Изотоксальная фигура

В геометрии многогранник (например, многоугольник или многогранник ) или мозаика является изотоксальной (от греч. τόξον «  дуга») или рёберно-транзитивной , если его симметрии действуют транзитивно на его рёбрах . Неформально это означает, что у объекта есть только один тип рёбер: если даны два рёбра, то существует трансляция , вращение и/или отражение , которые переместят одно ребро к другому, оставляя область, занимаемую объектом, неизменной.

Изотоксальный многоугольник - это четный многоугольник, т.е. равносторонний многоугольник , но не все равносторонние многоугольники изотоксальны. Двойственные изотоксальным многоугольникам многоугольники - это изогональные многоугольники . Изотоксальные -гоны центрально симметричны , поэтому также являются зоногонами .${\displaystyle 4n}$

В общем случае (неправильный) изотоксальный -угольник имеет двугранную симметрию . Например, (неквадратный) ромб является изотоксальным " × -угольником" (четырехугольником) с симметрией. Все правильные -угольники (также с нечетным ) являются изотоксальными, имея двойной минимальный порядок симметрии: правильный -угольник имеет двугранную симметрию.${\displaystyle 2n}$${\displaystyle \mathrm {D} _{n},(^{*}nn)}$ ${\displaystyle 2}$${\displaystyle 2}$${\displaystyle \mathrm {D} _{2},(^{*}22)}$${\displaystyle {\color {королевскийсиний}n}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \mathrm {D} _{n},(^{*}nn)}$

Изотоксальный -угольник с внешним внутренним углом можно обозначить как Внутренний внутренний угол может быть меньше или больше, что делает многоугольники выпуклыми или вогнутыми соответственно.${\displaystyle {\mathbf {2}}n}$${\displaystyle \альфа}$${\displaystyle \{n_{\альфа}\}.}$${\displaystyle (\бета)}$${\displaystyle 180}$${\displaystyle {\color {royalblue}^{\mathsf {o}}},}$

Звездчатый треугольник${\displaystyle {\color {королевскийсиний}{\mathbf {2}}n}}$ также может быть изотоксальным, обозначаемым с и с наибольшим общим делителем, где - число поворотов или плотность . ^[1] Вогнутые внутренние вершины могут быть определены для Если то " сводится" к соединению повернутых копий${\displaystyle \{(n/q)_{\альфа }\},}$${\displaystyle q\leq n-1}$ ${\displaystyle \НОД(n,q)=1,}$${\displaystyle д}$${\displaystyle q<n/2.}$${\displaystyle D=\НОД(n,q)\geq 2,}$${\displaystyle \{(n/q)_{\alpha }\}=\{(Dm/Dp)_{\alpha }\}}$${\displaystyle D\{(м/п)_{\альфа }\}}$${\displaystyle D}$${\displaystyle \{(м/п)_{\альфа }\}.}$

Осторожность:

Вершины не всегда размещены так же, как вершины , тогда как вершины правильного многогранника размещены так же, как вершины правильного многогранника${\displaystyle \{(n/q)_{\альфа }\}}$${\displaystyle \{n_{\альфа}\},}$${\displaystyle \{н/д\}}$${\displaystyle \{н\}.}$

Можно определить набор «однородных» мозаик , на самом деле изогональных мозаик, использующих изотоксальные многоугольники в качестве менее симметричных граней, чем правильные.

Примеры нерегулярных изотоксальных многоугольников и соединений

Количество сторон:${\displaystyle 2n}$	2×2 (Сент. симм.)	2×3	2×4 (Сент. симм.)	2×5	2×6 (Столетняя симметрия)	2×7	2×8 (Столетняя симметрия)
${\displaystyle \{n_{\альфа}\}}$ Выпуклый: Вогнутый: ${\displaystyle \beta <180^{\circ }.}$ ${\displaystyle \beta >180^{\circ }.}$	${\displaystyle \{2_{\альфа }\}}$	${\displaystyle \{3_{\альфа }\}}$	${\displaystyle \{4_{\alpha }\}}$	${\displaystyle \{5_{\альфа }\}}$	${\displaystyle \{6_{\альфа }\}}$	${\displaystyle \{7_{\альфа }\}}$	${\displaystyle \{8_{\альфа }\}}$
2-оборотный ${\displaystyle \{(n/2)_{\альфа }\}}$	--	${\displaystyle \{(3/2)_{\alpha }\}}$	${\displaystyle 2\{2_{\альфа }\}}$	${\ displaystyle \ {(5/2) _ {\ альфа } \}}$	${\displaystyle 2\{3_{\альфа }\}}$	${\ displaystyle \ {(7/2) _ {\ альфа } \}}$	${\displaystyle 2\{4_{\альфа }\}}$
3-оборотный ${\displaystyle \{(n/3)_{\альфа }\}}$	--	--	${\displaystyle \{(4/3)_{\alpha }\}}$	${\displaystyle \{(5/3)_{\alpha }\}}$	${\displaystyle 3\{2_{\альфа }\}}$	${\displaystyle \{(7/3)_{\alpha }\}}$	${\displaystyle \{(8/3)_{\alpha }\}}$
4-оборотный ${\displaystyle \{(n/4)_{\альфа }\}}$	--	--	--	${\displaystyle \{(5/4)_{\alpha }\}}$	${\displaystyle 2\{(3/2)_{\альфа }\}}$	${\displaystyle \{(7/4)_{\alpha }\}}$	${\displaystyle 4\{2_{\альфа }\}}$
5-оборотный ${\displaystyle \{(n/5)_{\альфа }\}}$	--	--	--	--	${\displaystyle \{(6/5)_{\alpha }\}}$	${\displaystyle \{(7/5)_{\alpha }\}}$	${\displaystyle \{(8/5)_{\alpha }\}}$
6-оборотный ${\displaystyle \{(n/6)_{\альфа }\}}$	--	--	--	--	--	${\displaystyle \{(7/6)_{\alpha }\}}$	${\displaystyle 2\{(4/3)_{\alpha }\}}$
7-оборотный ${\displaystyle \{(n/7)_{\альфа }\}}$	--	--	--	--	--	--	${\ displaystyle \ {(8/7) _ {\ альфа } \}}$

