Формула характера Вейля

В математике формула характера Вейля в теории представлений описывает характеры неприводимых представлений компактных групп Ли в терминах их старших весов . ^[1] Она была доказана Германом Вейлем  (1925, 1926a, 1926b). Существует тесно связанная формула для характера неприводимого представления полупростой алгебры Ли. ^[2] В подходе Вейля к теории представлений связных компактных групп Ли доказательство формулы характера является ключевым шагом в доказательстве того, что каждый доминирующий целый элемент на самом деле возникает как старший вес некоторого неприводимого представления. ^[3] Важными следствиями формулы характера являются формула размерности Вейля и формула кратности Костанта .

По определению, характер представления G — это след , как функция элемента группы . Неприводимые представления в этом случае все конечномерны (это часть теоремы Петера–Вейля ); поэтому понятие следа — обычное из линейной алгебры. Знание характера дает много информации о нем самом . ${\displaystyle \чи}$${\displaystyle \пи}$${\displaystyle \пи (г)}$${\displaystyle g\in G}$${\displaystyle \чи}$${\displaystyle \пи}$${\displaystyle \пи}$

Формула Вейля — это замкнутая формула для характера в терминах других объектов, построенных из G и ее алгебры Ли . ${\displaystyle \чи}$

Формула характера может быть выражена в терминах представлений комплексных полупростых алгебр Ли или в терминах (по сути эквивалентной) теории представлений компактных групп Ли .

Пусть — неприводимое, конечномерное представление комплексной полупростой алгебры Ли . Предположим, что — подалгебра Картана алгебры . Характер алгебры тогда — это функция, определяемая формулой${\displaystyle \пи}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle \пи}$${\displaystyle \operatorname {ch} _{\pi }:{\mathfrak {h}}\rightarrow \mathbb {C} }$

${\displaystyle \operatorname {ch} _{\pi }(H)=\operatorname {tr} (e^{\pi (H)}).}$

Значение символа в есть размерность . По элементарным соображениям символ может быть вычислен как${\displaystyle H=0}$${\displaystyle \пи}$

${\displaystyle \operatorname {ch} _{\pi }(H)=\sum _{\mu }m_ {\mu }e^{\mu (H)}}$,

где сумма распространяется на все веса и где — кратность . (Предыдущее выражение иногда принимается за определение характера.)${\displaystyle \мю}$${\displaystyle \пи}$${\displaystyle м_{\мю }}$${\displaystyle \мю}$

Формула характера утверждает ^[4], что ее также можно вычислить как${\displaystyle \operatorname {ch} _{\pi }(H)}$

${\displaystyle \operatorname {ch} _{\pi }(H)={\frac {\sum _{w\in W}\varepsilon (w)e^{w(\lambda +\rho )(H)}}{\prod _{\alpha \in \Delta ^{+}}(e^{\alpha (H)/2}-e^{-\alpha (H)/2})}}}$

где

• ${\displaystyle W}$это группа Вейля ;
• ${\displaystyle \Дельта ^{+}}$— множество положительных корней корневой системы ;${\displaystyle \Дельта}$
• ${\displaystyle \ро}$— полусумма положительных корней, часто называемая вектором Вейля ;
• ${\displaystyle \лямбда}$— наибольший вес неприводимого представления ;${\displaystyle V}$
• ${\displaystyle \varepsilon (ш)}$— определитель действия на подалгебре Картана . Это равно , где — длина элемента группы Вейля , определяемая как минимальное число отражений относительно простых корней, такое, что равно произведению этих отражений.${\displaystyle w}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}\subset {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle (-1)^{\ell (w)}}$${\displaystyle \ell (w)}$${\displaystyle w}$

Используя формулу знаменателя Вейля (описанную ниже), формулу характера можно переписать как

${\displaystyle \operatorname {ch} _{\pi }(H)={\frac {\sum _{w\in W} \varepsilon (w)e^{w(\lambda +\rho)(H)} }{\sum _{w\in W}\varepsilon (w)e^{w(\rho )(H)}}}}$,

