Капиллярная поверхность
Поверхность, представляющая границу раздела двух различных жидкостей

В механике жидкости и математике капиллярная поверхность — это поверхность , которая представляет собой интерфейс между двумя различными жидкостями . Будучи поверхностью, капиллярная поверхность не имеет толщины в отличие от большинства реальных интерфейсов жидкостей.

Капиллярные поверхности представляют интерес для математики, поскольку рассматриваемые проблемы являются весьма нелинейными и обладают интересными свойствами, такими как прерывистая зависимость от граничных данных в изолированных точках. [1] В частности, статические капиллярные поверхности при отсутствии гравитации имеют постоянную среднюю кривизну , так что минимальная поверхность является частным случаем статической капиллярной поверхности.

Они также представляют практический интерес для управления жидкостями в космосе (или других средах, свободных от массовых сил ), где как поток, так и статическая конфигурация часто определяются капиллярными эффектами.

Уравнение баланса напряжений

Определяющее уравнение для капиллярной поверхности называется уравнением баланса напряжений, [2] которое можно вывести, рассматривая силы и напряжения, действующие на малый объем, который частично ограничен капиллярной поверхностью. Для жидкости, встречающейся с другой жидкостью («другая» жидкость, обозначенная черточками) на поверхности , уравнение имеет вид С {\displaystyle S}

( σ я дж − σ ¯ я дж ) н ^ = − γ н ^ ( ∇ С ⋅ н ^ ) + ∇ С γ ∇ С γ = ∇ γ − н ^ ( н ^ ⋅ ∇ γ ) {\displaystyle {\begin{aligned}&(\sigma _{ij}-{\bar {\sigma }}_{ij})\mathbf {\hat {n}} =-\gamma \mathbf {\hat {n}} (\nabla _{\!S}\cdot \mathbf {\hat {n}} )+\nabla _{\!S}\gamma \\&\qquad \nabla _{\!S}\gamma =\nabla \gamma -\mathbf {\hat {n}} (\mathbf {\hat {n}} \cdot \nabla \gamma )\end{aligned}}}

где — единичная нормаль, направленная в сторону «другой» жидкости (той, величины которой обозначены черточками), — тензор напряжений (обратите внимание, что слева — это произведение тензора и вектора ), — поверхностное натяжение , связанное с интерфейсом, и — поверхностный градиент . Обратите внимание, что величина в два раза больше средней кривизны поверхности. n ^ {\displaystyle \scriptstyle \mathbf {\hat {n}} } σ i j {\displaystyle \scriptstyle \sigma _{ij}} γ {\displaystyle \scriptstyle \gamma } ∇ S {\displaystyle \scriptstyle \nabla _{S}} − ∇ S ⋅ n ^ {\displaystyle \scriptstyle -\nabla _{\!S}\cdot \mathbf {\hat {n}} }

В механике жидкости это уравнение служит граничным условием для интерфейсных потоков, обычно дополняя уравнения Навье–Стокса . Оно описывает разрыв в напряжении , который уравновешивается силами на поверхности. Как граничное условие, оно несколько необычно тем, что вводит новую переменную: поверхность , которая определяет интерфейс. Неудивительно, что уравнение баланса напряжений обычно предписывает свои собственные граничные условия. S {\displaystyle S}

Для лучшего использования это векторное уравнение обычно преобразуется в 3 скалярных уравнения посредством скалярного произведения с единичной нормалью и двумя выбранными единичными касательными:

( ( σ i j − σ ¯ i j ) n ^ ) ⋅ n ^ = − γ ∇ S ⋅ n ^ {\displaystyle ((\sigma _{ij}-{\bar {\sigma }}_{ij})\mathbf {\hat {n}} )\cdot \mathbf {\hat {n}} =-\gamma \nabla _{\!S}\cdot \mathbf {\hat {n}} }
( ( σ i j − σ ¯ i j ) n ^ ) ⋅ t ^ 1 = ∇ S γ ⋅ t ^ 1 {\displaystyle ((\sigma _{ij}-{\bar {\sigma }}_{ij})\mathbf {\hat {n}} )\cdot \mathbf {{\hat {t}}_{1}} =\nabla _{\!S}\gamma \cdot \mathbf {{\hat {t}}_{1}} }
( ( σ i j − σ ¯ i j ) n ^ ) ⋅ t ^ 2 = ∇ S γ ⋅ t ^ 2 {\displaystyle ((\sigma _{ij}-{\bar {\sigma }}_{ij})\mathbf {\hat {n}} )\cdot \mathbf {{\hat {t}}_{2}} =\nabla _{\!S}\gamma \cdot \mathbf {{\hat {t}}_{2}} }

Обратите внимание, что произведения без точек являются тензорными произведениями тензоров с векторами (что приводит к векторам, подобным произведению матрицы на вектор), а с точками — скалярными произведениями . Первое уравнение называется уравнением нормального напряжения или граничным условием нормального напряжения. Вторые два уравнения называются уравнениями касательного напряжения .

