Универсальный набор

В теории множеств универсальное множество — это множество, которое содержит все объекты, включая себя. ^[1] В теории множеств, как она обычно сформулирована, можно доказать несколькими способами, что универсального множества не существует. Однако некоторые нестандартные варианты теории множеств включают универсальное множество.

Многие теории множеств не допускают существования универсального множества. Существует несколько различных аргументов в пользу его несуществования, основанных на различных вариантах аксиом для теории множеств.

Парадокс Рассела касается невозможности множества множеств, членами которого являются все множества, не содержащие себя. Если бы такое множество могло существовать, оно не могло бы ни содержать себя (потому что все его члены не содержат себя), ни избегать содержания себя (потому что если бы оно содержало, оно должно было бы быть включено в качестве одного из своих членов). ^[2] Этот парадокс препятствует существованию универсального множества в теориях множеств, которые включают либо аксиому ограниченного понимания Цермело , либо аксиому регулярности и аксиому спаривания .

В теории множеств Цермело–Френкеля аксиома регулярности и аксиома спаривания не позволяют множеству содержать себя. Для любого множества множество (построенное с использованием спаривания) обязательно содержит элемент, не пересекающийся с , по регулярности. Поскольку его единственным элементом является , то это должен быть случай, когда он не пересекается с , и, следовательно, не содержит себя. Поскольку универсальное множество обязательно содержало бы себя, оно не может существовать при этих аксиомах. ^[3]${\displaystyle А}$${\displaystyle \{А\}}$${\displaystyle \{А\}}$${\displaystyle А}$${\displaystyle А}$${\displaystyle \{А\}}$${\displaystyle А}$

Парадокс Рассела препятствует существованию универсального множества в теориях множеств, включающих аксиому ограниченного понимания Цермело . Эта аксиома утверждает, что для любой формулы и любого множества существует множество , содержащее ровно те элементы , которые удовлетворяют . ^[2]${\displaystyle \varphi (x)}$${\displaystyle А}$$${\displaystyle \{x\in A\mid \varphi (x)\}}$$${\displaystyle x}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \varphi }$

Если бы эта аксиома могла быть применена к универсальному множеству , с определенным как предикат , она бы утверждала существование парадоксального множества Рассела, что приводит к противоречию. Именно это противоречие привело к тому, что аксиома понимания была сформулирована в ее ограниченной форме, где она утверждает существование подмножества данного множества, а не существование множества всех множеств, которые удовлетворяют данной формуле. ^[2]${\displaystyle A}$${\displaystyle \varphi (x)}$${\displaystyle x\notin x}$

Когда аксиома ограниченного понимания применяется к произвольному множеству с предикатом , она производит подмножество элементов , которые не содержат себя. Оно не может быть членом , потому что если бы оно было таковым, то было бы включено в качестве члена самого себя по своему определению, что противоречит тому факту, что оно не может содержать себя. Таким образом, можно построить свидетельство неуниверсальности , даже в версиях теории множеств, которые позволяют множествам содержать себя. Это действительно справедливо даже с предикативным пониманием и сверхинтуиционистской логикой .${\displaystyle A}$${\displaystyle \varphi (x)\equiv x\notin x}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$

Другая трудность с идеей универсального множества касается множества мощности множества всех множеств. Поскольку это множество мощности является множеством множеств, оно обязательно будет подмножеством множества всех множеств, при условии, что существуют оба. Однако это противоречит теореме Кантора о том, что множество мощности любого множества (бесконечного или нет) всегда имеет строго большую мощность, чем само множество.

Трудностей, связанных с универсальным множеством, можно избежать, либо используя вариант теории множеств, в котором аксиома понимания каким-либо образом ограничена, либо используя универсальный объект, который не считается множеством.

