Варифолд

В математике варифолд — это, грубо говоря, теоретико-мерное обобщение концепции дифференцируемого многообразия , заменяющее требования дифференцируемости на те, которые предоставляются спрямляемыми множествами , при этом сохраняя общую алгебраическую структуру, обычно наблюдаемую в дифференциальной геометрии . Варифолды обобщают идею спрямляемого тока и изучаются в геометрической теории меры .

Варифолды были впервые введены Лоренсом Чисхолмом Янгом в (Young 1951) под названием « обобщенные поверхности ». ^{[1] [2]} Фредерик Дж. Альмгрен-младший немного изменил определение в своих мимеографированных заметках (Almgren 1965) и придумал название варифолд : он хотел подчеркнуть, что эти объекты являются заменителями обычных многообразий в задачах вариационного исчисления . ^[3] Современный подход к теории был основан на заметках Альмгрена ^[4] и изложен Уильямом К. Аллардом в статье (Allard 1972).

Для открытого подмножества евклидова пространства m - мерный варифолд на определяется как мера Радона на множестве${\displaystyle \Омега}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \Омега}$

${\displaystyle \Omega \times G(n,m)}$

где — грассманиан всех m -мерных линейных подпространств n -мерного векторного пространства. Грассманиан используется для построения аналогов дифференциальных форм как дуальных векторным полям в приближенном касательном пространстве множества .${\displaystyle G(н,м)}$${\displaystyle \Омега}$

Частным случаем спрямляемого варифолда являются данные m -спрямляемого множества M (которое измеримо относительно m -мерной меры Хаусдорфа) и функция плотности, определенная на M , которая является положительной функцией θ , измеримой и локально интегрируемой относительно m -мерной меры Хаусдорфа. Она определяет меру Радона V на грассмановом расслоении${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle V(A):=\int _{\Gamma _{M,A}}\!\!\!\!\!\!\!\theta (x)\mathrm {d} {\mathcal {H}}^{m}(x)}$

где

• ${\displaystyle \Gamma _{M,A}=M\cap \{x:(x,\mathrm {Tan} ^{m}(x,M))\in A\}}$
• ${\displaystyle {\mathcal {H}}^{m}(x)}$является −мерной мерой Хаусдорфа${\displaystyle м}$

Выпрямляемые варифолды являются более слабыми объектами, чем локально выпрямляемые токи: они не имеют никакой ориентации . Заменяя M более регулярными множествами, легко увидеть, что дифференцируемые подмногообразия являются частными случаями выпрямляемых многообразий .

Из-за отсутствия ориентации в пространстве варифолдов не определен граничный оператор .

• Текущий
• Геометрическая теория меры
• Грассманиан
• Проблема Плато
• Радоновая мера