Тензор напряжений

Тензор напряжения связан со скоростью и давлением. Его фактическая форма будет зависеть от конкретной жидкости, с которой мы имеем дело, для общего случая несжимаемого ньютоновского потока тензор напряжения задается как

σ i j = − ( p 0 0 0 p 0 0 0 p ) + μ ( 2 ∂ u ∂ x ∂ u ∂ y + ∂ v ∂ x ∂ u ∂ z + ∂ w ∂ x ∂ v ∂ x + ∂ u ∂ y 2 ∂ v ∂ y ∂ v ∂ z + ∂ w ∂ y ∂ w ∂ x + ∂ u ∂ z ∂ w ∂ y + ∂ v ∂ z 2 ∂ w ∂ z ) = − p I + μ ( ∇ v + ( ∇ v ) T ) {\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{ij}&=-{\begin{pmatrix}p&0&0\\0&p&0\\0&0&p\end{pmatrix}}+\mu {\begin{pmatrix}2{\frac {\partial u}{\partial x}}&{\frac {\partial u}{\partial y}}+{\frac {\partial v}{\partial x}}&{\frac {\partial u}{\partial z}}+{\frac {\partial w}{\partial x}}\\{\frac {\partial v}{\partial x}}+{\frac {\partial u}{\partial y}}&2{\frac {\partial v}{\partial y}}&{\frac {\partial v}{\partial z}}+{\frac {\partial w}{\partial y}}\\{\frac {\partial w}{\partial x}}+{\frac {\partial u}{\partial z}}&{\frac {\partial w}{\partial y}}+{\frac {\partial v}{\partial z}}&2{\frac {\partial w}{\partial z}}\end{pmatrix}}\\&=-pI+\mu (\nabla \mathbf {v} +(\nabla \mathbf {v} )^{T})\end{aligned}}}

где — давление в жидкости, — скорость, — вязкость . p {\displaystyle p} v {\displaystyle \scriptstyle \mathbf {v} } μ {\displaystyle \mu }

Статические интерфейсы

При отсутствии движения тензоры напряжений дают только гидростатическое давление , так что , независимо от типа жидкости или сжимаемости. Учитывая нормальные и тангенциальные уравнения, σ i j = − p I {\displaystyle \scriptstyle \sigma _{ij}=-pI}

p ¯ − p = γ ∇ ⋅ n ^ {\displaystyle {\bar {p}}-p=\gamma \nabla \cdot \mathbf {\hat {n}} }
0 = ∇ γ ⋅ t ^ {\displaystyle 0=\nabla \gamma \cdot \mathbf {\hat {t}} }

Первое уравнение устанавливает, что силы кривизны уравновешиваются силами давления. Второе уравнение подразумевает, что статический интерфейс не может существовать при наличии ненулевого градиента поверхностного натяжения.

Если единственной объемной силой является гравитация , то уравнения Навье–Стокса значительно упрощаются:

0 = − ∇ p + ρ g {\displaystyle 0=-\nabla p+\rho \mathbf {g} }

Если координаты выбраны так, что сила тяжести отлична от нуля только в направлении , это уравнение принимает особенно простую форму: z {\displaystyle z}

d p d z = ρ g ⇒ p = ρ g z + p 0 {\displaystyle {\frac {dp}{dz}}=\rho g\quad \Rightarrow \quad p=\rho gz+p_{0}}

где — константа интегрирования, которая представляет собой некоторое опорное давление при . Подстановка этого в уравнение нормального напряжения дает то, что известно как уравнение Юнга-Лапласа : p 0 {\displaystyle p_{0}} z = 0 {\displaystyle z=0}

