Уравнения Озеена

В гидродинамике уравнения Озеена ( или поток Озеена ) описывают течение вязкой и несжимаемой жидкости при малых числах Рейнольдса , как это было сформулировано Карлом Вильгельмом Озееном в 1910 году. Поток Озеена является улучшенным описанием этих потоков по сравнению с потоком Стокса с (частичным) включением конвективного ускорения . ^[1]

Работа Осина основана на экспериментах Г. Г. Стокса , который изучал падение сферы через вязкую жидкость. Он разработал поправочный член, включающий инерционные факторы, для скорости потока, используемой в расчетах Стокса, чтобы решить проблему, известную как парадокс Стокса . Его приближение приводит к улучшению расчетов Стокса.

Уравнения Озеена в случае объекта, движущегося с постоянной скоростью потока U через жидкость, которая находится в покое вдали от объекта, и в системе отсчета, связанной с объектом, имеют вид: ^[1] где$${\displaystyle {\begin{aligned}-\rho \mathbf {U} \cdot \nabla \mathbf {u} &=-\nabla p\,+\,\mu \nabla ^{2}\mathbf {u} ,\\\nabla \cdot \mathbf {u} &=0,\end{aligned}}}$$

• u - возмущение скорости потока, вызванное движущимся объектом, т.е. полная скорость потока в системе отсчета, движущейся вместе с объектом, равна − U + u ,
• p — давление ,
• ρ — плотность жидкости,
• μ — динамическая вязкость ,
• ∇ — оператор градиента , а
• ∇ ² — оператор Лапласа .

Граничные условия для течения Озеена вокруг твердого объекта следующие: r — расстояние от центра объекта, а p _{∞ —} невозмущенное давление вдали от объекта.$${\displaystyle {\begin{align}\mathbf {u} &=\mathbf {U} &&{\text{на поверхности объекта}},\\\mathbf {u} &\to 0&&{\text{и}}\quad p\to p_{\infty }\quad {\text{для}}\quad r\to \infty ,\end{align}}}$$

Фундаментальным свойством уравнения Озеена является то, что общее решение можно разбить на продольные и поперечные волны.

Решение представляет собой продольную волну, если скорость безвихревая и, следовательно, вязкий член выпадает. Уравнения становятся${\displaystyle \left(\mathbf {u} _{\text{L}},p'\right)}$$${\displaystyle {\mathbf {u} _{\text{L}}}_{t}+U{\mathbf {u} _{\text{L}}}_{x}+{\frac {1} {\rho }}\nabla p=0,\quad \nabla \cdot \mathbf {u} _{\text{L}}=0,\quad \nabla \times \mathbf {u} _{\text{L}}=0}$$

В результате$${\displaystyle \mathbf {u} _{\text{L}}=\nabla \phi,\quad \nabla ^{2}\phi =0,\quad p'=p-p_{\infty }=-\ ро U\mathbf {u} _{\text{L}}}$$

Скорость выводится из теории потенциала, а давление — из линеаризованных уравнений Бернулли.

Решение представляет собой поперечную волну, если давление тождественно равно нулю, а поле скорости является соленоидальным. Уравнения имеют вид${\displaystyle (\mathbf {u} _{\text{T}},0)}$${\displaystyle p'}$$${\displaystyle {\mathbf {u} _{\text{T}}}_{t}+U{\mathbf {u} _{\text{T}}}_{x}=\nu \nabla ^{2}\mathbf {u} _{\text{T}},\quad \nabla \cdot \mathbf {u_{T}} =0.}$$

Тогда полное решение Озеена имеет вид$${\displaystyle \mathbf {u} =\mathbf {u} _{\text{L}}+\mathbf {u} _{\text{T}}}$$

теорема о расщеплении, выдвинутая Горацием Лэмбом . ^[3] Расщепление является уникальным, если указаны условия на бесконечности (скажем, ).${\displaystyle \mathbf {u} =0,\ p=p_ {\infty }}$

