Конечная скорость

This article needs additional citations for verification. Please help improve this article by adding citations to reliable sources in this article. Unsourced material may be challenged and removed. Find sources: "Terminal velocity" – news · newspapers · books · scholar · JSTOR (March 2012) (Learn how and when to remove this message)

Конечная скорость — это максимальная скорость, достигаемая объектом при падении в жидкости ( наиболее распространенным примером является воздух ). Она достигается, когда сумма силы сопротивления ( F _d ) и выталкивающей силы равна силе тяжести, направленной вниз ( F _G ), действующей на объект. Поскольку результирующая сила на объекте равна нулю, объект имеет нулевое ускорение . ^{[1] [2]} Для объектов, падающих в воздухе при нормальном давлении, выталкивающая сила обычно игнорируется и не принимается во внимание, поскольку ее влияние незначительно. ^{[ необходима цитата ]}

По мере увеличения скорости объекта увеличивается и сила сопротивления, действующая на него, которая также зависит от вещества, через которое он проходит (например, воздух или вода). На некоторой скорости сопротивление или сила сопротивления будут равны гравитационному притяжению объекта. В этот момент объект прекращает ускоряться и продолжает падать с постоянной скоростью, называемой конечной скоростью (также называемой скоростью осаждения ).

Объект, движущийся вниз быстрее конечной скорости (например, потому что он был брошен вниз, упал из более тонкой части атмосферы или изменил форму), будет замедляться до тех пор, пока не достигнет конечной скорости. Сопротивление зависит от проецируемой площади , здесь представленной поперечным сечением или силуэтом объекта в горизонтальной плоскости.

Объект с большой проекцией площади относительно его массы, такой как парашют, имеет меньшую конечную скорость, чем объект с малой проекцией площади относительно его массы, такой как дротик. В общем, для той же формы и материала конечная скорость объекта увеличивается с размером. Это происходит потому, что направленная вниз сила (вес) пропорциональна кубу линейного размера, но сопротивление воздуха приблизительно пропорционально площади поперечного сечения, которая увеличивается только как квадрат линейного размера.

Для очень маленьких объектов, таких как пыль и туман, конечная скорость легко преодолевается конвекционными потоками, которые могут вообще не дать им достичь земли, и, следовательно, они могут оставаться подвешенными в воздухе в течение неопределенного времени. Примерами являются загрязнение воздуха и туман.

Например, исходя из сопротивления воздуха, конечная скорость парашютиста в положении свободного падения животом к земле (т. е. лицом вниз) составляет около 55 м/с (180 футов/с). ^[3] Эта скорость является асимптотическим предельным значением скорости, и силы, действующие на тело, уравновешивают друг друга все больше и больше по мере приближения к конечной скорости. В этом примере скорость в 50% от конечной скорости достигается всего за 3 секунды, в то время как для достижения 90% требуется 8 секунд, для достижения 99% — 15 секунд и так далее.

Более высокие скорости могут быть достигнуты, если парашютист подтянет конечности (см. также свободный полет ). В этом случае конечная скорость увеличивается примерно до 90 м/с (300 футов/с), ^[3] что почти равно конечной скорости пикирующего на добычу сокола-сапсана . ^[4] Такая же конечная скорость достигается для типичной пули .30-06, падающей вниз — когда она возвращается на землю после выстрела вверх или падения с башни — согласно исследованию Армии США 1920 года. ^[5]

Парашютисты, участвующие в соревнованиях по скоростному прыжку, летают в положении головой вниз и могут развивать скорость до 150 м/с (490 футов/с). ^{[ требуется ссылка ]} Текущий рекорд принадлежит Феликсу Баумгартнеру , который прыгнул с высоты 38 887 м (127 582 фута) и достиг скорости 380 м/с (1200 футов/с), хотя он достиг этой скорости на большой высоте, где плотность воздуха намного ниже, чем у поверхности Земли, что создает соответственно меньшую силу сопротивления. ^[6]

Биолог Дж. Б. С. Холдейн писал:

Для мыши и любого более мелкого животного [гравитация] практически не представляет опасности. Вы можете бросить мышь в шахту глубиной в тысячу ярдов; и, достигнув дна, она получит легкий шок и уйдет. Крыса будет убита, человек сломан, лошадь разобьется. Ибо сопротивление, оказываемое движению воздухом, пропорционально поверхности движущегося объекта. Разделите длину, ширину и высоту животного на десять; его вес уменьшится до одной тысячной, но его поверхность только до одной сотой. Таким образом, сопротивление падению в случае небольшого животного относительно в десять раз больше движущей силы. ^[7]

Используя математические термины, конечная скорость — без учета эффектов плавучести — определяется выражением, где$${\displaystyle V_{t}={\sqrt {\frac {2mg}{\rho AC_{d}}}}}$$

• ${\displaystyle V_{t}}$представляет конечную скорость,
• ${\displaystyle m}$масса падающего объекта ,
• ${\displaystyle g}$это ускорение свободного падения ,
• ${\displaystyle C_{d}}$- коэффициент лобового сопротивления ,
• ${\displaystyle \rho }$это плотность жидкости, через которую падает объект, и
• ${\displaystyle A}$это проецируемая площадь объекта. ^[8]

В действительности объект приближается к своей конечной скорости асимптотически .

