Семимерное векторное произведение
Математическая концепция

В математике семимерное векторное произведение — это билинейная операция над векторами в семимерном евклидовом пространстве . Она сопоставляет любым двум векторам a , b в ⁠ ⁠ Р 7 {\displaystyle \mathbb {R} ^{7}} вектор a × b также в ⁠ ⁠ Р 7 {\displaystyle \mathbb {R} ^{7}} . [1] Как и векторное произведение в трех измерениях, семимерное произведение антикоммутативно , а a × b ортогональна как a, так и b . В отличие от трех измерений, оно не удовлетворяет тождеству Якоби , и хотя трехмерное векторное произведение уникально с точностью до знака, существует много семимерных векторных произведений. Семимерное векторное произведение имеет такое же отношение к октонионам, как трехмерное произведение к кватернионам .

Семимерное векторное произведение является одним из способов обобщения векторного произведения на измерения, отличные от трех, и это единственное другое билинейное произведение двух векторов, которое является векторнозначным, ортогональным и имеет ту же величину, что и в трехмерном случае. [2] В других измерениях существуют векторные произведения трех или более векторов, которые удовлетворяют этим условиям, и бинарные произведения с бивекторными результатами.

Таблица умножения

×е 1е 2е 3е 4е 5е 6е 7
е 10е 3− е 2е 5− е 4− е 7е 6
е 2− е 30е 1е 6е 7− е 4− е 5
е 3е 2− е 10е 7− е 6е 5− е 4
е 4− е 5− е 6− е 70е 1е 2е 3
е 5е 4− е 7е 6− е 10− е 3е 2
е 6е 7е 4− е 5− е 2е 30− е 1
е 7− е 6е 5е 4− е 3− е 2е 10

Произведение может быть задано таблицей умножения, например, такой, как здесь. Эта таблица, созданная Кэли [3] [4], дает произведение ортонормальных базисных векторов e i и e j для каждого i , j от 1 до 7. Например, из таблицы

е 1 × е 2 = е 3 = − е 2 × е 1 {\displaystyle \mathbf {e} _{1}\times \mathbf {e} _{2}=\mathbf {e} _{3}=-\mathbf {e} _{2}\times \mathbf {e} _{1}}

Таблицу можно использовать для вычисления произведения любых двух векторов. Например, для вычисления компонента e 1 вектора x × y базисные векторы, которые умножаются для получения e 1 , можно выбрать, чтобы получить

( х × у ) 1 = х 2 у 3 − х 3 у 2 + х 4 у 5 − х 5 у 4 + х 7 у 6 − х 6 у 7 . {\displaystyle \left(\mathbf {x\times y} \right)_{1}=x_{2}y_{3}-x_{3}y_{2}+x_{4}y_{5}-x_ {5}y_{4}+x_{7}y_{6}-x_{6}y_{7}.}

То же самое можно повторить и для остальных шести компонентов.

Существует 480 таких таблиц для любого заданного набора ортогональных базисных векторов, по одной для каждого из произведений, удовлетворяющих определению, так что каждая запись в таблице может быть выражена в терминах одного элемента базиса. [5] Эту таблицу можно обобщить соотношением [4]

е я × е дж = ε я дж к е к , {\displaystyle \mathbf {e} _{i}\mathbf {\times} \mathbf {e} _{j} = \varepsilon _{ijk}\mathbf {e} _{k},}

где — символ Леви-Чивиты , полностью антисимметричный тензор с положительным значением +1 при ijk = 123, 145, 176, 246, 257, 347, 365. ε я дж к {\displaystyle \varepsilon _{ijk}}

В верхнем левом углу этой таблицы размером 3 × 3 показано векторное произведение в трех измерениях.

Определение

Векторным произведением в евклидовом пространстве V называется билинейное отображение из V × V в V , отображающее векторы x и y из V в другой вектор x × y также из V , где x × y обладает свойствами [1] [6]

  • ортогональность :
    x ⋅ ( x × y ) = ( x × y ) ⋅ y = 0 , {\displaystyle \mathbf {x} \cdot (\mathbf {x} \times \mathbf {y} )=(\mathbf {x} \times \mathbf {y} )\cdot \mathbf {y} =0,}
  • величина :
    | x × y | 2 = | x | 2 | y | 2 − ( x ⋅ y ) 2 {\displaystyle |\mathbf {x} \times \mathbf {y} |^{2}=|\mathbf {x} |^{2}|\mathbf {y} |^{2}-(\mathbf {x} \cdot \mathbf {y} )^{2}}