Для некоторых потоков Озеена возможно дальнейшее расщепление поперечной волны на безвихревую и вращательную составляющие Пусть будет скалярной функцией, которая удовлетворяет и исчезает на бесконечности и наоборот пусть будет задано таким образом, что , тогда поперечная волна есть где определяется из и является единичным вектором. Ни один из них или не является поперечным сам по себе, но является поперечным. Следовательно,${\displaystyle \mathbf {u} _{\text{T}}=\mathbf {u} _{1}+\mathbf {u} _{2}.}$${\displaystyle \чи}$${\displaystyle U\chi _{x}=\nu \nabla ^{2}\chi }$${\displaystyle \mathbf {u} _{\text{T}}=(u_{\text{T}},v_{\text{T}})}$${\textstyle \int _{-\infty }^{\infty }v_{\text{T}}\,dy=0}$$${\displaystyle \mathbf {u} _ {\text{T}}=- {\frac {\nu }{U}} \nabla \chi +\chi \mathbf {i} ,\quad \mathbf {u} _ {\text{1}}=-{\frac {\nu }{U}}\nabla \chi ,\quad \mathbf {u} _{\text{2}}=\chi \mathbf {i} .}$$${\displaystyle \чи}$${\textstyle \chi ={\frac {U}{\nu }}\int _{y}^{\infty }v_{T}\,dy}$${\displaystyle \mathbf {я} }$${\displaystyle \mathbf {u} _{1}}$${\displaystyle \mathbf {u} _{2}}$${\displaystyle \mathbf {u} _{1}+\mathbf {u} _{2}}$$${\displaystyle \mathbf {u} =\mathbf {u} _{\text{L}}+\mathbf {u} _{\text{T}}=\mathbf {u} _{\text{L}}+\mathbf {u} _{1}+\mathbf {u} _{2}}$$

Единственным вращательным компонентом является бытие .${\displaystyle \mathbf {u} _{2}}$

Фундаментальное решение , обусловленное особой точечной силой, встроенной в течение Озеена, — это Озеенлет . Замкнутые фундаментальные решения для обобщенных нестационарных потоков Стокса и Озеена, связанных с произвольными зависящими от времени поступательными и вращательными движениями, были получены для ньютоновских ^[4] и микрополярных ^[5] жидкостей.

Используя уравнение Озеена, Хорас Лэмб смог вывести улучшенные выражения для вязкого течения вокруг сферы в 1911 году, улучшив закон Стокса в сторону несколько более высоких чисел Рейнольдса. ^[1] Кроме того, Лэмб вывел — впервые — решение для вязкого течения вокруг кругового цилиндра. ^[1]

Решение для реакции сингулярной силы при отсутствии внешних границ можно записать как${\displaystyle \mathbf {f} }$$${\displaystyle U\mathbf {u} _{x}+{\frac {1}{\rho }}\nabla p-\nu \nabla ^{2}\mathbf {u} =\mathbf {f} ,\quad \nabla \cdot \mathbf {u} =0}$$

Если , где — сингулярная сила, сосредоточенная в точке , — произвольная точка, — заданный вектор, задающий направление сингулярной силы, то при отсутствии границ скорость и давление выводятся из фундаментального тензора и фундаментального вектора${\displaystyle \mathbf {f} =\delta (q,q_{o})\mathbf {a} }$${\displaystyle \delta (q,q_{o})}$${\displaystyle q_{o}}$${\displaystyle q}$${\displaystyle \mathbf {a} }$${\displaystyle \Gamma (q,q_{o})}$${\displaystyle \Pi (q,q_{o})}$$${\displaystyle \mathbf {u} (q)=\Gamma (q,q_{o})\mathbf {a} ,\quad p'=p-p_{\infty }=\Pi (q,q_{o})\cdot \mathbf {a} }$$

Теперь, если — произвольная функция пространства, то решение для неограниченной области имеет вид , где — бесконечно малый элемент объема/площади вокруг точки .${\displaystyle \mathbf {f} }$$${\displaystyle \mathbf {u} (q)=\int \Gamma (q,q_{o})\mathbf {f} (q_{o})dq_{o},\quad p'(q)=\int \Pi (q,q_{o})\cdot \mathbf {f} (q_{o})dq_{o}}$$${\displaystyle dq_{o}}$${\displaystyle q_{o}}$

