Уравнение Юнга-Лапласа
Описание разницы давления на границе раздела в механике жидкости

В физике уравнение Юнга-Лапласа ( / l ə ˈ p l ɑː s / ) представляет собой алгебраическое уравнение, описывающее разницу капиллярного давления, поддерживаемую на границе раздела двух статических жидкостей , таких как вода и воздух , из-за явления поверхностного натяжения или натяжения стенки , хотя использование последнего применимо только в том случае, если предположить, что стенка очень тонкая. Уравнение Юнга-Лапласа связывает разницу давления с формой поверхности или стенки, и оно принципиально важно при изучении статических капиллярных поверхностей . Это утверждение о нормальном балансе напряжений для статических жидкостей, встречающихся на границе раздела, где граница раздела рассматривается как поверхность ( нулевая толщина): где — давление Лапласа , разница давлений на границе раздела жидкостей (внешнее давление за вычетом внутреннего давления), — поверхностное натяжение (или натяжение стенки ), — единичная нормаль, указывающая наружу от поверхности, — средняя кривизна , а и — главные радиусы кривизны . Обратите внимание, что рассматривается только нормальное напряжение, поскольку статическое взаимодействие возможно только при отсутствии касательного напряжения. [1] Δ п = − γ ∇ ⋅ н ^ = − 2 γ ЧАС ф = − γ ( 1 Р 1 + 1 Р 2 ) {\displaystyle {\begin{align}\Delta p&=-\gamma \nabla \cdot {\hat {n}}\\&=-2\gamma H_{f}\\&=-\gamma \left({\frac {1}{R_{1}}}+{\frac {1}{R_{2}}}\right)\end{align}}} Δ п {\displaystyle \Дельта p} γ {\displaystyle \гамма} н ^ {\displaystyle {\шляпа {н}}} ЧАС ф {\displaystyle H_{f}} Р 1 {\displaystyle R_{1}} Р 2 {\displaystyle R_{2}}

Уравнение названо в честь Томаса Юнга , который разработал качественную теорию поверхностного натяжения в 1805 году, и Пьера-Симона Лапласа , который завершил математическое описание в следующем году. Иногда его также называют уравнением Юнга–Лапласа–Гаусса, поскольку Карл Фридрих Гаусс объединил работу Юнга и Лапласа в 1830 году, выведя как дифференциальное уравнение, так и граничные условия, используя принципы виртуальной работы Иоганна Бернулли . [ 2]

Мыльные фильмы

Если разность давлений равна нулю, как в мыльной пленке без учета силы тяжести, интерфейс примет форму минимальной поверхности .

Эмульсии

Уравнение также объясняет энергию, необходимую для создания эмульсии . Для образования маленьких, сильно изогнутых капель эмульсии требуется дополнительная энергия для преодоления большого давления, возникающего из-за их малого радиуса.

Давление Лапласа, которое больше для более мелких капель, вызывает диффузию молекул из самых маленьких капель в эмульсии и приводит к огрублению эмульсии посредством созревания Оствальда . [ необходима ссылка ]

Капиллярное давление в трубке

Сферический мениск с углом смачивания менее 90°

В достаточно узкой (т.е. с малым числом Бонда ) трубке круглого сечения (радиус a ) граница раздела двух жидкостей образует мениск , который является частью поверхности сферы с радиусом R. Скачок давления на этой поверхности связан с радиусом и поверхностным натяжением γ соотношением Δ п = 2 γ Р . {\displaystyle \Delta p={\frac {2\gamma }{R}}.}

Это можно показать, записав уравнение Юнга–Лапласа в сферической форме с граничным условием угла контакта , а также заданным граничным условием высоты, скажем, на дне мениска. Решение представляет собой часть сферы, и решение будет существовать только для разницы давлений, показанной выше. Это важно, поскольку нет другого уравнения или закона, определяющего разницу давлений; существование решения для одного конкретного значения разницы давлений предписывает это.