где ( x · y ) — евклидово скалярное произведение , а | x | — евклидова норма . Первое свойство утверждает, что произведение перпендикулярно своим аргументам, тогда как второе свойство дает величину произведения. Эквивалентное выражение в терминах угла θ между векторами [7] имеет вид [8]

| x × y | = | x | | y | sin ⁡ θ , {\displaystyle |\mathbf {x} \times \mathbf {y} |=|\mathbf {x} ||\mathbf {y} |\sin \theta ,}

которая является площадью параллелограмма в плоскости x и y с двумя векторами в качестве сторон. [9] Третье утверждение условия величины:

| x × y | = | x | | y |   if   ( x ⋅ y ) = 0 , {\displaystyle |\mathbf {x} \times \mathbf {y} |=|\mathbf {x} ||\mathbf {y} |~{\mbox{if}}\ \left(\mathbf {x} \cdot \mathbf {y} \right)=0,}

если x × x = 0 предполагается как отдельная аксиома. [10]

Последствия определяющих свойств

Учитывая свойства билинейности, ортогональности и величины, ненулевое векторное произведение существует только в трех и семи измерениях. [2] [8] [10] Это можно показать, постулируя свойства, требуемые для векторного произведения, а затем выведя уравнение, которое выполняется только при размерности 0, 1, 3 или 7. В нулевых измерениях существует только нулевой вектор, тогда как в одном измерении все векторы параллельны, поэтому в обоих этих случаях произведение должно быть тождественно равно нулю.

Ограничение до 0, 1, 3 и 7 измерений связано с теоремой Гурвица о том, что нормированные алгебры с делением возможны только в 1, 2, 4 и 8 измерениях. Перекрестное произведение формируется из произведения нормированной алгебры с делением путем ограничения его до 0, 1, 3 или 7 мнимых измерений алгебры, что дает ненулевые произведения только в трех и семи измерениях. [11]

В отличие от трехмерного векторного произведения, которое уникально (кроме знака), существует множество возможных бинарных векторных произведений в семи измерениях. Один из способов увидеть это — заметить, что для любой пары векторов x и y и любого вектора v величины | v | = | x || y | sin θ в пятимерном пространстве, перпендикулярном плоскости, натянутой на x и y , можно найти векторное произведение с таблицей умножения (и связанным набором базисных векторов) таким образом, что x × y = v . В отличие от трех измерений, x × y = a × b не подразумевает, что a и b лежат в той же плоскости, что и x и y . [8] ∈ R 7 {\displaystyle \in \mathbb {R} ^{7}}

Из определения вытекают и другие свойства, включая следующие тождества:

  1. Антикоммутативность :
    x × y = − y × x {\displaystyle \mathbf {x} \times \mathbf {y} =-\mathbf {y} \times \mathbf {x} }
  2. Скалярное тройное произведение :
    x ⋅ ( y × z ) = y ⋅ ( z × x ) = z ⋅ ( x × y ) {\displaystyle \mathbf {x} \cdot (\mathbf {y} \times \mathbf {z} )=\mathbf {y} \cdot (\mathbf {z} \times \mathbf {x} )=\mathbf {z} \cdot (\mathbf {x} \times \mathbf {y} )}
  3. Идентификация Мальцева : [8]
    ( x × y ) × ( x × z ) = ( ( x × y ) × z ) × x + ( ( y × z ) × x ) × x + ( ( z × x ) × x ) × y {\displaystyle (\mathbf {x} \times \mathbf {y} )\times (\mathbf {x} \times \mathbf {z} )=((\mathbf {x} \times \mathbf {y} )\times \mathbf {z} )\times \mathbf {x} +((\mathbf {y} \times \mathbf {z} )\times \mathbf {x} )\times \mathbf {x} +((\mathbf {z} \times \mathbf {x} )\times \mathbf {x} )\times \mathbf {y} }
    x × ( x × y ) = − | x | 2 y + ( x ⋅ y ) x . {\displaystyle \mathbf {x} \times (\mathbf {x} \times \mathbf {y} )=-|\mathbf {x} |^{2}\mathbf {y} +(\mathbf {x} \cdot \mathbf {y} )\mathbf {x} .}

Другие свойства следуют только в трехмерном случае и не удовлетворяют семимерному векторному произведению, в частности,

  1. Векторный тройной продукт :
    x × ( y × z ) = ( x ⋅ z ) y − ( x ⋅ y ) z {\displaystyle \mathbf {x} \times (\mathbf {y} \times \mathbf {z} )=(\mathbf {x} \cdot \mathbf {z} )\mathbf {y} -(\mathbf {x} \cdot \mathbf {y} )\mathbf {z} }
  2. Тождество Якоби : [8]
    x × ( y × z ) + y × ( z × x ) + z × ( x × y ) = 0 {\displaystyle \mathbf {x} \times (\mathbf {y} \times \mathbf {z} )+\mathbf {y} \times (\mathbf {z} \times \mathbf {x} )+\mathbf {z} \times (\mathbf {x} \times \mathbf {y} )=0}

