Модуль демазурирования

В математике модуль Демазюра , введенный Демазюром  (1974a, 1974b), является подмодулем конечномерного представления, порожденного экстремальным весовым пространством под действием подалгебры Бореля . Формула характера Демазюра , введенная Демазюром  (1974b, теорема 2), дает характеры модулей Демазюра и является обобщением формулы характера Вейля . Размерность модуля Демазюра — это многочлен от наибольшего веса, называемый многочленом Демазюра .

Предположим, что g — комплексная полупростая алгебра Ли с подалгеброй Бореля b , содержащей подалгебру Картана h . Неприводимое конечномерное представление V алгебры g расщепляется как сумма собственных пространств h , а пространство с наибольшим весом является одномерным и является собственным пространством b . Группа Вейля W действует на веса V , а сопряженные элементы w λ вектора с наибольшим весом λ при этом действии являются экстремальными весами, весовые пространства которых все одномерны.

Модуль Демазюра — это b -подмодуль V, порожденный весовым пространством экстремального вектора w λ, поэтому подмодули Демазюра V параметризуются группой Вейля W .

Существует два крайних случая: если w тривиально, то модуль Демазюра является просто одномерным, а если w является элементом максимальной длины W , то модуль Демазюра представляет собой все неприводимое представление V.

Модули Демазюра можно определить аналогичным образом для представлений алгебр Каца–Муди с наибольшим весом , за исключением того, что теперь есть 2 случая, поскольку можно рассматривать подмодули, порожденные либо подалгеброй Бореля b , либо ее противоположной подалгеброй. В конечномерном пространстве они заменяются самым длинным элементом группы Вейля, но в бесконечных измерениях это уже не так, поскольку нет самого длинного элемента.

Формула характера Демазюра была введена (Demazure 1974b, теорема 2). Виктор Кац указал, что доказательство Демазюра имеет серьезный пробел, поскольку оно зависит от (Demazure 1974a, предложение 11, раздел 2), что неверно; см. (Joseph 1985, раздел 4) для контрпримера Каца. Андерсен (1985) дал доказательство формулы характера Демазюра, используя работу по геометрии многообразий Шуберта Раманана и Раманатана (1985) и Мехты и Раманатана (1985). Джозеф (1985) дал доказательство для достаточно больших доминирующих модулей с наибольшим весом, используя методы алгебры Ли. Кашивара (1993) доказал улучшенную версию формулы характера Демазюра, которую Литтельманн (1995) предположил (и доказал во многих случаях).

Формула характера Демазюра:

${\displaystyle {\text{Ch}}(F(w\lambda ))=\Delta _{1}\Delta _{2}\cdots \Delta _{n}e^{\lambda }}$

Здесь:

• w — элемент группы Вейля с сокращенным разложением w  =  s ₁ ... s _n как произведение отражений простых корней.
• λ — наименьший вес, а e ^{λ —} соответствующий элемент группового кольца решетки весов.
• Ch( F ( w λ)) — характер модуля Демазюра F ( w λ).
• P — решетка весов, а Z [ P ] — ее групповое кольцо.
• ${\displaystyle \ро}$представляет собой сумму фундаментальных весов, а точечное действие определяется как .${\ displaystyle w \ cdot u = w (u + \ rho) - \ rho }$
• Δ _α для корня α является эндоморфизмом Z -модуля Z [ P ], определяемым формулой

${\displaystyle \Delta _{\alpha }(u)={\frac {u-s_{\alpha }\cdot u}{1-e^{-\alpha }}}}$

и Δ _j есть Δ _α для α корня s _j

• Андерсен, ХХ (1985), «Многообразия Шуберта и формула характера Демазюра», Inventiones Mathematicae , 79 (3): 611– 618, doi :10.1007/BF01388527, ISSN  0020-9910, MR  0782239, S2CID  121295084
• Демазюр, Мишель (1974a), «Десингуляризация разновидностей Шуберта общего», Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure , Série 4, 7 : 53–88 , doi : 10.24033/asens.1261 , ISSN  0012-9593, МР  0354697
• Демазюр, Мишель (1974b), «Новая формула персонажей», Bulletin des Sciences Mathématiques , 2e Série, 98 (3): 163–172 , ISSN  0007-4497, MR  0430001
• Джозеф, Энтони (1985), «О формуле характера Демазюра», Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure , Série 4, 18 (3): 389–419 , doi : 10.24033/asens.1493 , ISSN  0012-9593, MR  0826100
• Кашивара, Масаки (1993), «Кристаллическая база и улучшенная Литтельманном формула характера Демазюра», Duke Mathematical Journal , 71 (3): 839– 858, doi :10.1215/S0012-7094-93-07131-1, ISSN  0012-7094, MR  1240605
• Литтельманн, Питер (1995), «Кристаллические графы и таблицы Юнга», Журнал алгебры , 175 (1): 65–87 , doi : 10.1006/jabr.1995.1175 , ISSN  0021-8693, MR  1338967
• Мехта, В. Б.; Раманатан, А. (1985), «Расщепление Фробениуса и исчезновение когомологий для многообразий Шуберта», Annals of Mathematics , вторая серия, 122 (1): 27– 40, doi :10.2307/1971368, ISSN  0003-486X, JSTOR  1971368, MR  0799251
• Раманан, С.; Раманатан, А. (1985), «Проективная нормальность многообразий флагов и многообразий Шуберта», Inventiones Mathematicae , 79 (2): 217– 224, doi :10.1007/BF01388970, ISSN  0020-9910, MR  0778124, S2CID  123105737