Соотношения векторной алгебры

Ниже приведены важные тождества в векторной алгебре . Тождества, которые включают только величину вектора и скалярное произведение (скалярное произведение) двух векторов A · B , применяются к векторам в любом измерении, в то время как тождества, которые используют векторное произведение (векторное произведение) A × B, применяются только в трех измерениях, поскольку векторное произведение определено только там. ^{[nb 1] [1]} Большинство этих соотношений можно датировать основателем векторного исчисления Джозайей Уиллардом Гиббсом , если не раньше. ^[2]${\displaystyle \|\mathbf {A} \|}$

Величину вектора А можно выразить с помощью скалярного произведения:

${\displaystyle \|\mathbf {A} \|^{2}=\mathbf {A\cdot A} }$

В трехмерном евклидовом пространстве величина вектора определяется по его трем компонентам с помощью теоремы Пифагора :

${\displaystyle \|\mathbf {A} \|^{2}=A_{1}^{2}+A_{2}^{2}+A_{3}^{2}}$

• Неравенство Коши– Шварца :${\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {B} \leq \left\|\mathbf {A} \right\|\left\|\mathbf {B} \right\|}$
• Неравенство треугольника :${\displaystyle \|\mathbf {A+B} \|\leq \|\mathbf {A} \|+\|\mathbf {B} \|}$
• Обратное неравенство треугольника :${\displaystyle \|\mathbf {A-B} \|\geq {\Bigl |}\|\mathbf {A} \|-\|\mathbf {B} \|{\Bigr |}}$

Вектор и скалярное произведение двух векторов определяют угол между ними, например θ : ^{[1] [3]}

${\displaystyle \sin \theta ={\frac {\|\mathbf {A} \times \mathbf {B} \|}{\left\|\mathbf {A} \right\|\left\|\mathbf {B} \right\|}}\quad (-\pi <\theta \leq \pi )}$

Чтобы удовлетворить правилу правой руки , для положительного θ вектор B направлен против часовой стрелки от A , а для отрицательного θ — по часовой стрелке.

${\displaystyle \cos \theta ={\frac {\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} }{\left\|\mathbf {A} \right\|\left\|\mathbf {B} \right\|}}\quad (-\pi <\theta \leq \pi )}$

Тригонометрическое тождество Пифагора дает :

${\displaystyle \left\|\mathbf {A\times B} \right\|^{2}+(\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} )^{2}=\left\|\mathbf {A} \right\|^{2}\left\|\mathbf {B} \right\|^{2}}$

Если вектор A = ( A _x , A _y , A _z ) образует углы α , β , γ с ортогональным набором осей x , y и z , то:

${\displaystyle \cos \alpha ={\frac {A_{x}}{\sqrt {A_{x}^{2}+A_{y}^{2}+A_{z}^{2}}}}={\frac {A_{x}}{\|\mathbf {A} \|}}\ ,}$

и аналогично для углов β, γ. Следовательно:

${\displaystyle \mathbf {A} =\left\|\mathbf {A} \right\|\left(\cos \alpha \ {\hat {\mathbf {i} }}+\cos \beta \ {\hat {\mathbf {j} }}+\cos \gamma \ {\hat {\mathbf {k} }}\right),}$

с единичными векторами вдоль направлений осей.${\displaystyle {\hat {\mathbf {i} }},\ {\hat {\mathbf {j} }},\ {\hat {\mathbf {k} }}}$

Площадь Σ параллелограмма со сторонами A и B, содержащего угол θ, равна:

${\displaystyle \Sigma =AB\sin \theta ,}$

что будет распознаваться как величина векторного произведения векторов A и B, лежащих вдоль сторон параллелограмма. То есть:

${\displaystyle \Sigma =\left\|\mathbf {A} \times \mathbf {B} \right\|={\sqrt {\left\|\mathbf {A} \right\|^{2}\left\|\mathbf {B} \right\|^{2}-\left(\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} \right)^{2}}}\ .}$

(Если A , B — двумерные векторы, то это равно определителю матрицы 2 × 2 со строками A , B. ) Квадрат этого выражения равен: ^[4]

${\displaystyle \Sigma ^{2}=(\mathbf {A\cdot A} )(\mathbf {B\cdot B} )-(\mathbf {A\cdot B} )(\mathbf {B\cdot A} )=\Gamma (\mathbf {A} ,\ \mathbf {B} )\ ,}$

где Γ( A , B ) — определитель Грама для A и B, определяемый формулой:

${\displaystyle \Gamma (\mathbf {A} ,\ \mathbf {B} )={\begin{vmatrix}\mathbf {A\cdot A} &\mathbf {A\cdot B} \\\mathbf {B\cdot A} &\mathbf {B\cdot B} \end{vmatrix}}\ .}$