Благодаря тождеству Якоби, трехмерное векторное произведение дает структуру алгебры Ли , которая изоморфна , алгебре Ли группы 3d вращений . Поскольку тождество Якоби не выполняется в семи измерениях, семимерное векторное произведение не дает структуру алгебры Ли. R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} s o ( 3 ) {\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)} R 7 {\displaystyle \mathbb {R} ^{7}}

Координатные выражения

Чтобы определить конкретное векторное произведение, можно выбрать ортонормальный базис { e j } и предоставить таблицу умножения, которая определяет все произведения { e i × e j } . Одна из возможных таблиц умножения описана в разделе Таблица умножения, но она не является уникальной. [5] В отличие от трех измерений, существует много таблиц, поскольку каждая пара единичных векторов перпендикулярна пяти другим единичным векторам, что позволяет делать много выборов для каждого векторного произведения.

После того, как мы составили таблицу умножения, ее можно применить к общим векторам x и y , выразив x и y через базис и расширив x × y посредством билинейности.

×е 1е 2е 3е 4е 5е 6е 7
е 10е 4е 7− е 2е 6− е 5− е 3
е 2− е 40е 5е 1− е 3е 7− е 6
е 3− е 7− е 50е 6е 2− е 4е 1
е 4е 2− е 1− е 60е 7е 3− е 5
е 5− е 6е 3− е 2− е 70е 1е 4
е 6е 5− е 7е 4− е 3− е 10е 2
е 7е 3е 6− е 1е 5− е 4− е 20

Используя e 1 - e 7 для базисных векторов, получаем отличную от той, что была во Введении, таблицу умножения, приводящую к другому векторному произведению, с антикоммутативностью [8]

e 1 × e 2 = e 4 , e 2 × e 4 = e 1 , e 4 × e 1 = e 2 , {\displaystyle \mathbf {e} _{1}\times \mathbf {e} _{2}=\mathbf {e} _{4},\quad \mathbf {e} _{2}\times \mathbf {e} _{4}=\mathbf {e} _{1},\quad \mathbf {e} _{4}\times \mathbf {e} _{1}=\mathbf {e} _{2},}
e 2 × e 3 = e 5 , e 3 × e 5 = e 2 , e 5 × e 2 = e 3 , {\displaystyle \mathbf {e} _{2}\times \mathbf {e} _{3}=\mathbf {e} _{5},\quad \mathbf {e} _{3}\times \mathbf {e} _{5}=\mathbf {e} _{2},\quad \mathbf {e} _{5}\times \mathbf {e} _{2}=\mathbf {e} _{3},}
e 3 × e 4 = e 6 , e 4 × e 6 = e 3 , e 6 × e 3 = e 4 , {\displaystyle \mathbf {e} _{3}\times \mathbf {e} _{4}=\mathbf {e} _{6},\quad \mathbf {e} _{4}\times \mathbf {e} _{6}=\mathbf {e} _{3},\quad \mathbf {e} _{6}\times \mathbf {e} _{3}=\mathbf {e} _{4},}
e 4 × e 5 = e 7 , e 5 × e 7 = e 4 , e 7 × e 4 = e 5 , {\displaystyle \mathbf {e} _{4}\times \mathbf {e} _{5}=\mathbf {e} _{7},\quad \mathbf {e} _{5}\times \mathbf {e} _{7}=\mathbf {e} _{4},\quad \mathbf {e} _{7}\times \mathbf {e} _{4}=\mathbf {e} _{5},}
e 5 × e 6 = e 1 , e 6 × e 1 = e 5 , e 1 × e 5 = e 6 , {\displaystyle \mathbf {e} _{5}\times \mathbf {e} _{6}=\mathbf {e} _{1},\quad \mathbf {e} _{6}\times \mathbf {e} _{1}=\mathbf {e} _{5},\quad \mathbf {e} _{1}\times \mathbf {e} _{5}=\mathbf {e} _{6},}
e 6 × e 7 = e 2 , e 7 × e 2 = e 6 , e 2 × e 6 = e 7 , {\displaystyle \mathbf {e} _{6}\times \mathbf {e} _{7}=\mathbf {e} _{2},\quad \mathbf {e} _{7}\times \mathbf {e} _{2}=\mathbf {e} _{6},\quad \mathbf {e} _{2}\times \mathbf {e} _{6}=\mathbf {e} _{7},}
e 7 × e 1 = e 3 , e 1 × e 3 = e 7 , e 3 × e 7 = e 1 . {\displaystyle \mathbf {e} _{7}\times \mathbf {e} _{1}=\mathbf {e} _{3},\quad \mathbf {e} _{1}\times \mathbf {e} _{3}=\mathbf {e} _{7},\quad \mathbf {e} _{3}\times \mathbf {e} _{7}=\mathbf {e} _{1}.}