ρ ¯ g z + p ¯ 0 − ( ρ g z + p 0 ) = γ ∇ ⋅ n ^ ⇒ Δ ρ g z + Δ p = γ ∇ ⋅ n ^ {\displaystyle {\bar {\rho }}gz+{\bar {p}}_{0}-(\rho gz+p_{0})=\gamma \nabla \cdot \mathbf {\hat {n}} \quad \Rightarrow \quad \Delta \rho gz+\Delta p=\gamma \nabla \cdot \mathbf {\hat {n}} }

где — (постоянная) разность давлений на границе раздела, а — разность плотностей . Обратите внимание, что, поскольку это уравнение определяет поверхность, — координата капиллярной поверхности. Это нелинейное уравнение в частных производных при наличии правильных граничных условий определит статический интерфейс. Δ p {\displaystyle \Delta p} Δ ρ {\displaystyle \Delta \rho } z {\displaystyle z} z {\displaystyle z}

Разница давлений выше является константой, но ее значение изменится, если координата смещена. Линейное решение для давления подразумевает, что, если только член гравитации отсутствует , всегда можно определить координату так, что . Безразмерное уравнение Юнга-Лапласа обычно изучается в форме [1] z {\displaystyle z} z {\displaystyle z} Δ p = 0 {\displaystyle \Delta p=0}

κ z + λ = ∇ ⋅ n ^ {\displaystyle \kappa z+\lambda =\nabla \cdot \mathbf {\hat {n}} }

где (если гравитация имеет отрицательное направление) положительно, если более плотная жидкость находится «внутри» интерфейса, отрицательно, если она «снаружи», и равно нулю, если гравитация отсутствует или если нет разницы в плотности между жидкостями. z {\displaystyle z} κ {\displaystyle \kappa }

Это нелинейное уравнение обладает некоторыми богатыми свойствами, особенно с точки зрения существования уникальных решений. Например, отсутствие решения некоторой краевой задачи подразумевает, что физически проблема не может быть статической. Если решение существует, то обычно оно будет существовать для очень конкретных значений , что является репрезентативным для скачка давления на интерфейсе. Это интересно, потому что нет другого физического уравнения для определения разницы давления. Например, в капиллярной трубке реализация граничного условия угла контакта даст уникальное решение для ровно одного значения . Решения часто не являются уникальными, это подразумевает, что возможны несколько статических интерфейсов; хотя все они могут решать одну и ту же краевую задачу, минимизация энергии обычно будет благоприятствовать одному из них. Различные решения называются конфигурациями интерфейса. λ {\displaystyle \lambda } λ {\displaystyle \lambda }

Энергетический учет

Глубоким свойством капиллярных поверхностей является поверхностная энергия , передаваемая поверхностным натяжением:

E S = γ S A S {\displaystyle E_{S}=\gamma _{S}A_{S}\,}

где - площадь рассматриваемой поверхности, а полная энергия - это сумма всех энергий. Обратите внимание, что каждый интерфейс передает энергию. Например, если внутри твердого контейнера находятся две разные жидкости (скажем, жидкость и газ) с отсутствующими гравитацией и другими энергетическими потенциалами, энергия системы равна A {\displaystyle A}

E = ∑ γ S A S = γ L G A L G + γ S G A S G + γ S L A S L {\displaystyle E=\sum \gamma _{S}A_{S}=\gamma _{LG}A_{LG}+\gamma _{SG}A_{SG}+\gamma _{SL}A_{SL}\,}

где индексы , и соответственно указывают на интерфейсы жидкость–газ, твердое тело–газ и твердое тело–жидкость. Обратите внимание, что включение силы тяжести потребует рассмотрения объема, заключенного между поверхностью капилляра и твердыми стенками. L G {\displaystyle LG} S G {\displaystyle SG} S L {\displaystyle SL}

Иллюстрация распределенных сил на линии контакта, с линией контакта, перпендикулярной изображению. Вертикальная часть уравновешена небольшой деформацией твердого тела (не показано и несущественно для этого контекста). γ L G {\displaystyle \gamma _{LG}}

Обычно значения поверхностного натяжения между интерфейсами твердое тело-газ и твердое тело-жидкость неизвестны. Это не представляет проблемы, поскольку основной интерес представляют только изменения энергии. Если чистая площадь твердого тела является постоянной величиной, а угол контакта известен, можно показать, что (опять же, для двух различных жидкостей в твердом контейнере) A S G + A S L {\displaystyle A_{SG}+A_{SL}}