Без потери общности, взятые в начале координат и . Тогда фундаментальный тензор и вектор равны где , где — модифицированная функция Бесселя второго рода нулевого порядка.${\displaystyle q_{o}=(0,0)}$${\displaystyle q=(x,y)}$$${\displaystyle \Gamma ={\begin{pmatrix}{\frac {\partial A}{\partial x}}&{\frac {\partial A}{\partial y}}\\{\frac {\partial A}{\partial y}}&-{\frac {\partial A}{\partial x}}\end{pmatrix}}+{\frac {1}{2\pi \nu }}e^{\lambda x}K_{o}(\lambda r){\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}},\quad \Pi ={\frac {\rho }{2\pi }}\nabla (\ln r)}$$$${\displaystyle \lambda ={\frac {U}{2\nu }},\quad r^{2}=x^{2}+y^{2},\quad A=-{\frac {1}{2\pi U}}\left[\ln r+e^{\lambda x}K_{o}(\lambda r)\right]}$$${\displaystyle K_{o}(\lambda r)}$

Без потери общности взяты в начале координат и . Тогда фундаментальный тензор и вектор равны где${\displaystyle q_{o}=(0,0,0)}$${\displaystyle q=(x,y,z)}$$${\displaystyle \Gamma ={\begin{pmatrix}{\frac {\partial A}{\partial x}}&{\frac {\partial B}{\partial x}}&{\frac {\partial C}{\partial x}}\\{\frac {\partial A}{\partial y}}&{\frac {\partial B}{\partial y}}&{\frac {\partial C}{\partial y}}\\{\frac {\partial A}{\partial z}}&{\frac {\partial B}{\partial z}}&{\frac {\partial C}{\partial z}}\end{pmatrix}}+{\frac {1}{4\pi \nu }}{\frac {e^{-\lambda (r-x)}}{r}}{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}},\quad \Pi =-{\frac {\rho }{4\pi }}\nabla \left({\frac {1}{r}}\right)}$$

Озеен считал сферу неподвижной, а жидкость текущей со скоростью потока ( ) на бесконечном расстоянии от сферы. Инерционные члены в расчетах Стокса не учитывались. ^[6] Это предельное решение, когда число Рейнольдса стремится к нулю. Когда число Рейнольдса мало и конечно, например, 0,1, необходима поправка на инерционный член. Озеен подставил следующие значения скорости потока в уравнения Навье-Стокса .${\displaystyle U}$$${\displaystyle u_{1}=u+u_{1}',\qquad u_{2}=u_{2}',\qquad u_{3}=u_{3}'.}$$

Подставляя их в уравнения Навье-Стокса и пренебрегая квадратичными членами в штрихованных величинах, получаем приближение Озеена:$${\displaystyle u{\partial u_{1}' \over \partial x_{1}}=-{1 \over \rho }{\partial p \over \partial x_{1}}+\nu \nabla ^{2}u_{i}'\qquad \left({i=1,2,3}\right).}$$

Поскольку движение симметрично относительно оси, а дивергенция вектора завихренности всегда равна нулю, мы получаем: функцию можно исключить, добавив к подходящей функции в , — функция завихренности, а предыдущую функцию можно записать как: и путем некоторого интегрирования решение для равно: таким образом, если принять — «привилегированное направление», то получим:${\displaystyle x}$$${\displaystyle \left(\nabla ^{2}-{U \over 2v}{\partial \over \partial x}\right)\chi =G(x)=0}$$${\displaystyle G(x)}$${\displaystyle x}$$${\displaystyle {U \over v}{\partial u' \over \partial x}=\nabla ^{2}u'}$$${\displaystyle \chi }$$${\displaystyle e^{-Ux \over 2v}\chi ={{Ce^{-U\operatorname {Re} \over 2v}} \over \operatorname {Re} }}$$${\displaystyle x}$$${\displaystyle \varphi ={A_{0} \over \operatorname {Re} }+A_{1}{\partial \over \partial x}{1 \over \operatorname {Re} }+A_{2}{\partial ^{2} \over \partial x^{2}}{1 \over \operatorname {Re} }+\ldots }$$

затем, применяя три граничных условия, мы получаем новый улучшенный коэффициент сопротивления, который теперь становится: и, наконец, когда решение Стокса было решено на основе приближения Озеена, оно показало, что результирующая сила сопротивления определяется выражением$${\displaystyle C=-{3 \over 2}Ua,\ A_{0}=-{3 \over 2}va,\ A_{1}={1 \over 4}Ua^{3}\ {\text{, etc.}}}$$$${\displaystyle C_{\text{d}}={12 \over \operatorname {Re} }\left(1+{3 \over 8}\operatorname {Re} \right)}$$$${\displaystyle F=6\pi \,\mu \,au\left(1+{3 \over 8}\operatorname {Re} \right),}$$