или, что то же самое,

${\displaystyle \operatorname {ch} _{\pi }(H){\sum _{w\in W} \varepsilon (w)e^{w(\rho)(H)}}=\sum _{w \in W}\varepsilon (w)e^{w(\lambda +\rho )(H)}.}$

Характер сам по себе является большой суммой экспонент. В этом последнем выражении мы затем умножаем характер на чередующуюся сумму экспонент — что, по-видимому, приведет к еще большей сумме экспонент. Удивительная часть формулы характера заключается в том, что когда мы вычисляем это произведение, на самом деле остается только небольшое количество членов. Гораздо больше членов, чем это, встречаются по крайней мере один раз в произведении характера и знаменателя Вейля, но большинство этих членов сокращаются до нуля. ^[5] Единственными членами, которые выживают, являются члены, которые встречаются только один раз, а именно (которые получаются путем взятия наибольшего веса из и наибольшего веса из знаменателя Вейля) и вещи в орбите группы Вейля .${\displaystyle e^{(\лямбда +\ро )(H)}}$${\displaystyle \operatorname {ch} _ {\pi }}$${\displaystyle e^{(\лямбда +\ро )(H)}}$

Пусть — компактная связная группа Ли, а — максимальный тор в . Пусть — неприводимое представление . Тогда мы определяем характер как функцию${\displaystyle К}$${\displaystyle Т}$${\displaystyle К}$${\displaystyle \Пи}$${\displaystyle К}$${\displaystyle \Пи}$

${\displaystyle \mathrm {X} (x)=\operatorname {trace} (\Pi (x)),\quad x\in K.}$

Легко видеть, что характер является функцией класса на , а теорема Петера–Вейля утверждает, что характеры образуют ортонормированный базис для пространства квадратично интегрируемых функций класса на . ^[6]${\displaystyle К}$${\displaystyle К}$

Так как является функцией класса, то она определяется ее ограничением на . Теперь, для в алгебре Ли , мы имеем${\displaystyle \mathrm {X} }$${\displaystyle Т}$${\displaystyle H}$${\displaystyle {\mathfrak {t}}}$${\displaystyle Т}$

${\displaystyle \operatorname {след} (\Пи (e^{H}))=\operatorname {след} (e^{\пи (H)})}$,

где — ассоциированное представление алгебры Ли . Таким образом, функция — это просто характер ассоциированного представления , как описано в предыдущем подразделе. Ограничение характера на тогда задается той же формулой, что и в случае алгебры Ли:${\displaystyle \пи}$${\displaystyle {\mathfrak {k}}}$${\displaystyle К}$${\displaystyle H\mapsto \operatorname {trace} (\Pi (e^{H}))}$${\displaystyle \пи}$${\displaystyle {\mathfrak {k}}}$${\displaystyle \Пи}$${\displaystyle Т}$

${\displaystyle \mathrm {X} (e^{H})={\frac {\sum _{w\in W} \varepsilon (w)e^{w(\lambda +\rho)(H)}} {\ sum _ {w\in W} \varepsilon (w)e^{w(\rho)(H)}}}.}$

Доказательство Вейля формулы характера в компактной группе полностью отличается от алгебраического доказательства формулы характера в полупростых алгебрах Ли. ^[7] В компактной группе принято использовать «действительные корни» и «действительные веса», которые отличаются на коэффициент от корней и весов, используемых здесь. Таким образом, формула в компактной группе имеет коэффициенты в показателе степени.${\displaystyle я}$${\displaystyle я}$

В случае группы SU(2) рассмотрим неприводимое представление размерности . Если взять в качестве диагональную подгруппу SU(2), то формула характера в этом случае будет иметь вид ^[8]${\displaystyle m+1}$${\displaystyle T}$

${\displaystyle \mathrm {X} \left({\begin{pmatrix}e^{i\theta }&0\\0&e^{-i\theta }\end{pmatrix}}\right)={\frac {e^{i(m+1)\theta }-e^{-i(m+1)\theta }}{e^{i\theta }-e^{-i\theta }}}={\frac {\sin((m+1)\theta )}{\sin \theta }}.}$

(И числитель, и знаменатель в формуле характера имеют два члена.) Полезно проверить эту формулу непосредственно в этом случае, чтобы мы могли наблюдать явление сокращения, подразумеваемое в формуле характера Вейля.