Аналогичным образом, квадрат объема V параллелепипеда , натянутого на три векторы A , B , C, задается определителем Грама трех векторов: ^[4]

${\displaystyle V^{2}=\Gamma (\mathbf {A} ,\ \mathbf {B} ,\ \mathbf {C} )={\begin{vmatrix}\mathbf {A\cdot A} &\mathbf {A\cdot B} &\mathbf {A\cdot C} \\\mathbf {B\cdot A} &\mathbf {B\cdot B} &\mathbf {B\cdot C} \\\mathbf {C\cdot A} &\mathbf {C\cdot B} &\mathbf {C\cdot C} \end{vmatrix}}\ ,}$

Поскольку A , B, C являются трехмерными векторами, это равно квадрату скалярного тройного произведения, представленного ниже.${\displaystyle \det[\mathbf {A} ,\mathbf {B} ,\mathbf {C} ]=|\mathbf {A} ,\mathbf {B} ,\mathbf {C} |}$

Этот процесс можно распространить на n -мерное пространство.

• Коммутативность сложения: .${\displaystyle \mathbf {A} +\mathbf {B} =\mathbf {B} +\mathbf {A} }$
• Коммутативность скалярного произведения: .${\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =\mathbf {B} \cdot \mathbf {A} }$
• Антикоммутативность векторного произведения: .${\displaystyle \mathbf {A} \times \mathbf {B} =\mathbf {-} (\mathbf {B} \times \mathbf {A} )}$
• Распределимость умножения на скаляр относительно сложения: .${\displaystyle c(\mathbf {A} +\mathbf {B} )=c\mathbf {A} +c\mathbf {B} }$
• Распределимость скалярного произведения по сложению: .${\displaystyle \left(\mathbf {A} +\mathbf {B} \right)\cdot \mathbf {C} =\mathbf {A} \cdot \mathbf {C} +\mathbf {B} \cdot \mathbf {C} }$
• Распределимость векторного произведения по сложению: .${\displaystyle (\mathbf {A} +\mathbf {B} )\times \mathbf {C} =\mathbf {A} \times \mathbf {C} +\mathbf {B} \times \mathbf {C} }$
• Скалярное тройное произведение :$${\displaystyle \mathbf {A} \cdot (\mathbf {B} \times \mathbf {C} )=\mathbf {B} \cdot (\mathbf {C} \times \mathbf {A} )=\mathbf {C} \cdot (\mathbf {A} \times \mathbf {B} )=|\mathbf {A} \,\mathbf {B} \,\mathbf {C} |={\begin{vmatrix}A_{x}&B_{x}&C_{x}\\A_{y}&B_{y}&C_{y}\\A_{z}&B_{z}&C_{z}\end{vmatrix}}.}$$
• Тройное векторное произведение : .${\displaystyle \mathbf {A} \times (\mathbf {B} \times \mathbf {C} )=(\mathbf {A} \cdot \mathbf {C} )\mathbf {B} -(\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} )\mathbf {C} }$
• Тождество Якоби :$${\displaystyle \mathbf {A} \times (\mathbf {B} \times \mathbf {C} )+\mathbf {C} \times (\mathbf {A} \times \mathbf {B} )+\mathbf {B} \times (\mathbf {C} \times \mathbf {A} )=\mathbf {0} .}$$
• Тождество Лагранжа : .${\displaystyle |\mathbf {A} \times \mathbf {B} |^{2}=(\mathbf {A} \cdot \mathbf {A} )(\mathbf {B} \cdot \mathbf {B} )-(\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} )^{2}}$

В математике четверное произведение — это произведение четырёх векторов в трёхмерном евклидовом пространстве . Название «четверное произведение» используется для двух различных произведений, ^[5] скалярнозначное скалярное четверное произведение и векторнозначное векторное четверное произведение или векторное произведение четырёх векторов .

Скалярное четверное произведение определяется как скалярное произведение двух перекрестных произведений :

${\displaystyle (\mathbf {a\times b} )\cdot (\mathbf {c} \times \mathbf {d} )\ ,}$

где a, b, c, d — векторы в трехмерном евклидовом пространстве. ^[6] Его можно оценить с помощью тождества Бине-Коши : ^[6]

${\displaystyle (\mathbf {a\times b} )\cdot (\mathbf {c} \times \mathbf {d} )=(\mathbf {a\cdot c} )(\mathbf {b\cdot d} )-(\mathbf {a\cdot d} )(\mathbf {b\cdot c} )\ .}$

или с помощью определителя :

${\displaystyle (\mathbf {a\times b} )\cdot (\mathbf {c} \times \mathbf {d} )={\begin{vmatrix}\mathbf {a\cdot c} &\mathbf {a\cdot d} \\\mathbf {b\cdot c} &\mathbf {b\cdot d} \end{vmatrix}}\ .}$