где:

• ${\displaystyle \mathrm {Re} =\rho ua/\mu }$— число Рейнольдса, основанное на радиусе сферы,${\displaystyle a}$
• ${\displaystyle F}$это гидродинамическая сила
• ${\displaystyle u}$скорость потока
• ${\displaystyle \mu \,}$вязкость жидкости

Сила из уравнения Озеена отличается от силы Стокса в раз$${\displaystyle 1+{3 \over 8}\mathrm {Re} .}$$

Уравнения для возмущения имеют вид: ^[7] но когда поле скорости имеет вид:$${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla u'&~=0\\u\cdot \nabla u'&~=-\nabla p+\nu \nabla ^{2}u',\end{aligned}}}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}u_{y}&=u\cos \theta \left({1+{a^{3} \over 2r^{3}}-{3a \over 2r}}\right)\\u_{z}&=-u\sin \theta \left({1-{a^{3} \over 4r^{3}}-{3a \over 4r}}\right).\end{aligned}}}$$

В дальнем поле ≫ 1 вязкое напряжение определяется последним членом. То есть:${\displaystyle {r \over a}}$$${\displaystyle \nabla ^{2}u'=O\left({a^{3} \over r^{3}}\right).}$$

В инерционном члене доминирует член:$${\displaystyle u{\partial u' \over \partial z_{1}}\sim O\left({a^{2} \over r^{2}}\right).}$$

Тогда ошибка определяется соотношением:$${\displaystyle u{{\partial u' \over \partial z_{1}} \over {\nu \nabla ^{2}u'}}=O\left({r \over a}\right).}$$

Это становится неограниченным для ≫ 1, поэтому инерцию нельзя игнорировать в дальней зоне. Принимая ротор, уравнение Стокса дает Поскольку тело является источником завихренности , станет неограниченным логарифмически для больших Это, безусловно, нефизично и известно как парадокс Стокса .${\displaystyle {r \over a}}$${\displaystyle \nabla ^{2}\zeta \,=0.}$${\displaystyle \zeta \,}$${\displaystyle {r \over a}.}$

Рассмотрим случай твердой сферы, движущейся в неподвижной жидкости с постоянной скоростью. Жидкость моделируется как несжимаемая жидкость (т.е. с постоянной плотностью ), и стационарность означает, что ее скорость стремится к нулю по мере того, как расстояние от сферы стремится к бесконечности.

Для реального тела будет наблюдаться переходный эффект из-за его ускорения в начале движения; однако через достаточное время он будет стремиться к нулю, так что скорость жидкости повсюду будет приближаться к той, которая получена в гипотетическом случае, когда тело уже движется в течение бесконечного времени.

Таким образом, мы предполагаем, что сфера радиуса a движется с постоянной скоростью в несжимаемой жидкости, которая находится в состоянии покоя на бесконечности. Мы будем работать в координатах , которые движутся вместе со сферой с центром координат, расположенным в центре сферы. Мы имеем:${\displaystyle {\vec {U}}}$${\displaystyle {\vec {x}}_{m}}$$${\displaystyle {\begin{aligned}{\vec {u}}\left(\left\|{{\vec {x}}_{m}}\right\|=a\right)&={\vec {U}}\\{\vec {u}}\left(\left\|{{\vec {x}}_{m}}\right\|\rightarrow \infty \right)&\rightarrow 0\end{aligned}}}$$

Поскольку эти граничные условия, а также уравнения движения, являются инвариантными во времени (т.е. они не изменяются при сдвиге времени ) при выражении в координатах, решение зависит от времени только через эти координаты.${\displaystyle t\rightarrow t+\Delta t}$${\displaystyle {\vec {x}}_{m}}$

Уравнения движения — это уравнения Навье-Стокса, определенные в неподвижной системе координат . В то время как пространственные производные равны в обеих системах координат, производная по времени, которая появляется в уравнениях, удовлетворяет: где производная берется по отношению к движущимся координатам . В дальнейшем мы опускаем индекс m .${\displaystyle {\vec {x}}={\vec {x}}_{m}-{\vec {U}}\cdot t}$$${\displaystyle {\frac {\partial {\vec {u}}\left({\vec {x}},t\right)}{\partial t}}=\sum _{i}{{\frac {d{x_{m}}_{i}}{dt}}{\frac {\partial {\vec {u}}\left({\vec {x}}_{m}\right)}{\partial {x_{m}}_{i}}}}=-\left({\vec {U}}\cdot {\vec {\nabla }}_{m}\right){\vec {u}}}$$${\displaystyle {\vec {\nabla }}_{m}}$${\displaystyle {\vec {x}}_{m}}$