E = γ S L ( A S L + A S G ) + γ L G A L G + γ L G A S G cos ⁡ ( θ ) {\displaystyle E=\gamma _{SL}(A_{SL}+A_{SG})+\gamma _{LG}A_{LG}+\gamma _{LG}A_{SG}\cos(\theta )\,}

так что

Δ E γ L G = Δ A L G + Δ A S G cos ⁡ ( θ ) = Δ A L G − Δ A S L cos ⁡ ( θ ) {\displaystyle {\frac {\Delta E}{\gamma _{LG}}}=\Delta A_{LG}+\Delta A_{SG}\cos(\theta )=\Delta A_{LG}-\Delta A_{SL}\cos(\theta )\,}

где — угол контакта , а заглавная дельта указывает на изменение одной конфигурации на другую. Чтобы получить этот результат, необходимо просуммировать (распределенные) силы на линии контакта (где встречаются твердое тело, газ и жидкость) в направлении, касательном к твердой поверхности раздела и перпендикулярном линии контакта: θ {\displaystyle \theta }

0 = ∑ F C o n t a c t   l i n e = γ L G cos ⁡ ( θ ) + γ S L − γ S G {\displaystyle {\begin{aligned}0&=\sum F_{\mathrm {Contact\ line} }\\&=\gamma _{LG}\cos(\theta )+\gamma _{SL}-\gamma _{SG}\end{aligned}}}

где сумма равна нулю из-за статического состояния. Когда решения уравнения Юнга-Лапласа не являются уникальными, наиболее физически благоприятным решением является решение с минимальной энергией, хотя эксперименты (особенно при низкой гравитации) показывают, что метастабильные поверхности могут быть на удивление устойчивыми, и что наиболее стабильная конфигурация может стать метастабильной посредством механического сотрясения без особых трудностей. С другой стороны, метастабильная поверхность иногда может спонтанно достигать более низкой энергии без какого-либо ввода (по крайней мере, по-видимому) при наличии достаточного времени.

Граничные условия

Граничные условия для баланса напряжений описывают капиллярную поверхность на линии контакта : линии, где твердое тело встречается с капиллярным интерфейсом; также в качестве граничных условий могут служить ограничения по объему (например, подвешенная капля не имеет линии контакта, но, очевидно, должна допускать единственное решение).

Для статических поверхностей наиболее распространенным граничным условием линии контакта является реализация угла контакта , который определяет угол, под которым одна из жидкостей встречается с твердой стенкой. Условие угла контакта на поверхности обычно записывается как: S {\displaystyle S}

n ^ ⋅ v ^ = cos ⁡ ( θ ) {\displaystyle \mathbf {\hat {n}} \cdot \mathbf {\hat {v}} =\cos(\theta )\,}

где — угол контакта. Это условие накладывается на границу (или границы) поверхности. — единица внешней нормали к твердой поверхности, а — единица нормали к . Выбор зависит от того, для какой жидкости указан угол контакта. θ {\displaystyle \theta } ∂ S {\displaystyle \scriptstyle \partial S} v ^ {\displaystyle \scriptstyle {\hat {v}}} n ^ {\displaystyle \scriptstyle {\hat {n}}} S {\displaystyle S} n ^ {\displaystyle \scriptstyle {\hat {n}}}

Для динамических интерфейсов граничное условие, показанное выше, хорошо работает, если скорость контактной линии низкая. Если скорость высокая, угол контакта изменится («динамический угол контакта»), и по состоянию на 2007 год механика движущейся контактной линии (или даже обоснованность угла контакта как параметра) неизвестна и является областью активных исследований. [3]

Смотрите также

Ссылки

  1. ^ ab Роберт Финн (1999). "Капиллярные поверхностные интерфейсы" (PDF) . Американское математическое общество .
  2. ^ Ландау, Лев Д .; Лифшиц, Евгений М. (1987). Механика жидкости . Т. 6 (2-е изд.). Баттерворт-Хайнеманн . ISBN 978-0-08-033933-7.
  3. ^ EB Dussan V ; Enrique Ramé; Stephen Garoff (сентябрь 1991 г.). «Об определении соответствующих граничных условий на движущейся контактной линии: экспериментальное исследование». Журнал механики жидкости . 230 . CJO: 97–116. Bibcode :1991JFM...230...97D. doi :10.1017/S0022112091000721.
Retrieved from "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Capillary_surface&oldid=1229759899"