Правильные многогранники бывают равногранными (гране-транзитивными), равноугольными (вершинно-транзитивными) и равноугольными (ребро-транзитивными).

Квазиправильные многогранники, такие как кубооктаэдр и икосододекаэдр , являются изогональными и изотоксальными, но не изоэдральными. Их двойственные, включая ромбододекаэдр и ромботриаконтаэдр , являются изоэдральными и изотоксальными, но не изогональными.

Примеры

Квазиправильный многогранник	Квазиправильный двойственный многогранник	Квазиправильный звездчатый многогранник	Квазиправильный двойной звездчатый многогранник	Квазирегулярная мозаика	Квазирегулярная двойная мозаика
Кубооктаэдр — это изогональный и изотоксальный многогранник .	Ромбический додекаэдр — это равногранный и изотоксальный многогранник.	Большой икосододекаэдр — это изогональный и изотоксальный звездчатый многогранник.	Большой ромбический триаконтаэдр — равногранный и изотоксальный звездчатый многогранник.	Тригексагональная мозаика является изогональной и изотоксальной мозаикой.	Ромбическая мозаика является равногранной и изотоксальной мозаикой с симметрией p6m (*632).

Не каждый многогранник или двумерная мозаика, построенная из правильных многоугольников, является изотоксальной. Например, усеченный икосаэдр (знакомый футбольный мяч) не является изотоксальной, поскольку имеет два типа ребер: шестиугольник-шестиугольник и шестиугольник-пятиугольник, и симметрия тела не может переместить ребро шестиугольник-шестиугольник на ребро шестиугольник-пятиугольник.

Изотоксальный многогранник имеет одинаковый двугранный угол для всех ребер.

Двойственный выпуклому многограннику многогранник также является выпуклым многогранником. ^[2]

Двойственный многогранник невыпуклого многогранника также является невыпуклым многогранником. ^[2] (По принципу противопоставления.)

Двойственный многогранник изотоксального многогранника также является изотоксальным многогранником. (См. статью Двойственный многогранник .)

Существует девять выпуклых изотоксальных многогранников: пять ( правильных ) Платоновых тел , два ( квазиправильных ) общих ядра двойственных Платоновых тел и два их двойственных.

Существует четырнадцать невыпуклых изотоксальных многогранников: четыре (правильных) многогранника Кеплера–Пуансо , два (квазиправильных) общих ядра двойственных многогранников Кеплера–Пуансо и два их двойственных, а также три квазиправильных дитригональных (3 | pq ) звездчатых многогранника и три их двойственных.

Существует по крайней мере пять изотоксальных полиэдрических соединений: пять правильных полиэдрических соединений ; их пять дуальных соединений также являются пятью правильными полиэдрическими соединениями (или одним хиральным близнецом).

Существует по крайней мере пять изотоксальных многоугольных мозаик евклидовой плоскости и бесконечно много изотоксальных многоугольных мозаик гиперболической плоскости, включая конструкции Витхоффа из правильных гиперболических мозаик { p , q } и неправильных ( pqr ) групп.

• Таблица двугранных углов многогранника
• Вершинно-транзитивный
• Лицо-транзитивный
• Клеточно-транзитивный

• Питер Р. Кромвель, Многогранники , Cambridge University Press, 1997, ISBN 0-521-55432-2 , Транзитивность, стр. 371 
• Грюнбаум, Бранко ; Шепард, GC (1987). Tilings and Patterns . Нью-Йорк: WH Freeman. ISBN 0-7167-1193-1.(6.4 Изотоксальные мозаики, стр. 309–321)
• Коксетер, Гарольд Скотт Макдональд ; Лонге-Хиггинс, М.С.; Миллер, JCP (1954), «Однородные многогранники», Philosophical Transactions of the Royal Society of London. Серия A. Математические и физические науки , 246 (916): 401– 450, Bibcode : 1954RSPTA.246..401C, doi : 10.1098/rsta.1954.0003, ISSN  0080-4614, JSTOR  91532, MR  0062446, S2CID  202575183