Более компактно это правило можно записать как

e i × e i + 1 = e i + 3 {\displaystyle \mathbf {e} _{i}\times \mathbf {e} _{i+1}=\mathbf {e} _{i+3}}

с i = 1, ..., 7 по модулю 7 и индексами i , i + 1 и i + 3, которым разрешено переставлять равномерно. Вместе с антикоммутативностью это порождает произведение. Это правило напрямую порождает две диагонали, непосредственно примыкающие к диагонали нулей в таблице. Также, из тождества в подразделе о последствиях,

e i × ( e i × e i + 1 ) = − e i + 1 = e i × e i + 3   , {\displaystyle \mathbf {e} _{i}\times \left(\mathbf {e} _{i}\times \mathbf {e} _{i+1}\right)=-\mathbf {e} _{i+1}=\mathbf {e} _{i}\times \mathbf {e} _{i+3}\ ,}

что создает диагонали еще дальше и так далее.

Компонент e j перекрестного произведения x × y получается путем выбора всех вхождений e j в таблице и сбора соответствующих компонентов x из левого столбца и y из верхней строки. Результат:

x × y = ( x 2 y 4 − x 4 y 2 + x 3 y 7 − x 7 y 3 + x 5 y 6 − x 6 y 5 ) e 1 + ( x 3 y 5 − x 5 y 3 + x 4 y 1 − x 1 y 4 + x 6 y 7 − x 7 y 6 ) e 2 + ( x 4 y 6 − x 6 y 4 + x 5 y 2 − x 2 y 5 + x 7 y 1 − x 1 y 7 ) e 3 + ( x 5 y 7 − x 7 y 5 + x 6 y 3 − x 3 y 6 + x 1 y 2 − x 2 y 1 ) e 4 + ( x 6 y 1 − x 1 y 6 + x 7 y 4 − x 4 y 7 + x 2 y 3 − x 3 y 2 ) e 5 + ( x 7 y 2 − x 2 y 7 + x 1 y 5 − x 5 y 1 + x 3 y 4 − x 4 y 3 ) e 6 + ( x 1 y 3 − x 3 y 1 + x 2 y 6 − x 6 y 2 + x 4 y 5 − x 5 y 4 ) e 7 . {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {x} \times \mathbf {y} =(x_{2}y_{4}-x_{4}y_{2}+x_{3}y_{7}-x_{7}y_{3}+x_{5}y_{6}-x_{6}y_{5})\,&\mathbf {e} _{1}\\{}+(x_{3}y_{5}-x_{5}y_{3}+x_{4}y_{1}-x_{1}y_{4}+x_{6}y_{7}-x_{7}y_{6})\,&\mathbf {e} _{2}\\{}+(x_{4}y_{6}-x_{6}y_{4}+x_{5}y_{2}-x_{2}y_{5}+x_{7}y_{1}-x_{1}y_{7})\,&\mathbf {e} _{3}\\{}+(x_{5}y_{7}-x_{7}y_{5}+x_{6}y_{3}-x_{3}y_{6}+x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1})\,&\mathbf {e} _{4}\\{}+(x_{6}y_{1}-x_{1}y_{6}+x_{7}y_{4}-x_{4}y_{7}+x_{2}y_{3}-x_{3}y_{2})\,&\mathbf {e} _{5}\\{}+(x_{7}y_{2}-x_{2}y_{7}+x_{1}y_{5}-x_{5}y_{1}+x_{3}y_{4}-x_{4}y_{3})\,&\mathbf {e} _{6}\\{}+(x_{1}y_{3}-x_{3}y_{1}+x_{2}y_{6}-x_{6}y_{2}+x_{4}y_{5}-x_{5}y_{4})\,&\mathbf {e} _{7}.\end{aligned}}}

Поскольку векторное произведение является билинейным, оператор x × – можно записать в виде матрицы, которая принимает вид [ требуется ссылка ]