Радиус сферы будет зависеть только от угла контакта θ, который, в свою очередь, зависит от точных свойств жидкостей и материала контейнера, с которым данные жидкости контактируют/взаимодействуют: Р = а потому что ⁡ θ {\displaystyle R={\frac {a}{\cos \theta }}}

так что разность давлений можно записать как: Δ п = 2 γ потому что ⁡ θ а . {\displaystyle \Delta p={\frac {2\gamma \cos \theta }{a}}.}

Иллюстрация капиллярного подъема. Красный = угол контакта менее 90°; синий = угол контакта более 90°

Для поддержания гидростатического равновесия , индуцированное капиллярное давление уравновешивается изменением высоты h , которая может быть положительной или отрицательной, в зависимости от того, меньше или больше угла смачивания 90°. Для жидкости с плотностью ρ: где g — ускорение свободного падения . Иногда это называют законом Жюрина или высотой Жюрина [3] в честь Джеймса Жюрина, который изучал этот эффект в 1718 году. [4] ρ г час = 2 γ потому что ⁡ θ а . {\displaystyle \rho gh={\frac {2\gamma \cos \theta }{a}}.}

Для стеклянной трубки, заполненной водой, находящейся в воздухе на уровне моря :

  • γ = 0,0728 Дж/м 2 при 20 ° С
  • θ = 20° (0,35 рад )
  • ρ = 1000 кг/м 3
  • g = 9,8 м/с 2

и поэтому высота столба воды определяется по формуле: Таким образом, для трубки шириной 2 мм (радиусом 1 мм) вода поднимется на 14 мм. Однако для капиллярной трубки с радиусом 0,1 мм вода поднимется на 14 см (около 6 дюймов ). час ≈ 1.4 × 10 − 5 м 2 а . {\displaystyle h\approx {{1.4\times 10^{-5}}\mathrm {м} ^{2} \over a}.}

Капиллярное действие в целом

В общем случае, для свободной поверхности и там, где есть приложенное «избыточное давление», Δ p , на границе раздела в равновесии, существует баланс между приложенным давлением, гидростатическим давлением и эффектами поверхностного натяжения. Уравнение Юнга–Лапласа становится: Δ п = ρ г час − γ ( 1 Р 1 + 1 Р 2 ) {\displaystyle \Delta p=\rho gh-\gamma \left({\frac {1}{R_{1}}}+{\frac {1}{R_{2}}}\right)}

Уравнение может быть обезразмерено в терминах его характерного масштаба длины, длины капилляра : и характерного давления Л с = γ ρ г , {\displaystyle L_{c}={\sqrt {\frac {\gamma }{\rho g}}},} п с = γ Л с = γ ρ г . {\displaystyle p_{c}={\frac {\gamma }{L_{c}}}={\sqrt {\gamma \rho g}}.}

Для чистой воды при стандартной температуре и давлении длина капилляра составляет ~2 мм .

Тогда безразмерное уравнение принимает вид: час ∗ − Δ п ∗ = ( 1 Р 1 ∗ + 1 Р 2 ∗ ) . {\displaystyle h^{*}-\Delta p^{*}=\left({\frac {1}{{R_{1}}^{*}}}+{\frac {1}{{R_{2}}^{*}}}\right).}

Таким образом, форма поверхности определяется только одним параметром — избыточным давлением жидкости Δ p * , а масштаб поверхности задается длиной капилляра . Решение уравнения требует начального условия для положения и градиента поверхности в начальной точке.