• Almgren, Frederick J. Jr. (1993), "Вопросы и ответы о минимизирующих площадь поверхностях и геометрической теории меры.", в Greene, Robert E. ; Yau, Shing-Tung (ред.), Differential Geometry. Часть 1: Partial Differential Equations on Manifolds. Труды летнего исследовательского института, проведенного в Калифорнийском университете, Лос-Анджелес, Калифорния, США, 8–28 июля 1990 г. , Труды симпозиумов по чистой математике, т. 54, Providence, RI: American Mathematical Society , стр. 29–53, ISBN 978-0-8218-1494-9, MR  1216574, Zbl  0812.49032. Эта статья также воспроизведена в (Almgren 1999, стр. 497–521).
• Альмгрен, Фредерик Дж. младший (1999), Избранные труды Фредерика Дж. Альмгрена-младшего, Собрание сочинений, т. 13, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , ISBN 978-0-8218-1067-5, MR  1747253, Zbl  0966.01031.
• De Giorgi, Ennio (1968), "Hypersurfaces of minimum measure in pluridimensional euclidean spaces" (PDF) , в Петровский, Иван Г. (ред.), Труды Международного конгресса математиков. Труды Международного конгресса математиков (Москва−1966), ICM Proceedings , Москва : Мир Издательства , стр. 395−401, MR  0234329, Zbl  0188.17503.
• Аллард, Уильям К. (май 1972 г.), «О первой вариации варифолда», Annals of Mathematics , вторая серия, 95 (3): 417–491, doi :10.2307/1970868, JSTOR  1970868, MR  0307015, Zbl  0252.49028.
• Аллард, Уильям К. (май 1975 г.), «О первой вариации варифолда: граничное поведение», Annals of Mathematics , вторая серия, 101 (3): 418–446, doi :10.2307/1970934, JSTOR  1970934, MR  0397520, Zbl  0319.49026.
• Альмгрен, Фредерик Дж. младший (1965), Теория варифолдов: вариационное исчисление в целом для k {\displaystyle k} -мерной интегрируемой области, Принстон : Библиотека Принстонского университета , стр. 178. Набор отпечатанных на мимеографе заметок, в которых Фредерик Дж. Альмгрен-младший впервые представляет варифолды: связанное сканирование доступно в Albert - The Digital Repository of the IAS.
• Альмгрен, Фредерик Дж. младший (1966), Проблема Плато: Приглашение к варифолдной геометрии , Серия математических монографий (1-е изд.), Нью-Йорк–Амстердам: WA Benjamin, Inc., стр. XII+74, MR  0190856, Zbl  0165.13201. Первая широко распространенная книга, описывающая концепцию варифолда. В главе 4 есть раздел под названием « Решение части существования проблемы Плато », но стационарные варифолды, используемые в этом разделе, могут решить только сильно упрощенную версию проблемы. Например, единственные стационарные варифолды, содержащие единичную окружность, имеют опору единичного круга. В 1968 году Альмгрен использовал комбинацию варифолдов, интегральных токов, плоских цепей и методов Райфенберга в попытке распространить знаменитую статью Райфенберга 1960 года на эллиптические интегранты. Однако в его доказательстве есть серьезные ошибки. Другой подход к проблеме Райфенберга для эллиптических интегрантов был недавно представлен Харрисоном и Пью (HarrisonPugh 2016) без использования варифолдов.
• Харрисон, Дженни; Пью, Харрисон (2016), Общие методы эллиптической минимизации , стр. 22, arXiv : 1603.04492 , Bibcode : 2016arXiv160304492H.
• Альмгрен, Фредерик Дж. младший (2001) [1966], Проблема Плато: Приглашение к варифолдной геометрии, Студенческая математическая библиотека, т. 13 (2-е изд.), Провиденс, Род-Айленд : Американское математическое общество , стр. xvi+78, ISBN 978-0-8218-2747-5, MR  1853442, Zbl  0995.49001. Второе издание книги (Альмгрен 1966).
• Дао, Чонг Тхи; Фоменко, А.Т. (1991), Минимальные поверхности, стратифицированные мультиварифолды и проблема плато, Переводы математических монографий, т. 84, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , стр. ix+404, ISBN 978-0-8218-4536-3, MR  1093903, Zbl  0716.53003.
• TC O'Neil (2001) [1994], "Геометрическая теория меры", Энциклопедия математики , EMS Press
• Саймон, Леон (1984), Лекции по геометрической теории меры, Труды Центра математического анализа, т. 3, Канберра : Центр математики и ее приложений (CMA), Австралийский национальный университет , стр. VII+272 (неполные опечатки), ISBN 978-0-86784-429-0, MR  0756417, Zbl  0546.49019.
• Линь, Фанхуа; Ян, Сяопин (2002), Геометрическая теория меры – Введение , Advanced Mathematics (Пекин/Бостон), т. 1, Пекин – Нью-Йорк / Бостон, Массачусетс: Science Press / International Press, стр. x+237, MR  2030862, Zbl  0546.49019, ISBN 7-03-010271-1 (Научное издательство), ISBN 1-57146-125-6 (Международное издательство).  
• Уайт, Брайан (1997), «Математика Ф. Дж. Альмгрена-младшего», Notices of the American Mathematical Society , 44 (11): 1451–1456, ISSN  0002-9920, MR  1488574, Zbl  0908.01017.
• Уайт, Брайан (1998), «Математика Ф. Дж. Альмгрена-младшего», Журнал геометрического анализа , 8 (5): 681–702, CiteSeerX  10.1.1.120.4639 , doi :10.1007/BF02922665, ISSN  1050-6926, MR  1731057, S2CID  122083638, Zbl  0955.01020. Расширенная версия (White 1997) со списком публикаций Альмгрена.
• Янг, Лоуренс К. (1951), «Общие параметрические поверхности», Bulletin de la Société Mathématique de France , 79 : 59–84, doi : 10.24033/bsmf.1419 , MR  0046421, Zbl  0044.10203.