Эффекты плавучести, вызванные направленной вверх силой, действующей на объект окружающей жидкостью, можно учесть, используя закон Архимеда : масса должна быть уменьшена на массу вытесненной жидкости с объемом объекта. Поэтому вместо этого используйте приведенную массу в этой и последующих формулах.${\displaystyle m}$${\displaystyle \rho V}$${\displaystyle V}$${\displaystyle m}$${\displaystyle m_{r}=m-\rho V}$

Конечная скорость объекта изменяется из-за свойств жидкости, массы объекта и его проецируемой площади поперечного сечения .

Плотность воздуха увеличивается с уменьшением высоты, примерно на 1% на каждые 80 метров (260 футов) (см. барометрическую формулу ). Для объектов, падающих через атмосферу, на каждые 160 метров (520 футов) падения конечная скорость уменьшается на 1%. После достижения локальной конечной скорости, при продолжении падения, скорость уменьшается , изменяясь вместе с локальной конечной скоростью.

Используя математические термины и определяя силу падения как положительную, можно сказать, что результирующая сила, действующая на объект, падающий вблизи поверхности Земли, равна (согласно уравнению сопротивления ):

$${\displaystyle F_{\text{net}}=ma=mg-{\frac {1}{2}}\rho v^{2}AC_{d},}$$

где v ( t ) — скорость объекта как функция времени t .

В состоянии равновесия чистая сила равна нулю ( F _net = 0) ^[9] , а скорость становится конечной скоростью lim _{t →∞} v ( t ) = V _t :

$${\displaystyle mg-{1 \over 2}\rho V_{t}^{2}AC_{d}=0.}$$

Решение для V _t дает:

${\displaystyle V_{t}={\sqrt {\frac {2mg}{\rho AC_{d}}}}.}$

( 5 )

Уравнение сопротивления имеет вид, предполагая, что ρ , g и C _d являются константами:$${\displaystyle ma=m{\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} t}}=mg-{\frac {1}{2}}\rho v^{2}AC_{d}.}$$

Хотя это уравнение Риккати , которое можно решить путем сведения к линейному дифференциальному уравнению второго порядка, в нем проще разделить переменные .

Более практичную форму этого уравнения можно получить, сделав замену α ² = ⁠ρAC _д/2 мг⁠ .

Разделив обе части на m, получаем$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} t}}=g\left(1-\alpha ^{2}v^{2}\right).}$$

Уравнение можно переписать так:$${\displaystyle \mathrm {d} t={\frac {\mathrm {d} v}{g(1-\alpha ^{2}v^{2})}}.}$$

Взяв интеграл от обеих сторон, получаем$${\displaystyle \int _{0}^{t}{\mathrm {d} t'}={1 \over g}\int _{0}^{v}{\frac {\mathrm {d} v'}{1-\alpha ^{2}v^{\prime 2}}}.}$$

После интеграции это становится$${\displaystyle t-0={1 \over g}\left[{\ln(1+\alpha v') \over 2\alpha }-{\frac {\ln(1-\alpha v')}{2\alpha }}+C\right]_{v'=0}^{v'=v}={1 \over g}\left[{\ln {\frac {1+\alpha v'}{1-\alpha v'}} \over 2\alpha }+C\right]_{v'=0}^{v'=v}}$$

или в более простой форме с помощью artanh — функции обратного гиперболического тангенса .$${\displaystyle t={1 \over 2\alpha g}\ln {\frac {1+\alpha v}{1-\alpha v}}={\frac {\mathrm {artanh} (\alpha v)}{\alpha g}},}$$

Альтернативно, с tanh — функцией гиперболического тангенса . Предполагая, что g положительно (что и было определено), и подставляя α обратно, скорость v становится$${\displaystyle {\frac {1}{\alpha }}\tanh(\alpha gt)=v,}$$$${\displaystyle v={\sqrt {\frac {2mg}{\rho AC_{d}}}}\tanh \left(t{\sqrt {\frac {g\rho AC_{d}}{2m}}}\right).}$$

Используя формулу для конечной скорости, уравнение можно переписать как$${\displaystyle V_{t}={\sqrt {\frac {2mg}{\rho AC_{d}}}}}$$$${\displaystyle v=V_{t}\tanh \left(t{\frac {g}{V_{t}}}\right).}$$

По мере того как время стремится к бесконечности ( t → ∞), гиперболический тангенс стремится к 1, что приводит к конечной скорости$${\displaystyle V_{t}=\lim _{t\to \infty }v(t)={\sqrt {\frac {2mg}{\rho AC_{d}}}}.}$$

При очень медленном движении жидкости силы инерции жидкости пренебрежимо малы (предположение о безмассовости жидкости) по сравнению с другими силами. Такие потоки называются ползучими или стоксовыми потоками , а условием, которому должно удовлетворять течение, чтобы оно было ползучим, является число Рейнольдса , . Уравнение движения для ползучего течения (упрощенное уравнение Навье–Стокса ) имеет вид:${\displaystyle Re\ll 1}$

$${\displaystyle {\mathbf {\nabla } }p=\mu \nabla ^{2}{\mathbf {v} }}$$

где:

• ${\displaystyle \mathbf {v} }$- векторное поле скорости жидкости,
• ${\displaystyle p}$это поле давления жидкости,
• ${\displaystyle \mu }$вязкость жидкости .