T x = [ 0 − x 4 − x 7 x 2 − x 6 x 5 x 3 x 4 0 − x 5 − x 1 x 3 − x 7 x 6 x 7 x 5 0 − x 6 − x 2 x 4 − x 1 − x 2 x 1 x 6 0 − x 7 − x 3 x 5 x 6 − x 3 x 2 x 7 0 − x 1 − x 4 − x 5 x 7 − x 4 x 3 x 1 0 − x 2 − x 3 − x 6 x 1 − x 5 x 4 x 2 0 ] . {\displaystyle T_{\mathbf {x} }={\begin{bmatrix}0&-x_{4}&-x_{7}&x_{2}&-x_{6}&x_{5}&x_{3}\\x_{4}&0&-x_{5}&-x_{1}&x_{3}&-x_{7}&x_{6}\\x_{7}&x_{5}&0&-x_{6}&-x_{2}&x_{4}&-x_{1}\\-x_{2}&x_{1}&x_{6}&0&-x_{7}&-x_{3}&x_{5}\\x_{6}&-x_{3}&x_{2}&x_{7}&0&-x_{1}&-x_{4}\\-x_{5}&x_{7}&-x_{4}&x_{3}&x_{1}&0&-x_{2}\\-x_{3}&-x_{6}&x_{1}&-x_{5}&x_{4}&x_{2}&0\end{bmatrix}}.}

Тогда перекрестное произведение определяется как

x × y = T x y . {\displaystyle \mathbf {x} \times \mathbf {y} =T_{\mathbf {x} }\mathbf {y} .}

Разные таблицы умножения

Плоскости Фано для двух таблиц умножения, используемых здесь

В этой статье использовались две разные таблицы умножения, и их больше. [5] [12] Эти таблицы умножения характеризуются плоскостью Фано , [13] [14] и они показаны на рисунке для двух таблиц, используемых здесь: вверху та, что описана Сабининым, Сбитневой и Шестаковым, и внизу та, что описана Лоунесто. Числа под диаграммами Фано (набор линий на диаграмме) указывают набор индексов для семи независимых произведений в каждом случае, интерпретируемых как ijk → e i × e j = e k . Таблица умножения восстанавливается из диаграммы Фано, следуя либо прямой линии, соединяющей любые три точки, либо окружности в центре со знаком, заданным стрелками. Например, первая строка умножений, дающая e 1 в приведенном выше списке, получается путем следования трем путям, связанным с e 1 на нижней диаграмме Фано: круговой путь e 2 × e 4 , диагональный путь e 3 × e 7 и реберный путь e 6 × e 1 = e 5 , переставленные с использованием одного из приведенных выше тождеств следующим образом:

e 6 × ( e 6 × e 1 ) = − e 1 = e 6 × e 5 , {\displaystyle \mathbf {e} _{6}\times \left(\mathbf {e} _{6}\times \mathbf {e} _{1}\right)=-\mathbf {e} _{1}=\mathbf {e} _{6}\times \mathbf {e} _{5},}

или

e 5 × e 6 = e 1 , {\displaystyle \mathbf {e} _{5}\times \mathbf {e} _{6}=\mathbf {e} _{1},}

также получается непосредственно из диаграммы с помощью правила, что любые два единичных вектора на прямой линии связаны путем умножения с третьим единичным вектором на этой прямой линии со знаками в соответствии со стрелками (знак перестановки, которая упорядочивает единичные векторы).

Можно увидеть, что оба правила умножения следуют из одной и той же диаграммы Фано, просто переименовывая единичные векторы и изменяя смысл центрального единичного вектора. Учитывая все возможные перестановки базиса, есть 480 таблиц умножения и, следовательно, 480 перекрестных произведений, подобных этому. [14]

Использование геометрической алгебры

Произведение также можно вычислить с помощью геометрической алгебры семимерного векторного пространства с положительно определенной квадратичной формой . Произведение начинается с внешнего произведения , бивекторного -значного произведения двух векторов:

B = x ∧ y = 1 2 ( x y − y x ) . {\displaystyle \mathbf {B} =\mathbf {x} \wedge \mathbf {y} ={\frac {1}{2}}(\mathbf {xy} -\mathbf {yx} ).}

Это билинейный, чередующийся, имеет желаемую величину, но не векторнозначный. Вектор, а значит и векторное произведение, получается из сжатия этого бивектора с тривектором . В трех измерениях с точностью до масштабного множителя существует только один тривектор, псевдоскаляр пространства, а произведение вышеуказанного бивектора и одного из двух единичных тривекторов дает векторный результат, двойственный бивектору .

Аналогичное вычисление выполняется для семи измерений, за исключением того, что поскольку тривекторы образуют 35-мерное пространство, то можно использовать много тривекторов, хотя не любой тривектор подойдет. Тривектор, дающий тот же продукт, что и приведенное выше преобразование координат, это

v = e 124 + e 235 + e 346 + e 457 + e 561 + e 672 + e 713 . {\displaystyle \mathbf {v} =\mathbf {e} _{124}+\mathbf {e} _{235}+\mathbf {e} _{346}+\mathbf {e} _{457}+\mathbf {e} _{561}+\mathbf {e} _{672}+\mathbf {e} _{713}.}

Это объединяется с внешним продуктом, чтобы получить перекрестный продукт.