Вектор четверного произведения определяется как векторное произведение двух векторных произведений:

${\displaystyle (\mathbf {a\times b} )\mathbf {\times } (\mathbf {c} \times \mathbf {d} )\ ,}$

где a, b, c, d — векторы в трехмерном евклидовом пространстве. ^[2] Его можно оценить с помощью тождества: ^[7]

${\displaystyle (\mathbf {a\times b} )\mathbf {\times } (\mathbf {c} \times \mathbf {d} )=[\mathbf {a,\ b,\ d} ]\mathbf {c} -[\mathbf {a,\ b,\ c} ]\mathbf {d} \ ,}$

используя обозначение для тройного произведения :

${\displaystyle [\mathbf {a,\ b,\ c} ]=\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )\ .}$

Эквивалентные формы можно получить, используя тождество: ^{[8] [9] [10]}

${\displaystyle [\mathbf {b,\ c,\ d} ]\mathbf {a} -[\mathbf {c,\ d,\ a} ]\mathbf {b} +[\mathbf {d,\ a,\ b} ]\mathbf {c} -[\mathbf {a,\ b,\ c} ]\mathbf {d} =0\ .}$

Это тождество можно также записать с использованием тензорной записи и соглашения Эйнштейна о суммировании следующим образом:

${\displaystyle (\mathbf {a\times b} )\mathbf {\times } (\mathbf {c} \times \mathbf {d} )=\varepsilon _{ijk}a^{i}c^{j}d^{k}b^{l}-\varepsilon _{ijk}b^{i}c^{j}d^{k}a^{l}=\varepsilon _{ijk}a^{i}b^{j}d^{k}c^{l}-\varepsilon _{ijk}a^{i}b^{j}c^{k}d^{l}}$

где ε _ijk — символ Леви-Чивиты .

Связанные отношения:

• Следствие предыдущего уравнения: ^[11] $${\displaystyle |\mathbf {A} \,\mathbf {B} \,\mathbf {C} |\,\mathbf {D} =(\mathbf {A} \cdot \mathbf {D} )\left(\mathbf {B} \times \mathbf {C} \right)+\left(\mathbf {B} \cdot \mathbf {D} \right)\left(\mathbf {C} \times \mathbf {A} \right)+\left(\mathbf {C} \cdot \mathbf {D} \right)\left(\mathbf {A} \times \mathbf {B} \right).}$$
• В трех измерениях вектор D можно выразить через базисные векторы { A , B , C } следующим образом: ^[12]$${\displaystyle \mathbf {D} \ =\ {\frac {\mathbf {D} \cdot (\mathbf {B} \times \mathbf {C} )}{|\mathbf {A} \,\mathbf {B} \,\mathbf {C} |}}\ \mathbf {A} +{\frac {\mathbf {D} \cdot (\mathbf {C} \times \mathbf {A} )}{|\mathbf {A} \,\mathbf {B} \,\mathbf {C} |}}\ \mathbf {B} +{\frac {\mathbf {D} \cdot (\mathbf {A} \times \mathbf {B} )}{|\mathbf {A} \,\mathbf {B} \,\mathbf {C} |}}\ \mathbf {C} .}$$

Эти соотношения полезны для вывода различных формул в сферической и евклидовой геометрии. Например, если на единичной сфере выбраны четыре точки, A, B, C, D , и единичные векторы, проведенные из центра сферы к четырем точкам, a, b, c, d соответственно, то тождество:

${\displaystyle (\mathbf {a\times b} )\mathbf {\cdot } (\mathbf {c\times d} )=(\mathbf {a\cdot c} )(\mathbf {b\cdot d} )-(\mathbf {a\cdot d} )(\mathbf {b\cdot c} )\ ,}$

в сочетании с соотношением для величины векторного произведения:

${\displaystyle \|\mathbf {a\times b} \|=ab\sin \theta _{ab}\ ,}$

и скалярное произведение:

${\displaystyle \mathbf {a\cdot b} =ab\cos \theta _{ab}\ ,}$

где a = b = 1 для единичной сферы, приводит к тождеству углов, приписываемых Гауссу:

${\displaystyle \sin \theta _{ab}\sin \theta _{cd}\cos x=\cos \theta _{ac}\cos \theta _{bd}-\cos \theta _{ad}\cos \theta _{bc}\ ,}$

где x — угол между a × b и c × d или, что эквивалентно, между плоскостями, определяемыми этими векторами. ^[2]

• Вектор пространства
• Геометрическая алгебра

• Гиббс, Джозайя Уиллард; Уилсон, Эдвин Бидвелл (1901). Векторный анализ: учебник для студентов-математиков. Scribner.