинте , теоретически эту гамму можно считать слегка темперированной формой пифагорейской настройки , которая была расширена до 53 тонов. Таким образом, доступные интервалы могут иметь те же свойства, что и любая пифагорейская настройка, например, квинты, которые (практически) чистые, большие терции, которые широкие от всего (около ⁠ 81 /64⁠ в отличие от более чистого ⁠ 5 /4⁠ , и малые терции, которые, наоборот, узкие ( ⁠ 32 /27⁠ по сравнению с ⁠ 6 /5⁠ ).

Однако 53 TET содержит дополнительные интервалы, которые очень близки к просто интонации. Например, интервал в 17 шагов также является большой терцией, но всего на 1,4 цента уже, чем очень чистый просто интервал ⁠ 5 /4⁠ . 53 TET очень хорош как приближение к любому интервалу в 5 limit just intonation. Аналогично, чистый just interval ⁠ 6 /5⁠ всего на 1,3 цента шире, чем 14 шагов в 53 TET.

Совпадения с интервалами, включающими 7-ю гармонику, немного менее близки (43 шага составляют 4,8 цента диез для ⁠ 7 /4⁠ ), но все такие интервалы все еще довольно близко совпадают, причем наибольшее отклонение составляет ⁠ 7 /5⁠  тритон. 11-я гармоника и интервалы, включающие ее, менее точно соответствуют друг другу, как показано в недесятичных нейтральных секундах и терциях в таблице ниже. Соотношения предела 7 окрашены в светло-серый цвет, а соотношения предела 11 и 13 окрашены в темно-серый цвет.

Ниже приведены 21 из 53 нот хроматической гаммы. Остальные можно легко добавить.

Интервал (шаги)		3		2		4		3		2		3		2		1		2		4		1		4		3		2		4		3		2		3		2		1		2
Интервал (центы)		68		45		91		68		45		68		45		23		45		91		23		91		68		45		91		68		45		68		45		23		45
Название ноты (пифагорейская нотация)	С		Э		С ♯		Д		Ф		Д ♯		Ф ♭		Д		С/А		Ф		Г ♭		Ф ♯		Г		Б		Г ♯		Б		С		А ♯		С ♭		А		Г/Э		С
Название ноты (обозначение вверх и вниз)	С		ввК ♯ /вД ♭		С ♯ /^D ♭		Д		ввД ♯ /вЭ ♭		Д ♯ /^Е ♭		вЭ		^Э		^^E/vvF		Ф		вФ ♯ /Г ♭		Ф ♯ /^Г ♭		Г		ввГ ♯ /вА ♭		С ♯ /^А ♭		вА		ввА ♯ /вБ ♭		А ♯ /^Б ♭		вБ		^Б		^^B/vvC		С
Номинал (центы)	0		68		113		204		272		317		385		430		453		498		589		611		702		770		815		883		974		1018		1087		1132		1155		1200
Примечание (шаги)	0		3		5		9		12		14		17		19		20		22		26		27		31		34		36		39		43		45		48		50		51		53

В теории музыки и музыкальной настройке комма Холдера , также называемая коммой Холдера , и реже арабской коммой , ^[15] представляет собой небольшой музыкальный интервал приблизительно в 22,6415  центов , ^[15] равный одному шагу 53 равномерной темперации, или ( play ^ⓘ ). Название «комма» , однако, технически вводит в заблуждение, поскольку этот интервал является иррациональным числом и не описывает компромисс между интервалами какой-либо системы настройки. Интервал получил название «комма», потому что он является близким приближением нескольких комм , в частности, синтонической коммы (21,51 цента)( play ^ⓘ ), которая широко использовалась в качестве единицы измерения тональности во времена Холдера .${\displaystyle \ {\sqrt[{53}]{2\;}}\ }$

Происхождение коммы Холдера кроется в том факте, что древние греки (или, по крайней мере, римлянин Боэций ^[b] ) считали, что в пифагорейской настройке тон можно разделить на девять комм, четыре из которых образуют диатонический полутон, а пять — хроматический полутон. Если все эти коммы будут точно одинакового размера, то получится октава из 5 тонов + 2 диатонических полутона,   5 × 9 + 2 × 4 = 53 равных комм. Холдер ^[18] приписывает деление октавы на 53 равные части Николасу Меркатору ^[c], который сам предложил, что ⁠1/ 53 ⁠ частьоктавы можно назвать «искусственной запятой».

Комма Меркатора — это название, часто используемое для близкого интервала из-за его связи с Николасом Меркатором . ^[d] Один из этих интервалов был впервые описан Цзин Фаном в 45 г. до н. э . ^[15] Меркатор применил логарифмы, чтобы определить, что (≈ 21,8182 цента) было почти эквивалентно синтонической комме ≈ 21,5063 цента (особенность распространенной в то время темперации meanone ). Он также считал, что «искусственная комма» может быть полезна, потому что 31 октава может быть практически аппроксимирована циклом из 53  квинт . Холдер , в честь которого названа комма Холдера , отдавал предпочтение этой последней единице, потому что интервалы 53 равномерной темперации ближе к просто интонации, чем к 55 TET. Таким образом, комма Меркатора и комма Холдера — это два разных, но почти равных интервала.${\displaystyle \ {\sqrt[{55}]{2\;}}\ }$${\displaystyle \ {\sqrt[{53}]{2\;}}\ }$

Холдрианская комма использовалась в основном в османской/турецкой музыкальной теории Кемалем Илериджи и турецким композитором Эролом Саяном. Название этой коммы на турецком языке Holder koması .

Например, Раст макам (похожий на западную мажорную гамму или, точнее, на справедливо настроенную мажорную гамму ) можно рассматривать с точки зрения холдрианских комм:

гдеобозначает холдрианскую запятую-бемоль, ^[e], в то время как, напротив, нихавендская макама (похожая на западную минорную гамму ):

где ♭ обозначает пятизапятую-бемоль, имеет средние секунды между d–e ♭ , e–f , g–a ♭ , a ♭ – b ♭ , и b ♭ – c′ , средняя секунда находится где-то между 8 и 9 запятыми. ^[15]

• Роджерс, Прент (май 2007). «Песня шепотом в 53 EDO». Bumper Music (подкаст) (медленная ред.).
• Hanson, Larry (1989). «Разработка 53-тональной раскладки клавиатуры» (PDF) . Xenharmonicon . XII . Hanover, NH: Frog Peak Music: 68– 85 . Получено 4 января 2021 г. – через Anaphoria.com.
• «Алгебра тональных функций». Сонантометрия (блог). 1 мая 2007 г.— Тональные функции как 53 ступени ТЕТ.
• Барбьери, Патрицио (2008). «Энгармонические инструменты и музыка, 1470–1900». Латина, Il Levante Libreria Editrice . Италия. Архивировано из оригинала 15 февраля 2009 г.
• Кукула, Джим (август 2005 г.). «Равномерная темперация с 53 тонами на октаву». Взаимозависимая наука . Фрактальная микротональная музыка . Получено 4 января 2021 г.