x × y = − ( x ∧ y )   ⌟   v {\displaystyle \mathbf {x} \times \mathbf {y} =-(\mathbf {x} \wedge \mathbf {y} )~\lrcorner ~\mathbf {v} }

где — левый оператор свертки из геометрической алгебры. [8] [15] ⌟ {\displaystyle \lrcorner }

Отношение к октонионам

Так же, как 3-мерное векторное произведение может быть выражено в терминах кватернионов , 7-мерное векторное произведение может быть выражено в терминах октонионов . После идентификации R 7 с мнимыми октонионами ( ортогональным дополнением действительной части O ), векторное произведение дается в терминах умножения октонионов на

x × y = I m ( x y ) = 1 2 ( x y − y x ) . {\displaystyle \mathbf {x} \times \mathbf {y} =\mathrm {Im} (\mathbf {xy} )={\frac {1}{2}}(\mathbf {xy} -\mathbf {yx} ).}

Наоборот, предположим, что V — 7-мерное евклидово пространство с заданным векторным произведением. Тогда можно определить билинейное умножение на R ⊕ V следующим образом:

( a , x ) ( b , y ) = ( a b − x ⋅ y , a y + b x + x × y ) . {\displaystyle (a,\mathbf {x} )(b,\mathbf {y} )=(ab-\mathbf {x} \cdot \mathbf {y} ,a\mathbf {y} +b\mathbf {x} +\mathbf {x} \times \mathbf {y} ).}

Пространство R ⊕ V с этим умножением тогда изоморфно октонионам. [16]

Перекрестное произведение существует только в трех и семи измерениях, поскольку всегда можно определить умножение на пространстве с одним большим измерением, как указано выше, и можно показать, что это пространство является нормированной алгеброй с делением . По теореме Гурвица такие алгебры существуют только в одном, двух, четырех и восьми измерениях, поэтому перекрестное произведение должно быть в нулевом, одном, трех или семи измерениях. Произведения в нулевом и одном измерениях тривиальны, поэтому нетривиальные перекрестные произведения существуют только в трех и семи измерениях. [17] [18]

Неспособность 7-мерного перекрестного произведения удовлетворить тождеству Якоби связана с неассоциативностью октонионов. Фактически,

x × ( y × z ) + y × ( z × x ) + z × ( x × y ) = − 3 2 [ x , y , z ] {\displaystyle \mathbf {x} \times (\mathbf {y} \times \mathbf {z} )+\mathbf {y} \times (\mathbf {z} \times \mathbf {x} )+\mathbf {z} \times (\mathbf {x} \times \mathbf {y} )=-{\frac {3}{2}}[\mathbf {x} ,\mathbf {y} ,\mathbf {z} ]}

где [ x , y , z ] — ассоциатор .

Вращения

В трех измерениях векторное произведение инвариантно относительно действия группы вращений SO(3) , поэтому векторное произведение x и y после их вращения является образом x × y при вращении. Но эта инвариантность не верна в семи измерениях; то есть векторное произведение не инвариантно относительно группы вращений в семи измерениях SO(7) . Вместо этого оно инвариантно относительно исключительной группы Ли G 2 , подгруппы SO(7). [8] [16]

Обобщения

Ненулевые бинарные перекрестные произведения существуют только в трех и семи измерениях. Дальнейшие произведения возможны при снятии ограничения, что это должно быть бинарное произведение. [19] [20] Мы требуем, чтобы произведение было полилинейным , чередующимся , векторнозначным и ортогональным каждому из входных векторов a i . Требование ортогональности подразумевает, что в n измерениях можно использовать не более n − 1 векторов. Величина произведения должна быть равна объему параллелоэдра с векторами в качестве ребер, который можно вычислить с помощью определителя Грама . Условия таковы:

  • ортогональность: для i = 1, ..., k . ( a 1 ×   ⋯   × a k ) ⋅ a i = 0 {\displaystyle \left(\mathbf {a} _{1}\times \ \cdots \ \times \mathbf {a} _{k}\right)\cdot \mathbf {a} _{i}=0}
  • определитель Грама: | a 1 × ⋯ × a k | 2 = det ( a i ⋅ a j ) = | a 1 ⋅ a 1 a 1 ⋅ a 2 ⋯ a 1 ⋅ a k a 2 ⋅ a 1 a 2 ⋅ a 2 ⋯ a 2 ⋅ a k ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a k ⋅ a 1 a k ⋅ a 2 ⋯ a k ⋅ a k | {\displaystyle |\mathbf {a} _{1}\times \cdots \times \mathbf {a} _{k}|^{2}=\det(\mathbf {a} _{i}\cdot \mathbf {a} _{j})={\begin{vmatrix}\mathbf {a} _{1}\cdot \mathbf {a} _{1}&\mathbf {a} _{1}\cdot \mathbf {a} _{2}&\cdots &\mathbf {a} _{1}\cdot \mathbf {a} _{k}\\\mathbf {a} _{2}\cdot \mathbf {a} _{1}&\mathbf {a} _{2}\cdot \mathbf {a} _{2}&\cdots &\mathbf {a} _{2}\cdot \mathbf {a} _{k}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\mathbf {a} _{k}\cdot \mathbf {a} _{1}&\mathbf {a} _{k}\cdot \mathbf {a} _{2}&\cdots &\mathbf {a} _{k}\cdot \mathbf {a} _{k}\\\end{vmatrix}}}