Поскольку представления известны весьма явно, характер представления можно записать как

${\displaystyle \mathrm {X} \left({\begin{pmatrix}e^{i\theta }&0\\0&e^{-i\theta }\end{pmatrix}}\right)=e^{im\theta }+e^{i(m-2)\theta }+\cdots +e^{-im\theta }.}$

Знаменатель Вейля, между тем, это просто функция . Умножение символа на знаменатель Вейля дает${\displaystyle e^{i\theta }-e^{-i\theta }}$

${\displaystyle \mathrm {X} \left({\begin{pmatrix}e^{i\theta }&0\\0&e^{-i\theta }\end{pmatrix}}\right)(e^{i\theta }-e^{-i\theta })=\left(e^{i(m+1)\theta }+e^{i(m-1)\theta }+\cdots +e^{-i(m-1)\theta }\right)-\left(e^{i(m-1)\theta }+\cdots +e^{-i(m-1)\theta }+e^{-i(m+1)\theta }\right).}$

Теперь мы можем легко убедиться, что большинство членов сокращаются между двумя членами в правой части выше, оставляя нам только

${\displaystyle \mathrm {X} \left({\begin{pmatrix}e^{i\theta }&0\\0&e^{-i\theta }\end{pmatrix}}\right)(e^{i\theta }-e^{-i\theta })=e^{i(m+1)\theta }-e^{-i(m+1)\theta }}$

так что

${\displaystyle \mathrm {X} \left({\begin{pmatrix}e^{i\theta }&0\\0&e^{-i\theta }\end{pmatrix}}\right)={\frac {e^{i(m+1)\theta }-e^{-i(m+1)\theta }}{e^{i\theta }-e^{-i\theta }}}={\frac {\sin((m+1)\theta )}{\sin \theta }}.}$

Характер в данном случае представляет собой геометрическую прогрессию с и этот предшествующий аргумент является небольшим вариантом стандартного вывода формулы для суммы конечной геометрической прогрессии.${\displaystyle R=e^{2i\theta }}$

В частном случае тривиального одномерного представления характер равен 1, поэтому формула характера Вейля становится формулой знаменателя Вейля : ^[9]

${\displaystyle {\sum _{w\in W}\varepsilon (w)e^{w(\rho )(H)}=\prod _{\alpha \in \Delta ^{+}}(e^{\alpha (H)/2}-e^{-\alpha (H)/2})}.}$

Для специальных унитарных групп это эквивалентно выражению

${\displaystyle \sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn}(\sigma )\,X_{1}^{\sigma (1)-1}\cdots X_{n}^{\sigma (n)-1}=\prod _{1\leq i<j\leq n}(X_{j}-X_{i})}$

для определителя Вандермонда . ^[10]

Оценивая характер в , формула характера Вейля дает формулу размерности Вейля${\displaystyle H=0}$

${\displaystyle \dim(V_{\lambda })={\prod _{\alpha \in \Delta ^{+}}(\lambda +\rho ,\alpha ) \over \prod _{\alpha \in \Delta ^{+}}(\rho ,\alpha )}}$

для размерности конечномерного представления с наибольшим весом . (Как обычно, ρ равно половине суммы положительных корней, а произведения пробегают положительные корни α.) Специализация не совсем тривиальна, поскольку и числитель, и знаменатель формулы характера Вейля обращаются в нуль в высоком порядке в единичном элементе, поэтому необходимо взять предел следа элемента, стремящегося к единице, используя версию правила Лопиталя . ^[11] В случае SU(2), описанном выше, например, мы можем восстановить размерность представления, используя правило Лопиталя для оценки предела при стремлении к нулю .${\displaystyle V_{\lambda }}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle m+1}$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle \sin((m+1)\theta )/\sin \theta }$

В качестве примера можно рассмотреть комплексную полупростую алгебру Ли sl(3, C ) или, что эквивалентно, компактную группу SU(3). В этом случае представления помечены парой неотрицательных целых чисел. В этом случае имеется три положительных корня, и нетрудно проверить, что формула размерности принимает явный вид ^[12]${\displaystyle (m_{1},m_{2})}$