Приближение Озеена сводится к пренебрежению нелинейным членом в . Таким образом, несжимаемые уравнения Навье-Стокса принимают вид: для жидкости с плотностью ρ и кинематической вязкостью ν = μ/ρ (μ — динамическая вязкость ). p — давление .${\displaystyle {\vec {u}}}$$${\displaystyle \left({\vec {U}}\cdot {\vec {\nabla }}\right){\vec {u}}+\nu \nabla ^{2}{\vec {u}}={\frac {1}{\rho }}{\vec {\nabla }}p}$$

В силу уравнения неразрывности для несжимаемой жидкости решение можно выразить с помощью векторного потенциала . Он оказывается направленным по направлению , а его величина эквивалентна функции тока, используемой в двумерных задачах. Оказывается: где — число Рейнольдса для потока, близкого к сфере.${\displaystyle {\vec {\nabla }}\cdot {\vec {u}}=0}$ ${\displaystyle {\vec {\psi }}}$${\displaystyle {\vec {\varphi }}}$$${\displaystyle {\begin{aligned}\psi &=Ua^{2}\left(-{\frac {a}{4r^{2}}}\sin \theta +3{\frac {1-\cos \theta }{r\sin \theta }}{\frac {1-e^{-{\frac {Rr}{4a}}(1+\cos \theta )}}{R}}\right)\\{\vec {u}}&={\vec {\nabla }}\times (\psi {\hat {\varphi }})={\frac {1}{r\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\left(\psi \sin \theta \right){\hat {r}}-{\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r\psi \right){\hat {\theta }}\end{aligned}}}$$${\displaystyle R=2aU/\nu }$

Обратите внимание, что в некоторых обозначениях заменяется на , так что вывод из более похож на его вывод из функции тока в двумерном случае (в полярных координатах).${\displaystyle \psi }$${\displaystyle \Psi =\psi \cdot r\sin \theta }$${\displaystyle {\vec {u}}}$${\displaystyle \Psi }$

${\displaystyle \psi }$можно выразить следующим образом:$${\displaystyle \psi =\psi _{1}+\psi _{2}-\psi _{2}e^{-kr(1+\cos \theta )}}$$

где: , так что .$${\displaystyle {\begin{aligned}\psi _{1}&\equiv -{\frac {Ua^{3}}{4r^{2}}}\sin \theta \\\psi _{2}&\equiv {\frac {3Ua^{2}}{Rr}}{\frac {1-\cos \theta }{\sin \theta }}\end{aligned}}}$$$${\displaystyle k\equiv {\frac {R}{4a}}}$$${\displaystyle {\frac {U}{2k}}={\frac {2Ua}{R}}=\nu }$

Векторный лапласиан вектора типа имеет вид : .${\displaystyle V(r,\theta ){\hat {\varphi }}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}&\nabla ^{2}\left(V(r,\theta ){\hat {\varphi }}\right)={\hat {\varphi }}\cdot \left(\nabla ^{2}-{\frac {1}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}\right)V(r,\theta )=\\&{\hat {\varphi }}\cdot \left[{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r^{2}{\frac {\partial }{\partial r}}V(r,\theta )\right)+{\frac {1}{r^{2}\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\left(\sin \theta {\frac {\partial }{\partial \theta }}V(r,\theta )\right)-{\frac {V(r,\theta )}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}\right]\end{aligned}}}$$

Таким образом, можно подсчитать, что:$${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla ^{2}\left(\psi _{1}{\hat {\varphi }}\right)&=0\\\nabla ^{2}\left(\psi _{2}{\hat {\varphi }}\right)&=0\end{aligned}}}$$