Определитель Грама — это квадрат объема параллелоэдра с ребрами a1 , ..., ak .

При этих условиях существует только нетривиальное векторное произведение:

  • как двоичный продукт в трех и семи измерениях
  • как произведение n − 1 векторов в n ≥ 3 измерениях, являющееся двойственным по Ходжу внешним произведением векторов
  • как произведение трех векторов в восьми измерениях

Один из вариантов произведения трех векторов в восьми измерениях задается выражением , где v — тот же тривектор, который используется в семи измерениях, снова представляет собой левое свертывание, а w = − ve 12...7 — 4-вектор. a × b × c = ( a ∧ b ∧ c )   ⌟   ( w − v e 8 ) {\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} \times \mathbf {c} =(\mathbf {a} \wedge \mathbf {b} \wedge \mathbf {c} )~\lrcorner ~(\mathbf {w} -\mathbf {ve} _{8})} ⌟ {\displaystyle \lrcorner }

Существуют также тривиальные произведения. Как уже отмечалось, бинарное произведение существует только в измерениях 7, 3, 1 и 0, причем последние два тождественно равны нулю. Еще одно тривиальное «произведение» возникает в четных измерениях, которое берет один вектор и производит вектор той же величины, ортогональный ему, посредством левого сжатия с подходящим бивектором. В двух измерениях это поворот на прямой угол.

В качестве дальнейшего обобщения мы можем ослабить требования полилинейности и величины и рассмотреть общую непрерывную функцию V d → V (где V — это R n , снабженное евклидовым скалярным произведением, а d ≥ 2 ), которая требуется только для удовлетворения следующих двух свойств:

  1. Векторные произведения всегда ортогональны всем входным векторам.
  2. Если входные векторы линейно независимы, то векторное произведение не равно нулю.

При этих требованиях векторное произведение существует только (I) для n = 3, d = 2 , (II) для n = 7, d = 2 , (III) для n = 8, d = 3 и (IV) для любого d = n − 1. [ 1] [19]

В другом направлении, алгебры векторного произведения были определены над произвольным полем , и для любого поля, не имеющего характеристики 2, они должны иметь размерность 0, 1, 3 или 7. Фактически этот результат был обобщен еще больше, например, путем работы над любым коммутативным кольцом, в котором 2 является сократимым , что означает, что 2x = 2y влечет x = y. [21]