${\displaystyle \dim(V_{m_{1},m_{2}})={\frac {1}{2}}(m_{1}+1)(m_{2}+1)(m_{1}+m_{2}+2)}$

В данном случае имеет место стандартное представление, и действительно, в этом случае формула размерности дает значение 3.${\displaystyle m_{1}=1,\,m_{2}=0}$

Формула характера Вейля дает характер каждого представления как частное, где числитель и знаменатель являются конечной линейной комбинацией экспонент. Хотя эта формула в принципе определяет характер, не совсем очевидно, как можно явно вычислить это частное как конечную сумму экспонент. Уже в случае SU(2), описанном выше, не сразу очевидно, как перейти от формулы характера Вейля, которая дает характер как обратно к формуле для характера как суммы экспонент:${\displaystyle \sin((m+1)\theta )/\sin \theta }$

${\displaystyle e^{im\theta }+e^{i(m-2)\theta }+\cdots +e^{-im\theta }.}$

В этом случае, возможно, не так уж и сложно распознать выражение как сумму конечной геометрической прогрессии, но в целом нам нужна более систематическая процедура.${\displaystyle \sin((m+1)\theta )/\sin \theta }$

В общем случае процесс деления может быть выполнен путем вычисления формальной обратной величины знаменателя Вейля и последующего умножения числителя в формуле характера Вейля на эту формальную обратную величину. ^[13] Результат дает характер как конечную сумму экспонент. Коэффициенты этого разложения являются размерностями весовых пространств, то есть кратностями весов. Таким образом, из формулы характера Вейля мы получаем формулу для кратностей весов, известную как формула кратности Костанта . Альтернативная формула, которая в некоторых случаях более удобна для вычислений, приведена в следующем разделе.

Формула Ганса Фрейденталя — это рекурсивная формула для кратностей веса, которая дает тот же ответ, что и формула кратности Костанта, но иногда ее проще использовать для вычислений, поскольку суммировать можно гораздо меньше членов. Формула основана на использовании элемента Казимира , и ее вывод не зависит от формулы характера. Она гласит ^[14]

${\displaystyle (\|\Lambda +\rho \|^{2}-\|\lambda +\rho \|^{2})m_{\Lambda }(\lambda )=2\sum _{\alpha \in \Delta ^{+}}\sum _{j\geq 1}(\lambda +j\alpha ,\alpha )m_{\Lambda }(\lambda +j\alpha )}$

где

• Λ — наибольший вес,
• λ — некоторый другой вес,
• m _Λ (λ) — кратность веса λ в неприводимом представлении V _Λ
• ρ — вектор Вейля
• Первая сумма берется по всем положительным корням α.

Формула характера Вейля также справедлива для интегрируемых представлений алгебр Каца–Муди с наибольшим весом , когда она известна как формула характера Вейля–Каца . Аналогично существует тождество знаменателя для алгебр Каца–Муди, которое в случае аффинных алгебр Ли эквивалентно тождествам Макдональда . В простейшем случае аффинной алгебры Ли типа A ₁ это тождество тройного произведения Якоби

${\displaystyle \prod _{m=1}^{\infty }\left(1-x^{2m}\right)\left(1-x^{2m-1}y\right)\left(1-x^{2m-1}y^{-1}\right)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}x^{n^{2}}y^{n}.}$

Формулу характера можно также распространить на интегрируемые представления с наибольшим весом обобщенных алгебр Каца–Муди , когда характер задается как

${\displaystyle {\sum _{w\in W}(-1)^{\ell (w)}w(e^{\lambda +\rho }S) \over e^{\rho }\prod _{\alpha \in \Delta ^{+}}(1-e^{-\alpha })}.}$

Здесь S — поправочный член, заданный через мнимые простые корни:

${\displaystyle S=\sum _{I}(-1)^{|I|}e^{\Sigma I}\,}$

где сумма пробегает все конечные подмножества I мнимых простых корней, которые попарно ортогональны и ортогональны наибольшему весу λ, а |I| — мощность I, а Σ I — сумма элементов I.