Поэтому:$${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla ^{2}{\vec {\psi }}&=-\nabla ^{2}\left(\psi _{2}e^{-kr(1+\cos \theta )}{\hat {\varphi }}\right)\\&=-\left(\psi _{2}\nabla ^{2}e^{-kr(1+\cos \theta )}+2{\frac {\partial \psi _{2}}{\partial r}}{\frac {\partial }{\partial r}}e^{-kr(1+\cos \theta )}+{\frac {2}{r^{2}}}{\frac {\partial \psi _{2}}{\partial \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}e^{-kr(1+\cos \theta )}\right){\hat {\varphi }}\\&=-{\frac {6Ua^{2}}{R}}\sin \theta \left({\frac {k^{2}}{r}}+{\frac {k}{r^{2}}}\right)e^{-kr(1+\cos \theta )}{\hat {\varphi }}\end{aligned}}}$$

Таким образом, завихренность равна:$${\displaystyle {\vec {\omega }}\equiv {\vec {\nabla }}\times {\vec {u}}=-\nabla ^{2}{\vec {\psi }}={\frac {6Ua^{2}}{R}}\sin \theta \left({\frac {k^{2}}{r}}+{\frac {k}{r^{2}}}\right)e^{-kr(1+\cos \theta )}{\hat {\varphi }}}$$

где мы использовали исчезновение дивергенции для связи векторного лапласиана и двойного ротора .${\displaystyle {\vec {\psi }}}$

Левая часть уравнения движения представляет собой ротор следующего уравнения:$${\displaystyle \left({\vec {U}}\cdot {\vec {\nabla }}\right){\vec {\psi }}+\nu \nabla ^{2}{\vec {\psi }}=\left({\vec {U}}\cdot {\vec {\nabla }}\right){\vec {\psi }}-\nu {\vec {\omega }}}$$

Мы вычисляем производную отдельно для каждого члена в .${\displaystyle \psi }$

Обратите внимание, что:$${\displaystyle {\vec {U}}=U\left(\cos \theta {\hat {r}}-\sin \theta {\hat {\theta }}\right)}$$

А также:$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial \psi _{2}}{\partial r}}&=-{\frac {1}{r}}\psi _{2}\\\sin \theta {\frac {\partial \psi _{2}}{\partial \theta }}&=\psi _{2}\end{aligned}}}$$

Таким образом, мы имеем:$${\displaystyle {\begin{aligned}\left({\vec {U}}\cdot {\vec {\nabla }}\right)\left(\psi _{1}{\hat {\varphi }}\right)&=U\left(\cos \theta {\frac {\partial \psi _{1}}{\partial r}}-{\frac {1}{r}}\sin \theta {\frac {\partial \psi _{1}}{\partial \theta }}\right){\hat {\varphi }}={\frac {3U^{2}a^{3}}{4r^{3}}}\sin \theta \cos \theta {\hat {\varphi }}\\\left({\vec {U}}\cdot {\vec {\nabla }}\right)\left(\psi _{2}{\hat {\varphi }}\right)&=U\left(\cos \theta {\frac {\partial \psi _{2}}{\partial r}}-{\frac {1}{r}}\sin \theta {\frac {\partial \psi _{2}}{\partial \theta }}\right){\hat {\varphi }}=-U{\frac {1}{r}}(1+\cos \theta )\psi _{2}{\hat {\varphi }}=-{\frac {3U^{2}a^{2}}{Rr^{2}}}\sin \theta {\hat {\varphi }}\\\left({\vec {U}}\cdot {\vec {\nabla }}\right)\left(-\psi _{2}e^{-kr(1+\cos \theta )}{\hat {\varphi }}\right)&=-e^{-kr(1+\cos \theta )}\left(\left({\vec {U}}\cdot {\vec {\nabla }}\right)\left(\psi _{2}{\hat {\varphi }})+\psi _{2}\left({\vec {U}}\cdot {\vec {\nabla }}\right)\left(-kr(1+\cos \theta \right){\hat {\varphi }}\right)\right)\\&=U\psi _{2}e^{-kr(1+\cos \theta )}\left({\frac {1}{r}}(1+\cos \theta )+\cos \theta {\frac {\partial (kr(1+\cos \theta ))}{\partial r}}-{\frac {1}{r}}\sin \theta {\frac {\partial (kr(1+\cos \theta ))}{\partial \theta }}\right){\hat {\varphi }}\\&=U\psi _{2}(1+\cos \theta )\left({\frac {1}{r}}+k\right)e^{-kr(1+\cos \theta )}{\hat {\varphi }}={\frac {3U^{2}a^{2}}{R}}\sin \theta \left({\frac {1}{r^{2}}}+{\frac {k}{r}}\right)e^{-kr(1+\cos \theta )}{\hat {\varphi }}\\&={\frac {U}{2k}}{\vec {\omega }}=\nu {\vec {\omega }}\end{aligned}}}$$