Осесимметричные уравнения

(Безразмерная) форма r ( z ) осесимметричной поверхности может быть найдена путем подстановки общих выражений для главных кривизн, чтобы получить гидростатические уравнения Юнга-Лапласа : [5] г ″ ( 1 + г ′ 2 ) 3 / 2 − 1 г ( з ) 1 + г ′ 2 = з − Δ п ∗ {\displaystyle {\frac {r''}{(1+r'^{2})^{{3}/{2}}}} - {\frac {1}{r(z){\sqrt { 1+r'^{2}}}}}=z-\Delta p^{*}} з ″ ( 1 + з ′ 2 ) 3 / 2 + з ′ г ( 1 + з ′ 2 ) 1 / 2 = Δ п ∗ − з ( г ) . {\displaystyle {\frac {z''}{(1+z'^{2})^{3/2}}}+{\frac {z'}{r(1+z'^{2})^{{1}/{2}}}}=\Delta p^{*}-z(r).}

Применение в медицине

В медицине его часто называют законом Лапласа , используемым в контексте сердечно-сосудистой физиологии , [6] а также физиологии дыхания , хотя последнее использование часто ошибочно. [7]

История

Фрэнсис Хоксби провел некоторые из самых ранних наблюдений и экспериментов в 1709 году [8] , и они были повторены в 1718 году Джеймсом Юрином , который заметил, что высота жидкости в капиллярном столбе является функцией только площади поперечного сечения на поверхности, а не каких-либо других размеров столба. [4] [9]

Томас Юнг заложил основы уравнения в своей работе 1804 года « Очерк о сцеплении жидкостей» [10] , где он в описательных терминах изложил принципы, управляющие контактом между жидкостями (наряду со многими другими аспектами поведения жидкостей). Пьер Симон Лаплас продолжил это в «Небесной механике» [11] с формальным математическим описанием, данным выше, которое воспроизвело в символических терминах соотношение, описанное ранее Юнгом.

Лаплас принял идею, высказанную Хауксби в его книге «Физико-механические эксперименты» (1709), о том, что явление было вызвано силой притяжения, которая была неощутима на ощутимых расстояниях. [12] [13] Часть, которая касается действия твердого тела на жидкость и взаимного действия двух жидкостей, не была проработана досконально, но в конечном итоге была завершена Карлом Фридрихом Гауссом . [14] Франц Эрнст Нейман (1798-1895) позже дополнил несколько деталей. [15] [9] [16]