Формула знаменателя для чудовищной алгебры Ли — это формула произведения

${\displaystyle j(p)-j(q)=\left({1 \over p}-{1 \over q}\right)\prod _{n,m=1}^{\infty }(1-p^{n}q^{m})^{c_{nm}}}$

для эллиптической модулярной функции j .

Петерсон дал рекурсивную формулу для кратностей mult(β) корней β симметризуемой (обобщенной) алгебры Каца–Муди, которая эквивалентна формуле знаменателя Вейля–Каца, но более удобна для использования в вычислениях:

${\displaystyle (\beta ,\beta -2\rho )c_{\beta }=\sum _{\gamma +\delta =\beta }(\gamma ,\delta )c_{\gamma }c_{\delta }\,}$

где сумма берется по положительным корням γ, δ и

${\displaystyle c_{\beta }=\sum _{n\geq 1}{\operatorname {mult} (\beta /n) \over n}.}$

Хариш-Чандра показал, что формула характера Вейля допускает обобщение на представления действительной редуктивной группы . Предположим, что — неприводимое допустимое представление действительной редуктивной группы G с бесконечно малым характером . Пусть — характер Хариш-Чандры группы ; он задается интегрированием по аналитической функции на регулярном множестве. Если H — подгруппа Картана группы G, а H' — множество регулярных элементов в H, то${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \Theta _{\pi }}$${\displaystyle \pi }$

${\displaystyle \Theta _{\pi }|_{H'}={\sum _{w\in W/W_{\lambda }}a_{w}e^{w\lambda } \over e^{\rho }\prod _{\alpha \in \Delta ^{+}}(1-e^{-\alpha })}.}$

Здесь

• W — комплексная группа Вейля относительно${\displaystyle H_{\mathbb {C} }}$${\displaystyle G_{\mathbb {C} }}$
• ${\displaystyle W_{\lambda }}$является стабилизатором в Вт${\displaystyle \lambda }$

и остальные обозначения такие же, как и выше.

Коэффициенты все еще недостаточно изучены. Результаты по этим коэффициентам можно найти в работах Херба , Адамса, Шмида и Шмид-Вилонен среди других.${\displaystyle a_{w}}$

• Теория характера
• Алгебраический характер
• Формула характера Демазура
• Формула интегрирования Вейля
• формула характера Кириллова

• Фултон, Уильям и Харрис, Джо (1991). Теория представлений: первый курс. Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN  0387974954 . OCLC 22861245. ^[1]
• Холл, Брайан С. (2015), Группы Ли, алгебры Ли и представления: элементарное введение , Graduate Texts in Mathematics, т. 222 (2-е изд.), Springer, ISBN 978-3319134666
• Хамфрис, Джеймс Э. (1972), Введение в алгебры Ли и теорию представлений , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90053-7.
• Бесконечномерные алгебры Ли , В. Г. Кац, ISBN 0-521-37215-1 
• Дункан Дж. Мелвилл (2001) [1994], "Формула характера Вейля–Каца", Энциклопедия математики , EMS Press
• Вейль, Герман (1925), «Theorie der Darstellung kontinuierlicher halb-einfacher Gruppen durch lineare Transformationen. I», Mathematische Zeitschrift , 23 , Springer Berlin / Heidelberg: 271–309, doi : 10.1007/BF01506234, ISSN  0025-5874, S2C , ID  123145812
• Вейль, Герман (1926a), «Theorie der Darstellung kontinuierlicher halb-einfacher Gruppen durch lineare Transformationen. II», Mathematische Zeitschrift , 24 , Springer Berlin / Heidelberg: 328–376, doi : 10.1007/BF01216788, ISSN  0025-5874 S2, Идентификатор идентификатора  186229448
• Вейль, Герман (1926b), «Theorie der Darstellung kontinuierlicher halb-einfacher Gruppen durch lineare Transformationen. III», Mathematische Zeitschrift , 24 , Springer Berlin / Heidelberg: 377–395, doi : 10.1007/BF01216789, ISSN  0025-5874 S2, Идентификатор  186232780