Существуют теории множеств, известные своей непротиворечивостью (если обычная теория множеств непротиворечива), в которых универсальное множество V существует (и является истинным). В этих теориях аксиома понимания Цермело не выполняется в общем случае, а аксиома понимания наивной теории множеств ограничена другим способом. Теория множеств, содержащая универсальное множество, обязательно является не вполне обоснованной теорией множеств . Наиболее широко изученная теория множеств с универсальным множеством — это « Новые основания » Уилларда Ван Ормана Куайна . Алонзо Чёрч и Арнольд Обершельп также опубликовали работы по таким теориям множеств. Чёрч предположил, что его теория может быть расширена способом, совместимым с теорией Куайна, ^[4] но это невозможно для теории Обершельпа, поскольку в ней одноэлементная функция доказуемо является множеством, ^[5] что немедленно приводит к парадоксу в «Новых основаниях». ^[6]${\displaystyle V\in V}$

Другим примером является позитивная теория множеств , где аксиома понимания ограничена и распространяется только на позитивные формулы (формулы, не содержащие отрицаний). Такие теории множеств мотивированы понятиями замыкания в топологии.

Идея универсального множества кажется интуитивно желательной в теории множеств Цермело–Френкеля , особенно потому, что большинство версий этой теории допускают использование квантификаторов по всем множествам (см. универсальный квантификатор ). Один из способов разрешить объекту, который ведет себя подобно универсальному множеству, не создавая парадоксов, состоит в том, чтобы описать V и подобные большие коллекции как собственные классы , а не как множества. Парадокс Рассела неприменим в этих теориях, потому что аксиома понимания действует на множества, а не на классы.

Категорию множеств также можно считать универсальным объектом, который, опять же, сам по себе не является множеством. Он имеет все множества в качестве элементов, а также включает стрелки для всех функций от одного множества к другому. Опять же, он не содержит себя, потому что сам по себе не является множеством.

• Вселенная (математика)
• вселенная Гротендика
• Область дискурса
• Теория множеств фон Неймана–Бернейса–Гёделя — расширение ZFC, допускающее класс всех множеств

• Cenzer, Douglas; Larson, Jean; Porter, Christopher; Zapletal, Jindrich (2020). Теория множеств и основы математики: Введение в математическую логику . World Scientific. стр. 2. doi :10.1142/11324. ISBN 978-981-12-0192-9. S2CID  208131473.
• Чёрч, Алонзо (1974). «Теория множеств с универсальным множеством». Труды симпозиума Тарского: Международный симпозиум, состоявшийся в Калифорнийском университете в Беркли 23–30 июня 1971 года в честь Альфреда Тарского по случаю его семидесятилетия . Труды симпозиумов по чистой математике. Т. 25. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. С.  297–308 . MR  0369069.
• Форстер, TE (1995). Теория множеств с универсальным множеством: исследование нетипизированной вселенной . Oxford Logic Guides. Том 31. Oxford University Press. ISBN 0-19-851477-8.
• Форстер, Томас (2001). «Теория множеств Чёрча с универсальным множеством». В Андерсон, К. Энтони; Зелени, Майкл (ред.). Логика, значение и вычисления: эссе в память об Алонзо Чёрче . Библиотека синтеза. Т. 305. Дордрехт: Kluwer Academic Publishers. С.  109–138 . MR  2067968.
• Холмс, М. Рэндалл (1998). Элементарная теория множеств с универсальным множеством . Cahiers du Centre de Logique [Отчеты Центра логики]. Том. 10. Католический университет Лувена, факультет философии, Лувен-ла-Нёв. ISBN 2-87209-488-1. МР  1759289.
• Ирвин, Эндрю Дэвид; Дойч, Гарри (весна 2021 г.). «Парадокс Рассела». В Zalta, Эдвард Н. (ред.). Стэнфордская энциклопедия философии .
• Обершелп, Арнольд (1973). Поставьте теорию выше классов. Dissertationes Mathematicae (Rozprawy Matematyczne). Том. 106. Институт математики Польской академии наук. МР  0319758.
• Уиллард Ван Орман Куайн (1937) «Новые основания математической логики», American Mathematical Monthly 44, стр. 70–80.
• Шеридан, Флэш (2016). «Вариант теории множеств Чёрча с универсальным множеством, в котором функция синглтона является множеством» (PDF) . Logique et Analyse . 59 (233): 81– 131. JSTOR  26767819. MR  3524800.

• Вайсштейн, Эрик В. «Универсальный набор». Математический мир .
• Библиография: Теория множеств с универсальным множеством, созданная Т. Э. Форстером и поддерживаемая Рэндаллом Холмсом.