Объединяя все термины, имеем:$${\displaystyle \left({\vec {U}}\cdot {\vec {\nabla }}\right){\vec {\psi }}+\nu \nabla ^{2}{\vec {\psi }}=\left({\frac {3U^{2}a^{3}}{4r^{3}}}\sin \theta \cos \theta -{\frac {3U^{2}a^{2}}{Rr^{2}}}\sin \theta \right){\hat {\varphi }}}$$

Взяв ротор, мы находим выражение, которое равно умноженному на градиент следующей функции, которая является давлением:${\displaystyle 1/\rho }$$${\displaystyle p=p_{0}-{\frac {3\mu Ua}{2r^{2}}}\cos \theta +{\frac {\rho U^{2}a^{3}}{4r^{3}}}\left(3\cos ^{2}\theta -1\right)}$$

где - давление на бесконечности, - полярный угол, исходящий с противоположной стороны от передней точки торможения ( где - передняя точка торможения).${\displaystyle p_{0}}$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle \theta =\pi }$

Кроме того, скорость выводится путем взятия ротора :${\displaystyle {\vec {\psi }}}$$${\displaystyle {\vec {u}}=U\left[-{\frac {a^{3}}{2r^{3}}}\cos \theta +{\frac {3a^{2}}{Rr^{2}}}-{\frac {3a^{2}}{R}}\left({\frac {1}{r^{2}}}+{\frac {k}{r}}[1-\cos \theta ]\right)e^{-kr(1+\cos \theta )}\right]{\hat {r}}-U\left[{\frac {a^{3}}{4r^{3}}}\sin \theta +{\frac {3a^{2}}{Rr}}k\sin \theta e^{-kr(1+\cos \theta )}\right]{\hat {\theta }}}$$

Эти p и u удовлетворяют уравнению движения и, таким образом, составляют решение приближения Озеена.

Однако можно задаться вопросом, был ли поправочный член выбран случайно, поскольку в системе отсчета, движущейся вместе со сферой, жидкость вблизи сферы почти покоится, и в этой области инерционная сила пренебрежимо мала, и уравнение Стокса вполне обосновано. ^[6] Вдали от сферы скорость потока приближается к u , и приближение Озеена более точно. ^[6] Но уравнение Озеена было получено путем применения уравнения для всего поля потока. На этот вопрос ответили Праудман и Пирсон в 1957 году, ^[8] которые решили уравнения Навье-Стокса и дали улучшенное решение Стокса в окрестности сферы и улучшенное решение Озеена на бесконечности, и сопоставили два решения в предполагаемой общей области их применимости. Они получили:

$${\displaystyle F=6\pi \,\mu \,aU\left(1+{3 \over 8}\operatorname {Re} +{9 \over 40}\operatorname {Re} ^{2}\ln \operatorname {Re} +{\mathcal {O}}\left(\operatorname {Re} ^{2}\right)\right).}$$

Метод и формулировка для анализа потока при очень низком числе Рейнольдса важны. Медленное движение мелких частиц в жидкости распространено в биоинженерии . Формулировка Озеена может использоваться в связи с потоком жидкостей в различных особых условиях, таких как: содержание частиц, осаждение частиц, центрифугирование или ультрацентрифугирование суспензий, коллоидов и крови посредством изоляции опухолей и антигенов. ^[6] Жидкость даже не обязательно должна быть жидкостью, а частицы не обязательно должны быть твердыми. Ее можно использовать в ряде приложений, таких как образование смога и распыление жидкостей.

Кровоток в мелких сосудах, таких как капилляры , характеризуется малыми числами Рейнольдса и Вомерсли . Сосуд диаметром 10 мкм с потоком 1 миллиметр/секунду , вязкостью 0,02 пуаз для крови, плотностью 1 г/см3 ^и частотой сердечных сокращений 2 Гц будет иметь число Рейнольдса 0,005 и число Вомерсли 0,0126. При этих малых числах Рейнольдса и Вомерсли вязкие эффекты жидкости становятся преобладающими. Понимание движения этих частиц имеет важное значение для доставки лекарств и изучения метастазирования раковых заболеваний.