Аналитическое решение для ползучего потока вокруг сферы было впервые дано Стоксом в 1851 году. ^[10] Из решения Стокса силу сопротивления, действующую на сферу диаметром, можно получить как${\displaystyle d}$

${\displaystyle D=3\pi \mu dV\qquad {\text{or}}\qquad C_{d}={\frac {24}{Re}}}$

( 6 )

где число Рейнольдса, . Выражение для силы сопротивления, заданное уравнением ( 6 ), называется законом Стокса .${\displaystyle Re={\frac {\rho d}{\mu }}V}$

Подставив значение в уравнение ( 5 ), получим выражение для конечной скорости сферического объекта, движущегося в условиях ползучего течения: ^[11]${\displaystyle C_{d}}$

$${\displaystyle V_{t}={\frac {gd^{2}}{18\mu }}\left(\rho _{s}-\rho \right),}$$где - плотность объекта.${\displaystyle \rho _{s}}$

Результаты ползучего течения могут быть использованы для изучения осаждения осадков вблизи дна океана и падения капель влаги в атмосфере. Принцип также применяется в вискозиметре с падающей сферой , экспериментальном устройстве, используемом для измерения вязкости высоковязких жидкостей, например, нефти, парафина, смолы и т. д.

Если принять во внимание эффекты плавучести, то объект, падающий сквозь жидкость под собственным весом, может достичь конечной скорости (скорости осаждения), если чистая сила, действующая на объект, станет равной нулю. Когда достигается конечная скорость, вес объекта точно уравновешивается направленной вверх силой плавучести и силой сопротивления. То есть

${\displaystyle W=F_{b}+D}$

( 1 )

где

• ${\displaystyle W}$это вес объекта,
• ${\displaystyle F_{b}}$- это выталкивающая сила, действующая на объект, и
• ${\displaystyle D}$— это сила сопротивления, действующая на объект.

Если падающий объект имеет сферическую форму, то выражение для трех сил приводится ниже:

${\displaystyle W={\frac {\pi }{6}}d^{3}\rho _{s}g,}$

( 2 )

${\displaystyle F_{b}={\frac {\pi }{6}}d^{3}\rho g,}$

( 3 )

${\displaystyle D=C_{d}{\frac {1}{2}}\rho V^{2}A,}$

( 4 )

где

• ${\displaystyle d}$диаметр сферического объекта,
• ${\displaystyle g}$это ускорение свободного падения,
• ${\displaystyle \rho }$плотность жидкости,
• ${\displaystyle \rho _{s}}$это плотность объекта,
• ${\displaystyle A={\frac {1}{4}}\pi d^{2}}$- проецируемая площадь сферы,
• ${\displaystyle C_{d}}$- коэффициент лобового сопротивления, а
• ${\displaystyle V}$— характеристическая скорость (принимаемая за конечную скорость, ).${\displaystyle V_{t}}$

Подстановка уравнений ( 2 – 4 ) в уравнение ( 1 ) и решение для конечной скорости дает следующее выражение :${\displaystyle V_{t}}$

${\displaystyle V_{t}={\sqrt {{\frac {4gd}{3C_{d}}}\left({\frac {\rho _{s}-\rho }{\rho }}\right)}}.}$

( 5 )

В уравнении ( 1 ) предполагается, что объект плотнее жидкости. Если нет, знак силы сопротивления должен быть отрицательным, поскольку объект будет двигаться вверх, против силы тяжести. Примерами являются пузырьки, образующиеся на дне бокала с шампанским, и гелиевые шары. Конечная скорость в таких случаях будет иметь отрицательное значение, соответствующее скорости подъема.

• Закон Стокса
• Терминальная баллистика

• Интерактивный инструмент для определения предельной скорости — сайт NASA, руководство для начинающих по аэронавтике
• Видео с борта твердотопливных ракетных ускорителей космического челнока, быстро снижающих скорость до предельной скорости при входе в более плотные слои атмосферы, от 2900 миль в час (3,8 Маха) в 5:15 на видео до 220 миль в час в 6:45, когда через 90 секунд раскрываются парашюты — видео и звук НАСА, @ io9.com.
• Конечная скорость осаждения сферы при всех реалистичных числах Рейнольдса, согласно подходу таблиц Хейвуда.