Смотрите также

Примечания

  1. ^ abc WS Massey (1983). «Перекрестные произведения векторов в многомерных евклидовых пространствах». The American Mathematical Monthly . 90 (10). Математическая ассоциация Америки: 697–701. doi :10.2307/2323537. JSTOR  2323537.
  2. ^ ab WS Massey (1983). «Перекрестные произведения векторов в многомерных евклидовых пространствах». The American Mathematical Monthly . 90 (10): 697–701. doi :10.2307/2323537. JSTOR  2323537. Если требуются только три основных свойства перекрестного произведения... то оказывается, что перекрестное произведение векторов существует только в 3-мерном и 7-мерном евклидовом пространстве.
  3. ^ G Gentili, C Stoppato, DC Struppa и F Vlacci (2009). "Последние разработки для регулярных функций гиперкомплексной переменной". В Irene Sabadini ; M Shapiro; F Sommen (ред.). Гиперкомплексный анализ (Конференция по кватернионному и Клиффордовскому анализу; труды ред.). Birkhäuser. стр. 168. ISBN 978-3-7643-9892-7.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
  4. ^ ab Лев Васильевич Сабинин; Лариса Сбитнева; ИП Шестаков (2006). "§17.2 Октонионная алгебра и ее регулярное бимодульное представление". Неассоциативная алгебра и ее приложения . CRC Press. стр. 235. ISBN 0-8247-2669-3.
  5. ^ abc Рафал Абламович; Пертти Лоунесто; Хосеп М. Парра (1996). "§ Четыре октонионные базисные нумерации". Алгебры Клиффорда с числовыми и символическими вычислениями . Биркхойзер. стр. 202. ISBN 0-8176-3907-1.
  6. ^ Отображения ограничены билинейными (Massey 1993) и Robert B Brown & Alfred Gray (1967). "Vector cross products". Commentarii Mathematici Helvetici . 42 (1/December). Birkhäuser Basel: 222–236. doi :10.1007/BF02564418. S2CID  121135913. harv error: no target: CITEREFMassey1993 (help).
  7. ^ Фрэнсис Бегно Хильдебранд (1992). Методы прикладной математики (Переиздание Prentice-Hall 1965 2-е изд.). Courier Dover Publications. стр. 24. ISBN 0-486-67002-3.
  8. ^ abcdefgh Lounesto 2001, стр. 96–97
  9. ^ Кендалл, МГ (2004). Курс геометрии N измерений. Courier Dover Publications. стр. 19. ISBN 0-486-43927-5.
  10. ^ ab ZK Silagadze (2002). "Многомерное векторное произведение". Journal of Physics A: Mathematical and General . 35 (23): 4949–4953. arXiv : math.RA/0204357 . Bibcode :2002JPhA...35.4949S. doi :10.1088/0305-4470/35/23/310. S2CID  119165783.
  11. ^ Натан Якобсон (2009). Основы алгебры I (Переиздание Freeman 1974 2-е изд.). Dover Publications. С. 417–427. ISBN 978-0-486-47189-1.
  12. ^ Дальнейшее обсуждение таблиц и связи плоскости Фано с этими таблицами можно найти здесь: Tony Smith. "Octonion products and sets" . Получено 12.05.2018 .
  13. ^ Рафал Абламович; Бертфрид Фаузер (2000). Алгебры Клиффорда и их применение в математической физике: алгебра и физика. Springer. стр. 26. ISBN 0-8176-4182-3.
  14. ^ ab Jörg Schray; Corinne A. Manogue (1996). «Octionion representations of Clifford algebras and tripleity». Foundations of Physics . 26 (1/January): 17–70. arXiv : hep-th/9407179 . Bibcode :1996FoPh...26...17S. doi :10.1007/BF02058887. S2CID  119604596.Доступно в виде препринта ArXive. Рисунок 1 находится здесь.
  15. ^ Бертфрид Фаузер (2004). "§18.4.2 Сокращения". В Pertti Lounesto; Rafał Abłamowicz (ред.). Алгебры Клиффорда: приложения к математике, физике и технике . Birkhäuser. стр. 292 и далее . ISBN 0-8176-3525-4.
  16. ^ ab John C. Baez (2002). "The Octonions" (PDF) . Bull. Amer. Math. Soc . 39 (2): 145–205. arXiv : math/0105155 . doi :10.1090/s0273-0979-01-00934-x. S2CID  586512. Архивировано из оригинала (PDF) 2010-07-07.
  17. ^ Элдуке, Альберто (2004), Векторные перекрестные произведения (PDF)
  18. ^ Дарпё, Эрик (2009). «Алгебры векторного произведения». Бюллетень Лондонского математического общества . 41 (5): 898–902. arXiv : 0810.5464 . doi : 10.1112/blms/bdp066. S2CID  122615967.См. также: Реальные векторные алгебры произведений , CiteSeerX 10.1.1.66.4 
  19. ^ ab Lounesto 2001, стр. 98, §7.5: Перекрестные произведения k векторов в R n
  20. ^ Жан Х. Галлье (2001). "Проблема 7.10 (2)". Геометрические методы и приложения: для компьютерной науки и техники. Springer. стр. 244. ISBN 0-387-95044-3.
  21. ^ Стрит, Росс (2018). «Векторное произведение и композиционные алгебры в сплетенных моноидальных аддитивных категориях». arXiv : 1812.04143 .

Ссылки

  • Браун, Роберт Б.; Грей, Альфред (1967). «Векторное векторное произведение». Комментарии по математике Helvetici . 42 (1): 222–236. дои : 10.1007/BF02564418. S2CID  121135913.
  • Lounesto, Pertti (2001). Алгебры и спиноры Клиффорда. Кембридж, Великобритания: Cambridge University Press. ISBN 0-521-00551-5.
  • Силагадзе, ЗК (2002). «Многомерное векторное произведение». J Phys A . 35 (23): 4949–4953. arXiv : math/0204357 . Bibcode :2002JPhA...35.4949S. doi :10.1088/0305-4470/35/23/310. S2CID  119165783.Также доступно как переиздание ArXiv arXiv :math.RA/0204357.
  • Massey, WS (1983). «Перекрестные произведения векторов в многомерных евклидовых пространствах». The American Mathematical Monthly . 90 (10): 697–701. doi :10.2307/2323537. JSTOR  2323537.
Retrieved from "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Seven-dimensional_cross_product&oldid=1250928906"