Ссылки

  1. ↑ Модуль поверхностного натяжения. Архивировано 27 октября 2007 г. на Wayback Machine Джоном В. М. Бушем в MIT OCW .
  2. ^ Роберт Финн (1999). «Капиллярные поверхностные интерфейсы» (PDF) . AMS .
  3. ^ "Правило Джурина". Словарь научных и технических терминов McGraw-Hill . McGraw-Hill на Answers.com. 2003. Получено 05.09.2007 .
  4. ^ ab См.:
    • Джеймс Юрин (1718) «Отчет о некоторых экспериментах, показанных Королевскому обществу; с исследованием причины подъёма и взвешивания воды в капиллярных трубках», Философские труды Лондонского королевского общества , 30  : 739–747.
    • Джеймс Юрин (1719) «Отчет о некоторых новых экспериментах, касающихся действия стеклянных трубок на воду и ртуть», Философские труды Лондонского королевского общества , 30  : 1083–1096.
  5. ^ Лэмб, Х. Статика, включая гидростатику и элементы теории упругости, 3-е изд. Кембридж, Англия: Cambridge University Press, 1928.
  6. ^ Басфорд, Джеффри Р. (2002). «Закон Лапласа и его значение для современной медицины и реабилитации». Архивы физической медицины и реабилитации . 83 (8): 1165–1170. doi :10.1053/apmr.2002.33985. PMID  12161841.
  7. ^ Prange, Henry D. (2003). «Закон Лапласа и альвеола: неправильное представление об анатомии и неправильное применение физики». Advances in Physiology Education . 27 (1): 34–40. doi :10.1152/advan.00024.2002. PMID  12594072. S2CID  7791096.
  8. ^ См.:
    • Фрэнсис Хоксби, Физико-механические эксперименты на различных предметах … (Лондон, Англия: (самоиздание автора; напечатано Р. Бругисом), 1709), страницы 139–169.
    • Фрэнсис Хоксби (1711) «Отчет об эксперименте, касающемся направления капли апельсинового масла между двумя стеклянными плоскостями к любой из сторон, которая ближе всего прижата друг к другу», Философские труды Лондонского королевского общества , 27  : 374–375.
    • Фрэнсис Хоксби (1712) «Отчет об эксперименте, касающемся подъема воды между двумя стеклянными плоскостями в гиперболической фигуре», Философские труды Лондонского королевского общества , 27  : 539–540.
  9. ^ ab Максвелл, Джеймс Клерк ; Стратт, Джон Уильям (1911). «Капиллярное действие»  . Encyclopaedia Britannica . Т. 5 (11-е изд.). С. 256–275.
  10. ↑ Томас Янг (1805) «Очерк о сцеплении жидкостей», Философские труды Лондонского королевского общества , 95  : 65–87.
  11. ^ Пьер Симон, маркиз де Лаплас, Traité de Mécanique Céleste , том 4, (Париж, Франция: Courcier, 1805), Supplement au dixième livre du Traité de Mécanique Céleste , страницы 1–79.
  12. ^ Пьер Симон, маркиз де Лаплас, Traité de Mécanique Céleste , том 4, (Париж, Франция: Courcier, 1805), Supplement au dixième livre du Traité de Mécanique Céleste . На странице 2 Приложения Лаплас утверждает, что капиллярное действие обусловлено «… les lois dans lesquelles l'attraction n'est sensible qu'à des distances insensibles;…» (… законы, по которым притяжение чувствительно [значимо] только на неощутимых [бесконечно малых] расстояниях…).
  13. ↑ В 1751 году Иоганн Андреас Зегнер пришел к тому же выводу, к которому пришел Хоксби в 1709 году: Дж. А. фон Зегнер (1751) «De figuris superficierum fluidarum» (О формах жидких поверхностей), Commentarii Societatis Regiae Scientiarum Gottingensis (Мемуары королевского Научное общество в Геттингене), 1  : 301–372. На странице 303 Сегнер предполагает, что жидкости удерживаются вместе силой притяжения ( vim atttractricem ), которая действует на таких коротких расстояниях, «что никто еще не мог воспринять ее своими органами чувств» (… ut nullo adhuc sensu percipi poterit. ).
  14. ^ Карл Фридрих Гаусс, Principia Generalia Theoriae Figurae Fluidorum in statu Aequilibrii [Общие принципы теории форм жидкости в состоянии равновесия] (Геттинген, (Германия): Dieterichs, 1830). Доступно в Интернете по адресу: Hathi Trust.
  15. ^ Франц Нойман с А. Вангерином, изд., Vorlesungen über die Theorie der Capillarität [Лекции по теории капиллярности] (Лейпциг, Германия: Б. Г. Тойбнер, 1894).
  16. ^ Рауз Болл, WW [1908] (2003) «Пьер Симон Лаплас (1749–1827)», в «Кратком изложении истории математики» , 4-е изд., Дувр, ISBN 0-486-20630-0 

Дальнейшее чтение

  • Максвелл, Джеймс Клерк ; Стратт, Джон Уильям (1911). «Капиллярное действие»  . В Чисхолм, Хью (ред.). Encyclopaedia Britannica . Том 5 (11-е изд.). Cambridge University Press. С. 256–275.
  • Бэтчелор, Г.К. (1967) Введение в гидродинамику , Cambridge University Press
  • Юрин, Дж. (1716). «Отчет о некоторых экспериментах, показанных Королевскому обществу; с исследованием причины подъема и суспензии воды в капиллярных трубках». Philosophical Transactions of the Royal Society . 30 (351–363): 739–747. doi :10.1098/rstl.1717.0026. S2CID  186211806.
  • Тадрос ТФ (1995) Поверхностно-активные вещества в агрохимикатах , серия Surfactant Science, т.54, Dekker
Retrieved from "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Young–Laplace_equation&oldid=1221053629"